Mechanika I. - Statika 3. hét: Síkbeli erőrendszerek eredője, egyensúlya Készítette: Pomezanski Vanda

Szétszórt erőrendszer eredője szerkesztéssel Geometriai ábra: M=1:m Ezt a módszert folytatva akárhány erő eredőjét megkaphatjuk, kivéve ha az addig összegzett erők hatásvonala párhuzamos a következő erő hatásvonalával. A végrehajtás gond lehet akkor is, ha csak ‘majdnem párhuzamosak’ (a metszéspont kívül esik a papíron). F1 F3 R F12 F2 Vektori ábra: 1 cm (=) …. kN F1 F2 F12 R F3

Kötélsokszög (kötélpoligon) Geometriai ábra: M=1:m Vektori ábra: 1 cm (=) …. kN R F1 F4 F3 F2 R S0’ S0 S4 S3 S0 S1 S1 S2 S0’ S2 Ω F1 F4 S3 S4 F2 F3

Az eljárás lépései egyenértékűségi kijelentésekkel: Vektori ábra: 1 cm (=) …. kN (S0, F1, F2, F3, F4, S0’) = (S1, F2, F3, F4, S0’) = (S2, F3, F4, S0’) = (S3, F4, S0’) = (S4, S0’) = R___ F1 F4 F3 F2 R S0’ S0 S1 S2 Ω S3 S4

A kötélsokszög lehetséges ‘záródásai’ Az első és az utolsó kötéloldal (Sn, S0’) egymáshoz viszonyítva három féle helyzetben lehet: metszik egymást -> eredő erő, párhuzamosak -> erőpár, egybeesnek -> zéruserő.

Példa: az eredő egy nyomaték (erőpár) Geometriai ábra: M=1:m Vektori ábra: 1 cm (=) …. kN S3 S3 k S2 F3 S0’ S0 = S3 F1 S1 Ω S0 S1 S2 F2 F3 S0’ F1 F2 M = kS0

Párhuzamos erőrendszer eredője Geometriai ábra: M=1:m Vektori ábra: 1 cm (=) …. kN F2 F3 F2 S2 R S0 S1 S2 F1 R S0’ S0 S4 S3 Ω S3 F4 S4 S1 S0’ F1 F4 F3

Speciális esetek párhuzamos erőkre: 2 dinám eredője F M R Egy erő és egy nyomaték eredője egy erő. Az erő vektorát arra felé kell tolni, hogy az adott erő támadáspontját az adott nyomaték irányába forgassa. Két, egy irányba mutató erő eredője a két erő között, a nagyobbikhoz közelebb fekvő erő lesz, melynek nagysága a két erő összege. Két ellentétes irányba mutató különböző nagyságú erő eredője a két erőn kívül a nagyobbik oldalán ható erő, melynek nagysága a két erő nagyságának különbsége. Két egyforma nagyságú, ellentétes irányba mutató erő eredője egy nyomaték. F1 F2 R F1 F2 R F1 F2 M

Az egyensúly Definíció: Az erőrendszert egyensúlyi erőrendszernek nevezzük (az erőrendszer egyensúlyban van), ha az erőrendszer eredője zéruserő. Következmények: Két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha közös a hatásvonaluk, azonos nagyságúak és ellentett irányúak (egymás ellentettjei). Három vagy több közös metszéspontú erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha vektoraik nyílfolytonos sokszöget alkotnak. Tétel: Minden erőrendszert egyensúlyozhatunk az eredőjének ellentettjével.

Eredő erő, egyensúlyozó erő Egyensúlyozás 1 erővel kp kp F1 F3 F4 F1 F3 F4 Eredő erő R Egyensúlyozó erő E vp vp Tétel bizonyítása:

Egyensúlyozás 2 erővel adott hatásvonalú erőkkel b b F1 F3 F4 F1 F3 F4 a B a A b b a a B A

Egyensúlyozás 2 erővel adott hatásvonal és adott nagyság F1 F3 F4 a B Két megoldás van B B A F1 F3 F4 B A

Egyensúlyozás 2 erővel adott hatásvonal és adott nagyság F1 F3 F4 a B Egy megoldás van Nincs megoldás F1 F3 F4 B A

Egyensúlyozás 2 erővel adott nagyságú erőkkel Két megoldás van Egy megoldás van Nincs megoldás F1 F3 F4 F1 F3 F4 A B F1 F3 F4 A B B B B B A A A A

Egyensúlyozás egyetlen dinámmal Tétel: Minden dinámrendszert egyensúlyozhatunk eredőjének ellentettjével. Az eredőt megadhatjuk az origóra redukált alakjával is. Ehhez két erőkomponenst (vagy a két erőkomponens összegvektorának nagyságát és szögét) és egy nyomatékot kell meghatároznunk. Ez mindenképpen 3 adatot jelent. Az, hogy valamelyik ismeretlen éppen zérus értékűnek adódik, nem változtat az ismeretlenek számán. Tétel: Minden dinámrendszert egyensúlyozhatunk egy adott ponton átmenő erővel és egy nyomatékkal. A koordináta rendszert úgy választjuk meg, hogy az origó az adott pontra illeszkedjék. A dinámrendszert redukáljuk az origóra. Az így kapott dinámrendszer ellentettjei egyensúlyozzák a vizsgált dinámrendszert.

Egyensúlyozás egy adott ponton átmenő és egy adott hatásvonalú erővel Tétel: Minden (síkbeli) dinámrendszer egyensúlyozható (e síkban fekvő) egy adott ponton átmenő és egy adott hatásvonalú erővel, ha az adott pont nem illeszkedik az adott egyenesre Geometriai ábra: M=1:m Vektori ábra: 1 cm (=) …. kN A B R R b A

Egyensúlyozás három adott hatásvonalú erővel Tétel: Bármelyik síkbeli dinámrendszer egyértelműen egyensúlyozható három (e síkban fekvő) adott hatásvonalú erővel, ha e három hatásvonalnak nincs közös pontja ( a végtelenben sem). Geometriai ábra: M=1:m Vektori ábra: 1 cm (=) …. kN C q a R R b c Q A B Culmann-módszer

Irodalom BME, Építőmérnöki statika oktatói segédanyagok (silabusz) Gáspár Zsolt, Tarnai tibor: Statika, egyetemi jegyzet, Műegyetemi Kiadó, Budapest 2006.