E képlet akkor ad pontos eredményt, ha az exponenciális tényező kitevőjében álló >>1 feltétel teljesül. Ha a kitevőben a potenciálfal vastagságát nanométerben, az energiakülönbséget eV-ban mérjük, akkor a kitevő értéke Ha például W 0 =5 eV, W=4 eV és =1 nm, akkor az elektron átjutási valószínűsége T=10 –4, tehát átlagosan minden tízezredik elektron jut át a falon. Ha a falvastagság csupán 0,2 nm, akkor már minden harmadik elektron átjut. Alagúteffektus

1. Egy 2,5 eV energiájú elektron halad az 5 eV magasságú és 0,2 nm szélességû potenciálfal felé. Határozza meg annak a valószínûségét, hogy az elektron áthalad a falon!

. 2 Irja fel annak a harmonikus oszcillátornak a Hamilton-operátorát és az alapállapot  ( x, t ) sajátfüggvényét, amely osszcillátor elektronjának legkisebb energiája egyenlő az a =4 nm szélességű egydimenziós dobozba zárt elektron legkisebb energiájával.

3. Egy hidrogén atomban az elektron de Broglie-hullámhossza 0,628 nm. A felsoroltak közül melyik lehet a szóban forgó elektronpálya sugara? a) 0,05 nm; b) 0,15 nm; c) 0,2 nm; d) 0,25 nm; e) 0,32 nm. 4. A hidrogénatom ionizációs energiája 13,6 eV. Mekkora energia szükséges ahhoz, hogy a hidrogénatom az alapállapotból a második energiaszintre (első gerjesztett állapot) kerüljön? a) 1,51 eV; b) 3,4 eV; c) 6,8 eV; d) 10,2 eV; e) 13,6 eV. 5. Milyen hullámhosszúságú fotont emittál az az egyszresen ionizált He atom, amelyben az elektron az n=3 szintrõl az n=2 szintre ugrik vissza? 0,2 nm 10,2 eV

6. A megadott függvények közül melyik lehet az idõfüggõ Schrödinger-egyenlet megoldása erõmentes térben mozgó elektron esetén? Ellenőrizze közvetlen helyettesitéssel.

A különböző sajátfüggvény a részecske más és más stacionárius állapotát jelenti, tehát egy energiaszinten a részecske több stacionárius állapotban lehet. Kocka alakú doboz esetén az ( n 1, n 2, n 3 ) számhármas meghatározza a sajátértékeket. A doboz W 1 nullponti energiájához az (1, 1, 1) számhármas és egyetlen sajátfüggvény W 2 = 2 W 1 energiaszinthez már három sajátfüggvény, a (2, 1, 1), (1, 2, 1) és (1, 1, 2) tartozik A W 3 =3 W 1 -hez, a W 4 =(11 / 3) W 1 -hez ugyancsak három, a W 5 = 4 W 1 -hez csak a (2, 2, 2), a W 6 =(14 / 3) W 1 szinthez a részecske hat különböző stacionárius állapota tartozik. (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1),(3, 1, 2), (3, 2, 1)

Egyenesvonalú mozgás: egy kvantumszám: n Térbeli mozgás: három kvantumszám: ( n 1, n 2, n 3 ) Új kisérleti tény: az elektronnak van saját perdülete és mágneses nyomatéka ! Az elektron állapotának meghatározására még az s =  (1/2) spinkvantumszámot is meg kell adnunk. Az eddig tárgyalt  függvény kiegészítésre szorul: Minden ( n 1, n 2, n 3 ) számhármashoz még a spinkvantumszám két értékének megfelelően két  függvény is tartozik: A teljes  állapotfüggvény nemcsak az térbeli koordinátáktól, hanem a spinkoordinátáktól is függ. Ezek szerint a dobozban a W 1 nullponti energiájához nem egy, hanem 2 különböző  tartozik, a W 2 = 2 W 1, W 3 =3 W 1, W 4 =(11 / 3) W 1 energiaszintekhez nem három, hanem 6  tartozik, a W 6 =(14 / 3) W 1 szinthez a részecske 12 különböző stacionárius állapota tartozik.

Az elektronnak van saját perdülete és mágneses nyomatéka, tehát az elektron állapotának meghatározására még az s =  (1/2) spinkvantumszámot is meg kell adnunk. Minden n, l, m számhármashoz még a spinkvantumszám két értékének megfelelően két  függvény tartozik: A teljes  állapotfüggvény nemcsak az térbeli koordinátáktól, hanem a spinkoordinátáktól is függ ! Ezek szerint a W n energiához nem n 2, hanem 2 n 2 különböző kvantumállapot tartozik. Valamennyi alacsony rendszámú atom stacionárius állapotai előállíthatók a hidrogénatom sajátfüggvényeiből. A fáradtság megérte: valamennyi anyag atomjai és molekulái elektronhéjáról szereztünk fontos ismereteket.

7. Egy háromdimenziós kocka alakú potenciáldobozban lévő adott energiájú elektron egyik hullámfüggvénye (mikroállapot-függvénye) 8. Hány olyan mikroállapota van az elektronnak összesen, amely ugyanehhez az energiához tartozik? (Vegye figyelembe a spin kvantumszámot is!) a) 2, b) 3, c) 6, d) 12, e) egyik se 9. Egy kocka alakú dobozba 34 elektront dobunk. Hanyadik energiaszinten lesz a legnagyobb energiájú elektron abszolut nulla fokon? a) 2-ik, b) 3-ik, c) 6-ik, d) 12-ik, e) 34-ik

Heisenberg-féle „határozatlansági” reláció Egy q helykoordináta mérésének határozatlansága, a hozzá tartozó p impulzuskoordináta egyidejű mérésének határozatlanságával együtt a következő egyenlőtlenségnek tesz eleget :

10. Egy a szélességű egydimenziós dobozba zárt elektron n = 3 gerjeszett állapotban van. Mi a valószínűsége annak, hogy a részecskét a doboz bal szélétől mért a/3 hosszúságú tartományban találjuk? 11. Egy a szélességű egydimenziós dobozba zárt elektron energiája az n = 3 gerjeszett állapotban 9 eV. Mekkora volna az energiája, ha az n = 2 és az n = 4 gerjesztett állapotokba kerülne? 12.. Határozza meg azon részecske sebességének határozatlanságát, amely részecske helyének határozatlanságát ismerjük, és az egyenlõ a részecske de Broglie-hullámhosszának felével, sebessége pedig akkora, hogy a tömeg változásától még eltekinthetünk!

13. Egy 10 –6 gramm tömegű részecske egyenes mentén mozog. Sebességének határozatlansága 10 –6 m/s. Milyen pontosan mérhető a részecske helye? Ismételje meg a számitást elektronra a sebesség azonos határozatlansága esetén! 0, [m] Mikrogramm 57,6 [m] Elektron 14. Mekkora az elektron helyének határozatlansága, ha az elektront zérus kezdő- sebességről feszültség gyorsitotta?