Differenciálszámítás Bevezetés, alapismeretek A diasorozat az Analízis 2. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István

A differenciahányados fogalma A függvény (amely bizonyos, a gyakorlati életben előforduló összefüggéseket írhat le) növe- kedése, illetve csökkenése fontos jellemző, mindennapi életünk is függhet tőle. Vegyünk fel egy egyváltozós, az [a,b] intervallumon folytonos f(x) függvényt: Vizsgáljuk meg, hogy az értelmezési tartományának egy x0 abszcisszájú belső pontjához tartozó P0 ponton a függvény növekvően vagy csökkenően halad-e át. Analitikus (logikai, nem vízuális) módszerrel kell válaszol- nunk, hiszen ha az értelmezési tartomány végtelen, akkor a pontos rajz elkészítéséhez végtelen sok számpár ismere- tére lenne szükség, amelyeknek kiszámolása lehetetlen. Vegyünk fel az x0 értékénél Δx-szel ("egy picivel") nagyobb számot (azaz legyen Δx>0) úgy, hogy még az értelmezési tartományon belül maradjunk. A Δx az x tengelyen felvett két pont távolsága, az x0+Δx és x0 értékek különbsége, (elnevezés) a differencia. Képezhető a függvényértékek különbsége is, amit Δy-nal jelölünk: f(x0+ Δx)–f(x0) = Δy. A Δy tehát adott x0 és Δx értékeknél egy szám, értékéből (nagyságából, előjeléből) már lehetnek sejtéseink a függ- vény x0-beli növekedéséről, vagy csökkenéséről.

Ha a Δy pozitív, akkor lehetséges, hogy növekvő x0-ban az f(x). Ha a Δy „jó nagy" pozitív szám, akkor ez gyors növekedést jelezhet. Ha a Δy negatív szám, akkor ez csökkenést jelezhet. A Δx-et egy-egy adott x0 értékhez nem tudjuk mindig ugyanolyan nagyságban felvenni, mert például már „túlnyúlnánk" az értelmezési tartomány felső határánál. A Δy-okból a növekedésre-csökenésre így hamis információt kaphatunk. Célszerű a vizsgálatban egységnyi Δx-re vonatkoztatni, azaz képezzük a hányadost. A két különbség hányadosát differenciahányadosnak nevezzük. Példa: vizsgáljuk meg az y=f(x)=x2+2x+2 függvény monotonitását az x0=–1 pontban! Legyen először Δx=2. Ekkor: Δy =f(x0+Δx)–f(x0)=f(-1+2)–f(-1)=12+2∙1+2–((-1)2+2∙(-1)+2)=5–1=4. A differenciahányados: A differenciahányados értéke növekedést (mert pozitív), mégpedig relatív gyors növekedést (mert értéke 2) sejtet.

Ekkor: Δy=f(-1+3)–f(-1)=10–1=9. Legyen ezután a Δx = 3. Ekkor: Δy=f(-1+3)–f(-1)=10–1=9. Az új differenciahányados: A P0P2 egyenes meredekebb, azaz a differenciahányados az előző- nél gyorsabb átlagos növekedést jelez a P0 és P2 pontok között. Látható, hogy a differenciahányados értéke a Δx nagyságától függ, rögzített x0 esetén a Δx-nek a függvénye. Definíció: legyen x0 az [a,b] intervallumon folytonos f(x) függvény belső pontja, és ha az x0+Δx érték az [a; b]-ba esik, akkor a hányadost az f(x) függvény x0 pontjához és Δx értékhez tartozó differenciahányadosá- nak nevezzük. A differenciahányados geometriai jelentése: a függvénygörbe P0(x0;y0) pontján és a Pi(x0+Δxi; f(x0+Δxi)) ponton átmenő szelő iránytangense. Megjegyzés: a Δx értéke lehet negatív is, azaz a rögzített P0 ponthoz képest a P1, P2,…, Pn,… pontok elhelyezkedhetnek a P0-tól balra is, a differenciahányados ugyanúgy számolható és geometriai jelentése ugyanúgy a P0 és a Pi (i=1, 2, …n, …) pontokhoz tartozó szelő iránytangense.

