2008. Bertha Mária A CAD-CAM modellezés alapjai

2008. Bertha Mária I.1. A számítógépi modell fogalma. A modellek alkalmazásának előnyei és szükségessége a fejlett tervezésben: Az alaknak és a tervezés minden más eredményének számítógépi leírását számítógépi modellnek nevezzük. A számítógépi modell a valóság számítógépben tárolt adatok formájában való leírása. A modellek rengeteg információt hordoznak magukban (funkciót, alapanyagot, energiát, környezete valamely hatást, ráható erők, hő és egyéb hatások), speciális igényeket is ki tudnak elégíteni (lényegesen lecsökkentik a kísérleteket, próbagyártást, és a vizsgálatokat, mert ezeket mind le lehet modellezni.). A modellezést és a gyártást akár ketté is lehet választani és akár több kontinensen is. A modell a valóságban nem létezik ezért virtuálisnak, nevezzük. A fejlett modellek a termék értékelésére már legalább ugyanannyi, de inkább több információt képes adni, mint a legyártott prototípus, ezért nevezik a fejlett modelleket virtuális prototípusnak.

2008. Bertha Mária I. 2. A topológia és a geometria fogalma, topológiai és geometriai entitások és összefüggéseik. A topológia: a geometriai elemek egymáshoz való kapcsolódását írja le. A modellelépítését (struktúráját). A geometria: az alak matematikai leírása A test nem geometria, hanem topológia, a testnek nincsen alakja, a topológiai entitások nem hordoznak alak információt. A topológiai leírás tartalmazza: 1. a modellezett alakon mely élek mely csúcsokba futnak be, 2. mely élek veszik körül az egyes felületeket és 3. mely élek mellett kapcsolódnak a felületek. Ezért a geometriai modellekben topológiai entitásokat helyeznek el. A modellek tehát topológiai és geometriai entitásokból állnak. Minden geometriai entitásnak kell valamilyen topológiai entitáshoz kapcsolódni, azonban van olyan topológiai entitás, amelyekhez közvetlenül nem kapcsolódnak geometriai entitások. A topológia tehát valójában a geometriai modell entitások egymáshoz való kapcsolódásának a sorrendjét írja le. Egy geometriai entitás mindig meghatározott topológiai entitáshoz kapcsolódik, mégpedig a pont csúcshoz, a vonal élhez, a felület laphoz. Magasabb szintű topológiai entitás a test. Összetett topológiai entitások: héj (burok), testelem, lapcsoport.

2008. Bertha Mária Topológiai entitások és kapcsolatuk geometriai entitásokkal V E F V = csúcs (vertex) L = zárt éllánc (loop, ring) E = él (edge), P = pont (point) G12 C = görbe (curve) F = lap (face) S = felület (surface) közös él (coedge)

2008. Bertha Mária Magasabb szintű topológiai entitások Héj (Shell)Darab (lump) Csúcsok, élek és lapok konzisztens topológiája + anyag Test

2008. Bertha Mária Topológiai szabályok testeknél Euler szabály Leonhard Euler ( ) svájci matematikus. A testet határoló felület Euler jellemzője: V - E + F Az Euler jellemző állandó c=V - E + F = 2. A különálló testeket és áttöréseket nem tartalmazó alakok esetében az Euler jellemző értéke c=V - E + F = 2 Topológiai konzisztencia A topológia teljes. A konzisztencia ellenőrzése: topológiai szabályokkal. Csúcsba befutó élek száma három, vagy annál több. Lapot élek zárt lánca vesz körül. Egy él két laphoz tartozik.

2008. Bertha Mária 1.3. Testmodellek topológiája, alapvető topológiai szabályok Testmodellek topológiája: Az alapvető topológiai entitásokból további összetett topológiai entitások képezhetők. Összetelt topológiai entitások: héj (burok), testelem, lapcsoport. Az alapvető topológiai entitásokat ezekkel kiegészítve a gépészeti gyakorlatban felmerülő alakmodellezési igények kielégíthetők. Alapvető topológiai szabályok: - topológiai konzisztencia: a topológia teljes, hiánytalan, - A konzisztencia ellenőrzése topológiai szabályokkal, - A topológia a geometria változásával módosulhat, - A csúcsba futó élek száma kettő vagy annál több, - Egy él két laphoz tartozik, - A lapot élek zárt lánca veszi körül. Nem minden topológiai struktúrának kell ezeknek a szabályoknak megfelelni, azonban az ilyen modellek nem testet írnak le.

