Matematika a bűnüldözésben Készítette: Peti Fruzsina és Telek Zsófia Felkészítő tanár: Kertai Helga Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

A bűnügyek felderítésének módszerei, technikái folyamatosan fejlődnek A bűnügyek felderítésének módszerei, technikái folyamatosan fejlődnek. Számos tudományág együttes használatával derítenek fel egy esetet. Azonban mind az emberi viselkedés és a természet matematikai elemei, módszerei nem elhanyagolhatóak a nyomozás során. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Statisztika A valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati tevékenység és tudomány. A bűnüldözésben a következtető (matematikai) statisztika van használatban. Célja a megfelelő – vagyis a sokaság egészének paramétereit legjobban tükröző, reprezentáló – minta kiválasztása, a sokasági paramétereknek a minta paramétereivel történő becslése, illetve a sokasági paraméterekre vonatkozó feltételezések, hipotézisek elfogadása vagy elvetése. Foglalkozik továbbá a valóság összefüggéseinek egyszerűsített megragadására törekvő modellekkel is. Mire használják pontosan a statisztikát a bűnüldözésben? Az elkövetett bűnügyek száma, illetve típusa alapján a rendőrség bűnügyi statisztikát tud felállítani, mely kimutatja az adott területen milyen típusú bűnözési forma, milyen mértékben fordul elő. Magyarország bűnügyi statisztikája a Központi Statisztikai Hivatal forrásából Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Prediktív analízis, avagy mire jó a rendőrségnek a bűnügyi statisztika? Olyan számítógépes programokat hoztak létre, amelyek a város bűnügyi statisztikái alapján megjósolja, hol lesz szükség rendőrökre. Az egyik program neve Blue CRUSH. A betűszó jelentése: bűnözés-visszaszorítás statisztikai adatok alkalmazásával, (angolul Criminal Reduction Utilizing Statistical History), melyet a memphisi rendőrök  a University of Memphis kriminológiai tanszékével együttműködve  dolgoztak ki. Az így szerzett információk alapján több járőrt küldenek a város azon részére, ahol több bűneset várható. A Memphisben működő rendszer hatékonyságát mutatja, hogy a város Hollywood-Springdale nevű régiójában 36,8 százalékkal csökkent a bűnözés. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Földrajzi profilalkotás A földrajzi profilalkotók olyan analízist készítenek, amiben a vadászat szokásai és erőszakos sorozatgyilkosok területei térbeli mintákat rajzolnak meg . A minták segítségével körvonalazható és a bűntény helyeinek vizsgálatával megállapítható a tettes lakásának leginkább valószínű helye. A bűntény távolságainak relatív valószínűségét meghatározó statisztikai minták segítségével a tettes elsődleges tartózkodási helyétől számítva a számítógépes program egy olyan színes, háromdimenziós ábrát hoz létre, amit a "kockázati területnek" neveztek el. (Kockázati területek azok a helyszínek, ahol valószínűleg bűntényt követnek el.) Egy hétköznapi domborzati térkép különböző színeihez hasonlóan, ha ezt a várostérképre kivetítjük, egy összetett és színes "geoprofilt" kapunk. A csúcspont - a magasföld a térképen - jelzi a tettes tartózkodási helyét. A számítógép több, mint egy milliónyi számítást hajt végre egy típusanalízis során. A bűntettek helyszíneit típusok szerint kategorizálja, és megjegyzi speciális címekként, avagy átfordítja GPS olvasmányokra, hosszúsági és szélességi fok szerint. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Honnan származnak adataink a bűnözésről? Az eddigi adatok a bűntényekről kézzel vagy géppel írt adatlapokon, dobozokba gyűjtve voltak felhalmozva, virtuális nézőpontból elérhetetlenek voltak. 1987-től a brit rendőrség folyamatosan adat összesítő programok fejlesztésén dolgozott, melyek képesek az összes addigi feljegyzett bűnügyek adatait összevetni. Ilyen programok volt a vicces mozaikszó neveket kapó HOLMES, illetve CATHCHEM rendszerek. A CATHCHEM rendszer hozzávetőlegesen 9000 gyilkosság adatait tartalmazta 1960 óta, a program felbecsülhetetlen értéknek bizonyult, egy ügy kapcsán elemezték: - a kort - a foglalkoztatottságot - a büntetett előéletet - számos gyanúsított tartózkodási helyét Ezáltal a rendszer képes volt a gyanúsítottak körét 150 emberre leszűkíteni, ezek közül pedig DNS teszttel már könnyen azonosítani tudták a rendőrök az elkövetőt. Így kezdődött meg az úgy nevezett profilalkotás, más néven profilanalízis használata. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Profilanalízis A profilalkotás az elkövető személyiségprofiljának, személyiségképének megalkotására irányul. Az elkövetői személyiségprofil ismeretében aztán újabb verziókat tud felállítani a nyomozóhatóság, amelyek leellenőrzése az elkövető felderítéséhez is vezethet. Az összes bűnöző halmazát az alábbi szempontok alapján szűkíthetjük: leszűkíteni a lehetséges elkövetők körét, illetve megtalálni a legvalószínűbb elkövetőt a sok lehetséges elkövető közül a helyszínen talált nyomok és viselkedési jegyek azonosításával és elemzésével  az elkövető lelkiállapotába a bűncselekmény előtti, alatti vagy utáni viselkedése útján (pl. részletes tervezés, bűntudat, elővigyázatossági intézkedések stb.); összekapcsolni különböző bűncselekményeket az elkövetői viselkedésjegyek (signature behavior) által Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Induktív és deduktív módszer használata Két , egymással „ellentétes irányú” logikai következtetési eljárás. Az induktív következtetés az egyedi esetekből kiindulva halad az általános törvényszerűségek felé, melyek egyben az egyedi esetek magyarázatai is lesznek. A deduktív eljárás a már ismert általános törvényszerűségből következtet - ad magyarázatot - az egyedi esetekre. Fontos hangsúlyozni, hogy ez a kétféle következtetés nem úgy viszonyul egymáshoz, mint helyes a helytelenhez. A matematikában nagyrészt dedukciót alkalmazunk, mivel a definíciók és az axiómák olyan általános tételek, melyekből levezethetők újabb tételek. Alapvetően nem téves az induktív okfejtés a bűnügyek megfejtéséhez, azonban olyan pozitív végkövetkeztetésekhez vezethet, ami esetlegesen félrevezető. Brent Turvey nyomozó egy tipikus példát említett erre: Amit tudunk: 24 éves fehér nőt megerőszakoltak az első emeleti lakásában. Induktív következtetés: a tettes egy szexuális ragadozó, aki kizárólag első emeleten lévő fehér nőket erőszakol meg, ezt a tényt a sajtó leközli. Azonban nem csak az a lehetőség áll nyitva a tettes előtt, hogy más körülmények közt is kövessen el bűntényt, hanem a kijelentést a hírekben hallva úgy dönthet, többé nem első emeleten lakó nőket támad meg. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Induktív és deduktív módszer használata További problémák az induktív okfejtéssel: a statisztikát kis számú adatokból készítik és nem alkalmazható rendkívüli estekre, illetve a letartóztatott tettesektől származik. Mivel pont azok a legügyesebb bűnözők, akiket nem kap el a rendőrség, ennél fogva a róluk származó adatok hiányoznak. A „deduktív bűnözői profil” olyan okfejtéseket tartalmaz, amelynek a tettes személyiségéről alkotott végkövetkeztetési közvetlenül az ismertetett feltevésekből következnek. A profil maga kapcsolatban áll a viselkedés modelljével. A tett helyszínéről készült fényképeket, videókat, a szemtanúk leírását, boncolási jegyzőkönyvet, szomszédokkal készült interjúkat, az áldozat mozgását a tett helyszínéig, az áldozat származását, az áldozat és a gyilkos természetét mind egyszerre vizsgálja. Ezek az adatok sokat elárulnak az elkövetőről, hogy milyen szempontok szerint választja áldozatát. Ezen kívül vizsgálja, hogy mekkora veszélynek van kitéve az áldozat, illetve, hogy a támadás pillanatában az elkövető mekkora kockázatot vállal. Például a prostituáltak alkotják a veszélyeztetettek egyik legnagyobb csoportját. Mindez segít a profil alkotónak, hogy megkülönböztesse a Modus Operandit (az elkövetés módját) és a kézjegyet. Ezen adatok összesítése alapján a már korábban említett számítógépes adattároló rendszerek segítségével könnyen le lehet csökkenteni a lehetséges elkövetők számát és egyéb nyomokból (DNS, ujj lenyomat) már egyszerűbb megtalálni az elkövetőt. Mindez óriási lépést jelent a nyomozók számára és a technika fejlődésével arányosan egyre növekszik hatékonyságuk és módszereik skálája. Az FBI által legjobban keresett 10 bünözők képei, a „legügyesebb bűnözők” Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