A differenciálhányados A differenciahányados a függvény x0 pontbeli monotonitásáról hamis adatot adhat. Például vegyünk fel egy függvényt: A rajzunkon az adott Δx-hez pozitív Δy tartozik, azaz átlagosan növekedést jelez a differenciahányados, a szelő iránytangense pozitív. A függvény viszont az x0-ban (láthatóan) csökkenő. Hangsúlyozzuk: állításainkat nem szemléletes alapon akarjuk meghozni, a vizualitást a könnyebb megértés céljából vetjük be! A Δx-ek viszont különböző nagyságban vehetők fel. Ha „egyre kisebb” Δx értékeket veszünk fel, az átlagolásból adódó hiba lehetősége egyre kisebb lesz. Ha a Δx értékét „határhelyzetben végtelenül kicsire” vesszük, akkor a függvény x0-beli monotonitásáról teljesen pontos adatot kapunk! Geometriailag ez azt jelenti, hogy az egyre kisebbre választott Δx-ekhez tartozó szelők „egyre kisebb darabot szelnek le” a függvényből és határhelyzetben a szelőből érintő lesz. Az érintő iránytangense (előjele, nagysága abszolút értékben) már teljesen pontos adatot ad a függvény x0-beli monotonitásáról.

vizsgáljuk meg az y = f(x) = x2+ 2x + 2 monotonitását egy pontban! Példa: vizsgáljuk meg az y = f(x) = x2+ 2x + 2 monotonitását egy pontban! Legyen x0= 1 Képezzük a differenciahányadost úgy, hogy a Δx értéke nem konkrét szám lesz, hanem a Δx lesz a kifejezés változója. A számoláshoz felírjuk először a differenciát, a Δy-t: Δy=f(x0+ Δx)–f(x)=f(1+Δx)–f(1)=(1+Δx)2+2(1+Δx)+2–(12+2∙1+2)= =1+2Δx+(Δx)2+2+2Δx+2–5=4Δx+(Δx)2. A differenciahányados: Vegyük egyre „kisebbre" a Δx-et: A „határhelyzetben végtelenül kicsi"-vé válásra szakszerűbb kifejezést is használhatunk: a Δxi értékek sorozata nullához tart, azaz (Δxi)  0. Más jelöléssel: lim Δxi=0. (i =1,2,…,n,…) A számadatunk növekedést (mert a 4 pozitív) és „elég gyors” növekedést jelez. A határérték képzéskor adódó számot nevezzük az x0 helyen vett differenciál hányadosnak. Definíció: legyen x0 az f(x) értelmezési tartományának belső pontja. Ha létezik az x0- hoz tartozó differenciahányados függvénynek véges határértéke a (Δx)  0 esetben, akkor ezt a számot az f(x) függvény x0 pontbeli differenciálhánya- dosának nevezzük és f’(x0)-lal jelöljük:

a differenciálhányados az f(x) függvény x0 abszcisszájú pontjához Geometriailag: a differenciálhányados az f(x) függvény x0 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének az iránytangensét jelenti. Példa: írjuk fel az y=f(x)=x3 függvény x0=2 pontjához tartozó érintője egyenletét! Az érintő egy egyenes, egyenlete felírásához kell egy pont (ha x0=2, akkor y0 =8), és egy irány, amit kifejezhetünk az iránytangenssel: tg =m=f'(2). Az f’(2) felvételéhez: Δy=f(2+Δx)–f(2)=(2+Δx)3–23=8+3∙4∙Δx+3∙2∙(Δx)2+(Δx)3–8= =12Δx+6(Δx)2+(Δx)3. A differenciálhányados: Az érintő: y–y0=m(x–x0), helyettesítés: y–8=12(x–2)=12x–24, rendezve: y=12x–16. Szeretnénk a differenciálhányados kiszámításának gyakran hosszadalmas, monoton eljárását egyszerűbbé tenni. Definíció: azt a függvényt, amely az f(x) függvényhez az értelmezési tartomány minden pontjában az illető ponthoz tartozó (és létező) differenciálhányadost rendeli hozzá, az f(x) derivált függvényének nevezzük és f’(x)-szel jelöljük: Szokás a szimbólumot írni.