2008. Bertha Mária Lokális Euler operátorok: A topológiai struktúrák Euler operátorokkal (az operátorok ebben az értelmezésben egy számítógépes eljárás, amely a topológiai struktúrán meghatározott műveletkombinációt végez.) módosíthatók. Az Euler operátorok csúcs, él, lap, test, áttörés és gyűrű topológiai elemeket hoznak létre, törölnek, vágnak szét és kapcsolnak össze. Az operátorok a topológiai műveletek olyan kombinációjához lettek kialakítva, amelyek feltétlenül konzisztens topológiai struktúrát hoznak létre. MEV operátor: (make edge and vertei = hozz létre élet és csúcsot). Az él létrehozása azért párosul csúcs létrehozásával, mert az élnek mindenképpen csúcsban kell végződnie. MEF operátor: (make edge and face = hozz létre élet és lapot) akkor alkalmazható, ha a topológiai struktúra bővítése egyetlen éllel elegendő egy lap definiálásához. KEMR operátor: (kill edge and make face = törölj élet és hozz létre lapot] egy hurok két hurokká való bontását eredményezi azáltal, hogy egy élet eltávolít. Lokális Euler operátorok

2008. Bertha Mária Példák az Euler szabályra V-E+F=8-12+6=2V-E+F= =2V-E+F=2-3+3=2

2008. Bertha Mária I. 4. Szomszédsági összefüggések, közös él problematikája. Szomszédsági összefüggések: A topológiai elemek kapcsolatrendszerének leírásában alapot a szomszédossági kapcsolatok adják. A csúcsokhoz, élekhez és lapokhoz hozzárendelhetők azok a csúcsok, élek és lapok, amelyekkel szomszédosak. A modellekben ezeket az információkat táblázat vagy gráf formájában építik be. A csúcs szomszédságának a befutó élek, azok másik végén lévő csúcsok és az élekkel kapcsolatban lévő lapok számítanak. Közös él problematikája: Ahol két lap kapcsolódik egymáshoz, ugyanazon él két él hurokhoz is tartozik. A kettősséget a közös él topológiai entitás bevezetésével kezelik. Az él tehát két él hurokban is szerepel. Csakhogy a két él hurok irányítottsága ellentétes. Az élnek ezt a kétértelműségét a hasított él kettős szerepének definiálásával szüntetik meg, ahol az él egy-­ egy fele egy-egy laphoz tartozik. A hasított él végpontjából az egyik lap felől megelőző, a másik lap felől következő él tartozik. Ezt a megoldást szárnyas él megoldásnak nevezik. Manifold topológia: 1 él - 2 lap. Nem Manifold topológiás l é1 - 4 lap

2008. Bertha Mária Szomszédság V 2 V 3 V 4 E 1 E 2 E 3 F 1 F 2 F 3 V 1 szomszédsága V 1 V 1 V 2 V 3 V 4 E 1 E 2 E 3 F 1 F 2 F 3

2008. Bertha Mária F 1 Közös él: szárnyas élstruktúra A határfelület ábrázolásának problematikájának megoldása EF 1 F 2 megelőző él követő élmegelőző él követő él V 1 V 2 1 F 2 E 1 V 1 V 2

2008. Bertha Mária Topológia építésének kiinduló állapota Él-eltávolítási és csúcs-egyesítési műveletek során egyetlen csúcsot és egyetlen poligont tartalmazó modellt kapunk

2008. Bertha Mária Topológia építés lokális Euler operátorokkal MEV – készíts élet és csúcsot! KEMR MEF– készíts élet és lapot!KEMR – távolíts el élet és hozz létre gyűrűt (zárt élláncot)!