Például: adjuk meg az f(x)=x2 +2x+2 deriváltját! A differenciálhányados kiszámolásának eljárásával a derivált egyszerűen meghatározható: a rögzített x0 szám helyére x-et kell írni a differenciahányadosba és venni a határértéket. (Az x ilyenkor az értelmezési tartomány bármely belső pontját jelenti.) Például: adjuk meg az f(x)=x2 +2x+2 deriváltját! Az „x0 helyébe x-et írunk” elvet alkalmazzuk, a Δy-t külön kiszámoljuk: Δy=f(x +Δx)–f(x)=(x+Δx)2+2(x+Δx)+2–(x2+2x+2)=x2+2x∙Δx+(Δx)2+2x+2Δx+2–x2–2x–2= =2x∙Δx+2Δx+(Δx)2. A derivált: A derivált bármely helyettesítési értéke megadja az adott pontbeli differenciálhányadost. Így is mondhatjuk: a derivált a differenciálhányados pontokból álló függvény! Ha az x0=1, akkor a differenciálhányados a deriváltból számolva: f’(1)=21+2=4. A differenciálhányados egy szám, az adott pontban az érintő irány- tangense, a derivált pedig függvény, külön geometriai jelentése nincs. Egyszerűen számolható a függvényünk érintője bármely más pontban. Például ha: Az érintő: y–y0=m(x–x0) és: Helyettesítés után az érintő egyenlete: y=x+2.

Az alapfüggvények deriváltjai A hatványfüggvényeket, valamint a trigonometrikus és az exponenciális függvényeket tekintjük alapfüggvényeknek. A hatványfüggvény, az y=f(x)=xn deriváltja: f'(x)=n∙xn-1 . (Az n racionális szám.) A bizonyítást lásd a tankönyvben. Példa: (x2)' = 2x1=2x ; (x3)' = 3x2,…és így tovább. Jegyezzük meg: x’=(x1)' = 1∙x0=1, illetve: (x0)' = 1' = 0∙x-1=0. A sinx deriváltja cosx, a cosx deriváltja –sinx: (sinx)' = cosx és (cosx)' = –sinx. A bizonyítást lásd a tankönyvben. A tangens, cotangens deriváltjára még visszatérünk. Példa: írjuk fel az y = sinx érintőjének egyenletét az x0= /3 pontban! Felvesszük az y0 értékét: A derivált: f'(x) = cosx. (Helyettesítés, rendezés után.) A differenciálhányados: Az érintő: Az f(x) = ax (a  0) deriváltja:(ax)' = axlna. Speciálisan: ha a=e, akkor (ex)'=ex∙lne=ex. A bizonyítást lásd a tankönyvben. Példa: (3x)' = 3x∙ln3. Igaz: Speciálisan: ha a=e:

A deriválás műveleti szabályai A konstans szorzó deriválásnál „kiemelhető”: [c∙f(x)]' = c∙f'(x), ahol c R. Példa: 5x3=5∙(x3)' = 5∙3∙x2=15x2. A bizonyítás egyszerű: (a határérték képzés mű- velettartó, így c a limes elé kiemelhető) = Két vagy több függvény összegét tagonként deriválhatjuk: [f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x). Például: (5x3+3sinx)’=15x2 +3cosx. A bizonyítást lásd a tankönyvben. A függvények különbségét is tagonként deriválhatjuk (hiszen a-b=a+(-1)b). Elmondható: a deriválás a konstanssal való szorzásra és az összeadásra nézve művelettartó. Két függvény szorzatának deriválása: [f(x)∙g(x)]’=f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x). A deriválás a függvények szorzásánál nem művelettartó. A bizonyítást lásd a tankönyvben. Például: (x6cosx)’=(x6)’cosx+x6(cosx)’=6x5cosx-x6sinx. Az állítás általánosítható, például 3 tényezőre: (f∙g∙h)’=((fg)’∙h)’=(fg)’h+fg∙h’=f’gh+fg’h+fgh’. Két függvény hányadosának deriválási szabálya: Bizonyítás: lásd tankönyv. Szavakkal: tört deriváltja egyenlő: a számláló deriváltja szorozva a nevezővel, mínusz a számlálószor a nevező deriváltja és ez osztva a nevező négyzetével.