2008. Bertha Mária I. 5. Az egységes és a több-ábrázolású modellezés fogalma, alapvető alakmodell­ábrázolási módok összehasonlító áttekintése. Az egységes modellezés: amely egységes geometriai leírás mellett egységes topológiai leírást is találunk. A több-ábrázolású modellezés: multireprezentációs modellezés, amely a drótváz, a felület és testmodellekhez jellemzően még azonos CAD/CAM rendszeren belül is eltérő geometriai leírást alkalmaznak. Alapvető alakmodell- ábrázolási módok összehasonlító áttekintése: 1. analitikus módszer, 2. interpolációs módszerrel 3. közelítő módszerrel

2008. Bertha Mária I. 6. A görbék paraméteres ábrázolása: a paraméterek fogalma, a paraméter és a modelltérbeli koordináták összefüggése, a görbe lokális tulajdonságai. A paraméterek fogalma: a görbe pontjait azonosítani tudjuk attól függetlenül, hogy az éppen hol helyezkedik el a modelltérben. A görbék egyenletét felírhatjuk explicit alakban: y =F (x). A görbék explicit alakját pedig paraméteres formában: x =x (u), y =y (u), z =z (u). Ezek a paraméteres egyenletek pedig lehetővé teszik, hogy a görbe adott a paraméterű pontjához kiszámítsuk az x, y, és z modelltérbeli koordinátákat. A modelltérbeli pont P helyzetvektora: P (u)=[x (u) y (u) z (u)] Umin < a <Umax A görbe lokális tulajdonságai: 1. Érintő (t), 2. Normális (n), 3. A görbület (r) az egyenestől való eltérést mértékét adja meg. A lokális tulajdonságok a görbe mentén pontról pontra változnak.

2008. Bertha Mária I.7. Az interpoláció fogalma. A folytonosság alapesetei. Interpoláció: kísérleti úton vagy számítással előállított pontokon átmenő görbe. Lineáris interpoláció: két - két pontot egyenes szakasszal kötnek össze. -3ponton körív vezethető út. -4 ponton átvezetve harmadfokú görbét kapunk. -pontokra illeszkedés: Lagrange interpoláció. -Hermite interpoláció: görbe fektetését jelenti két pont közé, a két pont és a két pontnál megvalósítandó érintő alapján. Folytonosság alapesetei: - ha a két görbének nincs közös pontja, nem beszélünk folytonosságról, - nullarendű a folytonosság, ha a két görbe határpontja közös, azonban az ezen a ponton az érintők nem közösek, ezért a görbék határán töréspont tapasztalható, - elsőrendű folytonosság: ha a két görbe érintője (t) az illeszkedési ponton közös, - másodrendű folytonosság, amikor a két görbe görbülete (r) az illeszkedési ponton azonos, - Ha a fenti folytonossági követelmények a paraméteres leírású görbékre vonatkoznak, akkor paraméteres folytonosságnak nevezzük, - Létezik még geometriai folytonosság is.

2008. Bertha Mária A de Casteljau algoritmus. A görbék tervezésénél alkalmazott geometriai összefüggésekkel kapcsolatban talán a legfontosabb a de Casteljau algoritmus. Ez tetszőleges fokszámú térbeli görbe szerkesztéséhez alkalmas formában adja meg a parabola ismert szerkesztésének általánosítását. A de Casteljau algoritmusnál lineáris interpolációt alkalmazunk. A de Casteljau algoritmus többszörös lineáris interpolációval határozza meg a görbe pontját. Harmadfokú görbe esetén az interpolációk száma 3.

2008. Bertha Mária I. 8. A közelítés fogalma. A Bezier görbék tulajdonságai. A konvex burok. A Bernstein függvények hatása a görbe tulajdonságaira. Bezier görbe: A görbék pontokból és érintővektorokból kiinduló meghatározása a gyakorlati alkalmazása nehézkes. Az n- ed fokú, n+1-ed rendű, n+1 vezérlőponttal irányított. Bezier görbék tulajdonságai: - globális vezérlés, - nemszegmentált, - approximális (közelítő), - a görbének a vezérlőpontok számával összefüggő a fokszáma, - a görbének az első és az utolsó ponton át kell haladnia, - a vezérlősokszög által lefedett ún. konvex burok. A globális vezérlés: egy pont változtatásával változik az egész görbe. Konvex burok: A Bezier görbe fontos tulajdonsága, hogy a vezérlősokszög által lefedett úgynevezett konvex burkon belül helyezkedik el. A Bernstein függvények hatása a görbe tulajdonságaira: Paul Bezier a görbék leírásánál a Bernstein polinomokat alkalmazta. A görbének az első és az utolsó vezérlőponton át kell haladnia, ezt a tulajdonságát a görbe a Bernstein polinomtól kapta.