Az összetett függvény deriválása: y’=f’u∙u’x. Példa tört deriválására: A szabály alkalmazásaként deriváljuk a tg és a ctg függvényeket: A ctgx deriváltja hasonlóan vezethető le, a végeredmény: A tgx és a ctgx deriváltját illik fejből tudni! Az összetett függvény deriválása: y’=f’u∙u’x. A bizonyítást lásd a tankönyvben. (Az összetett függvény: y=f(u(x)), az f’u az u változó szerinti deriváltat jelenti.) Például: az f: f(x)=(3x2+2x+1)5 -ben „első utasításon” (a belső függvény) a zárójelben lévő kifejezést értjük, azaz: u(x)=3x2+2x+1, a külső függvény: f(u)=u5=f(u(x)). Az y=(3x2+2x+1)5 deriválása: u(x)= 3x2+2x+1 u’x =6x+2 f(u)=u5 f’u =5u4. A részeredményeinket „összerakjuk”: y’=f’u∙u’x=5u4∙(6x+2)=5(3x2+2x+1)4∙(6x+2). Szóban a szabály: az f-nek u szerinti deriváltját szorozzuk az u-nak az x szerinti deriváltjával. Az eljárást „láncszabálynak” is nevezik: egymást követően, láncszerűen kell a külső függ- vény deriváltját szorozni a belső függvény deriváltjával.

Magasabbrendű deriváltak Példa: deriváljuk az y=tglncos3x függvényt! Az összetett függvényünk esetén az egymást követő függvényutasítások: u(x)=3x u’x =3xln3 Összerakjuk a részeredményeket: y’= f’h·h’g·g’u·u’x. g(u)=cosu g’u=–sinu h(g)=lng Visszahelyettesítünk: f(h)=tgh Szokás a szabályt úgy alkalmazni, hogy a deriválással „kívülről befelé” haladunk, azaz a legkülső függvény deriváltját szorozzuk az eggyel beljebb lévőével és így tovább. Az adott külső függvény argumentumába pedig azt a kifejezést írjuk, amire az illető külső függvény utasítása vonatkozott. Az összetett függvény deriválását jól, biztosan kell tudni, szükséges gyakorolni! Magasabbrendű deriváltak Többször szükségünk lesz arra, hogy egy függvény deriváltját mégegyszer deriváljuk. Ekkor az új deriváltat az eredeti függvény második deriváltjának nevezzük. Jelöléssel: (f’(x))’=f’’(x). Példa: ha f: f(x)=5x3+3x+2, akkor f’(x)=15x2+3 és f’’(x)=30x.

A kétváltozós függvények deriválása Általánosan: az n-edik deriváltat az n–1-edik deriválásával kapjuk: f(n)(x)=(f(n-1)(x))’. A deriválásokat az „elején” (a harmadik, esetleg negyedik deriváltig) vesszőkkel jelöljük, utá- na a függvény jobb felső részéhez írt zárójelben lévő számmal. Megegyezés (definíció) szerint a nulladik derivált maga a függvény: f(0)(x)=f(x). Példa: deriválgassuk a sin függvényt! y=y(0)=sinx; y’=cosx; y’’=-sinx; y’’’=-cosx; y(4)=sinx…és ezután minden ismétlődik. A kétváltozós függvények deriválása Az f: f(x;y) kétváltozós függvény deriválását az egyváltozós függvények segítségével kapjuk. A módszer: előbb az egyik változót konstansnak tekintjük és az így egyváltozóssá tett függ- vényt deriváljuk, majd a másik változóval tesszük ugyanezt. Így a kétváltozós függvénynek kétféle első deriváltja létezhet. Példa: legyen f: f(x;y)=5x2y3+3x5+8y+12. Ha az y-t tekintjük először konstansnak, akkor a függvényünknek csak az x lesz a változója. Ezt deriválva kapjuk az eredeti függvény x szerinti parciális deriváltját, amit így jelölünk: Konkrétan: (3x5)’x=15x4, és: (8y+12)’x=0. A jel a d betűre emlékeztet, a parciális („részenkénti”) deriválás jele. A deriválás változóját a függvény „lábához” írjuk, indexként.

Az y szerinti deriváláskor az x-et tekintjük konstansnak: Továbbá: hiszen most az x „konstans”. Ugyanígy: Tehát, ha f: f(x;y)=5x2y3+3x5+8y+12, akkor: A kapott deriváltakat újra differenciálhatjuk mindkét változó szerint: Négy másodrendű parciális derivált képezhető, az xy és yx szerintieket vegyes parci- ális deriváltaknak nevezzük. Látható: A vegyes másodrendű parciális deriváltak általában egyenlők. A parciális deriválás geometriai jelentése: az (x0;y0)-hoz tartozó érintők iránytangensei. Képezhetünk a másodrendűeknél magasabbrendű deriváltakat is, további deriválásokkal. A három, vagy többváltozós függvények parciális deriválása is úgy történik, hogy mindig csak egy változót hagyunk meg változónak, a többit konstansnak vesszük.

Például: legyen f: f(x;y;z)=8x3y2z4 +5yz2+2x2y. Első deriváltként 3 parciális deriváltat írhatunk fel: A második és további deriváltak számos változatban képezhetők. Az összetett többváltozós függvények parciális deriválása A „szokásos” módon (láncszabály) járunk el. Célszerű a legkülső függvényutasítás deriválásával kezdeni és fokozatosan haladni a belső függvények felé. Példa: legyen f: f(x;y)= Képezzük az első parciális deriváltakat! Ha a második parciális deriváltakat is el kellene készíteni, akkor célszerű lenne előbb egyszerűbb alakra hozni az első deriváltakat. Két (vagy több) változós függvényeknél más deriváltakat is értelmezhetünk, például az irány- menti deriváltat, vagy a totális (teljes) deriváltat. Ezekkel nem foglalkozunk.

1. Bal- és jobboldali differenciálhányados Megjegyzések 1. Bal- és jobboldali differenciálhányados A szakaszonként más utasítással adott függvényeknél szükségünk lehet az egyes szakaszok „csatlakozási pontjain” meghatározni a differenciálhányadost, amit az illető ponthoz balról és jobbról közelítve tehetünk meg. Definíció: ha a differenciahányados függvénynek az x0 pontban van baloldali véges határértéke, akkor ezt a határértéket a függvény x0 pontbeli baloldali differenciálhánya- dosának nevezzük. Jelölése: A jobboldali differenciálhányados (hasonló értelmezéssel): Példa: adjuk meg a következő függvény: bal- és jobboldali differenciálhányadosait a 0 és a 2 pontokban! A jobboldali differenciálhányados a 0 pontban: A baloldali differenciálhányados a 0 pontban nem létezik, mert a 0 baloldali környezetében nem értelmeztük a függvényt. Az x0=2 pontban a baloldali differenciálhányados:

2. A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata A jobboldali differenciálhányados az x0=2 pontban: A bal- és jobboldali differenciálhányados egyaránt létezik, de nem egyenlők, ezért az x0=2 pontban a függvénynek nincs differenciálhányadosa, itt nem deriválható a függvény. Hasonlóan látható be, hogy az x0 =5 pontban csak baloldali differenciálhányados létezik. 2. A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata a.) Ha a függvény mindenütt folytonos, akkor nem biztos, hogy mindenütt deriválható. Példa: tekintsük az abszolutérték függvényt: A baloldali differenciálhányados az x0=0 pontban: A jobboldali differenciálhányados az x0=0 pontban: A bal- és jobboldali differenciálhányadosok nem egyeznek meg, ezért az abszolutérték függ- vény a 0 helyen nem differenciálható. (Minden más pontban viszont igen.) b.) Ha valamely pontban egy függvény differenciálható, akkor ott biztosan folytonos is. Bizonyítható, hogy ekkor az adott pontbeli határérték megegyezik a helyettesítési értékkel. A fejezet tárgyalását befejeztük.