2008. Bertha Mária A B-szplájn görbék tulajdonságai, racionális B- szplájn görbék. A B-szplájn görbék tulajdonságai: lokális vezérlés, az alapfüggvény fokszámával összefüggő, a vezérlőpontok számától független fokszámok és szplájn függvények. A B-szplájn függvény nem megy át az első és az utolsó vezérlőponton, azonban megfelelő módosulata átvezethető ezeken a pontokon. A B-szplájn görbe szegmentált. A folytonosság a szegmensek határán az alapfüggvény fokszámától függ. A folytonosság követelménye befolyásolja a fokszám megválasztását. A szegmensek határain a másodrendű folytonosság harmadfokú polinommal biztosítható. A vezérlőpontoktól nem függ a görbe fokszáma. A görbe fokszáma és a vezérlőpontokhoz kapcsolt függvények fogszáma megegyezik. Szegmentáltság: a B-szplájn alapfüggvényt meghatározott paraméterintervallumon belül definiálják. Lokális vezérlés: ha 1 pontot elmozdítunk a görbének csak egy része változik. Racionális B-szplájn görbék: Analitikus görbék leírását teszi lehetővé. Racionális: 2polínom hányadosaként állítható elő. A racionális görbe is lehet egyenközű, nem egyenközű, nem periodikus. A gyakorlatban a nem egyenközű racionális B-szplájn görbék (NURBS) terjedtek el. Négydimenziós tér: P a w-ediken= (wx,wy,wz,w), ahol w>0, W a homogén koordináta, amelyet súlyozásnak nevezünk. A racionális B-szplájn görbéket csomóvektora és súlyvektora jellemzi.

2008. Bertha Mária Szegmensek B-szplájn görbén u= u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 1 u 2 Csomó Szegmens Szegmens paramétertartománya

2008. Bertha Mária B-szplájn görbe tulajdonságai Szegmensekből áll Folytonosság a szegmensek határain Lokális vezérlés. Szplájn alapfüggvény A görbe fokszáma megegyezik az alapfüggvény fokszámával. Szegmensenként eltérő fokszám lehet. Az első és utolsó vezérlőponton csak megfelelő paraméterezés esetén halad át. Ekkor egyben érintőleges a vezérlő sokszög első és utolsó szegmensére. Szplájn: rugalmas acélszalag, amely kitűzési pontok közé feszítve harmonikus görbét ad. Ezt a hajóépítésben használt eszközt modellezték.

2008. Bertha Mária B-szplájn görbe szegmentált tulajdonsága A B-szpájn alapfüggvényt meghatározott paraméter-intervallumon belül definiálják. Példa: Zárt görbe hat vezérlőponttal irányítva hat szegmensből áll. Az egyes szegmensek a következő szegmenssel két közös vezérlőpont hatása alá tartoznak. Az első szegmenshez a V0-V2, a második szegmenshez a V1-V3 vezérlőpontok tartoznak, és így tovább. V 0 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5

2008. Bertha Mária I.11: Tabulált felületek, vonalfelületek és forgásfelületek származtatása. Együtt kezelendő görbék felületekhez. Tabulált (extrudált) felületek: egy síkbeli görbe meghatározott egyenes mentén való egyenes vonalú mozgása által bejárt felületként értelmezzük. Vonalfelület: két térbeli görbe azonos paraméterű pontjainak egyenes szakaszokkal való összekapcsolásával jön létre. A görbéket síneknek az egyenes szakaszokat generátoroknak nevezzük. Forgásfelület: egy síkbeli görbe megadott tengely körül meghatározott szögtartományban való megforgatásával keletkezik. A görbe a megadott szög mentén különböző helyzeteket vesz fel, ezek a meridiángörbék. Együtt kezelendő görbék felületekhez: Az együttkezelendő görbék csoportjának egy magasabb szintű szervezete a görbehálózat. A görbehálózat valamely felületkomplexum előállításához szükséges valamennyi görbét magában foglalja. A görbehálózatok mindenütt előnyösen alkalmazhatók, ahol összetett felületet kell létrehozni viszonylag nagy számú görbéből kiindulva. A görbehálózat és a felületek asszociatív kapcsolatban vannak, így a vonalak módosításával a felületek is módosulnak.

2008. Bertha Mária Felületek paraméteres ábrázolása

2008. Bertha Mária Modelltér és paramétertér