A „Heisenberg-féle határozatlansági elv” A bűnt elkövetők szokások rabjai, köztük is kiemelkedő a rablók viselkedése. Kitalálnak egy sikeres módszert, időpontot, megtalálják a tökéletes fegyvert és amíg úgy érzik nem figyeli őket senki, ezen nem is változtatnak. Miért is tennék? A jól bevált módszert alkalmazzák. A Heisenberg-féle határozatlansági elv a kvantummechanika egyik alapelve, amely azt állítja, hogy nem tudjuk egy mikroszkópikus test bizonyos megfigyelhető változóit egyszerre tetszőleges pontossággal megmérni azonos pillanatban, még elvileg sem; például nem mérhető meg egyszerre pontosan egy részecske térbeli helye és impulzusa.  Ezt legegyszerűbben a halak viselkedésével modellezhetjük. Egy bizonyos mintát követnek, például periódikusan, 8-as alakban úszkálnak. Azonban, ha követ dobunk közéjük, azonnal szétrebbennek és pályát változtatnak. Tehát a megfigyelő hatással van a megfigyeltre. Ha a bűnt elkövető személy érzékeli, hogy figyelik, megpróbál elmenekülni, vagy változtatni taktikáján. Ezért fontos, hogy a rendőrség észrevétlenül nyomozzon. Gyakran a média tesz keresztbe egy-egy nyomozásnak, ezért annak lezárásáig a legtöbb esetben titkosítják az adatokat és a nyomozás fázisainak haladását. (Persze léteznek speciális esetek, amikor szándékosan közölnek információkat, hogy ezzel hatással legyenek az elkövetőre.) Amikor nagyobb bűnelkövető csoportokat, például drog-maffiákat buktatnak le, gyakran csak több éves megfigyelés után teszik. Így nagyobb a hatékonyság, mivel ha elkapnának egy embert a csoportból, a többi tag elmenekülne, azonban ezzel a módszerrel szélesebb körű rálátást kapnak a az illegális cselekményekre és azoknak elkövetői láncára. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kétdimenziós grafikus ábrázolása egy kvantumrészecske Gauss-szinuszos hullámfüggvénye esetére egy végtelen potenciálkút harmadik energiaszintjén. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Szándékos véletlenszerűség Az ember „beépített” arányérzéke miatt nem tud véletlenszerű lenni, még akkor sem, ha szándékosan „véletlenszerűen” próbál csinálni valamit. Nagyon jó példa erre a sorozatgyilkosok viselkedése. Megpróbálják áldozataikat, a bűn elkövetésének helyszínét és egyéb részleteket véletlenszerűen kiválasztani. Mégis, pontosan a profilanalízis és az adatgyűjtő rendszerek segítségével a nyomozók összefüggéseket találnak a bűncselekmények között. Nincs tökéletes gyilkosság. Saját viselkedésünkben is könnyen megfigyelhetjük ezt a jelenséget. Kérjünk meg 5 embert, hogy rendeződjenek el a szobában véletlenszerűen, teljesen spontán módon. Ha ezután felmérjük az emberek közti távolságot, nagyjából egyenlő értékeket kapunk. Ez azért történt így, mert beépített tudatalatti arányérzékük ösztönösen ezt az elhelyezkedést sugallta nekik. Ennek a helynek a kiválasztását érezték megfelelőnek. Az emberekben akaratlanul is dolgozik a beépített szépérzék, ezért tartunk például egy művészeti alkotást szépnek, mivel annak arányai az aranymetszés szerint rendeződnek. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Hogyan számítják ki a halál pontos idejét? A szakértők a holttest hőmérséklete, a hullamerevség alapján próbálnak következtetni a halál időpontjára. A pontos meghatározást azonban sok dolog befolyásolhatja, például a külső hőmérséklet, vagy az is, ha az elhunyt halála előtt röviddel verekedett. A legtöbb hő a testfelületen keresztül vész el, s ehhez a különböző testrészek más-más hőmennyiséggel járulnak hozzá, ezáltal az sem mindegy, hogy hol mérjük a test hőmérsékletét. A hő leadás szempontjából legkritikusabb terület a fej, mivel a testfelületen keresztül leadott hő felét a fejen át veszíti el az ember. Ezek a testrészek közvetlenül a belső, úgynevezett maghőmérsékletet csökkentik. Általában a halál idejének megállapításához a belső szervek hőmérsékletét mérik. A halál beálltának megállapításának több alternatívája is létezik, ezeknek legtöbbje még kísérleti stádiumban van. Például az orrüreg nyálkahártyájának felszínét beborító apró nyúlványok - a folyamatosan csapkodó csillók - a halál beállta után még órákig nem állnak le, lassuló mozgásukból következtetni lehet, hogy mikor hunyt el valaki. A lassulás üteméből következtetni lehet a halál beálltára, ugyanis a testhőmérséklet az idő exponenciális függvénye. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Hogyan számítják ki a halál pontos idejét? Egy egészséges emberi test hőmérséklete átlagosan 36,9 °C A test hőmérséklete a halál beállta után az idő exponenciális függvényében csökken a Newton-féle lehűlési törvény értelmében. (Feltéve, ha nem lépnek közbe környezeti hatások, például a környezet hőmérsékletének jelentős változása.) A hulla a nyomok alapján azonnal belehalt sérüléseibe. Állapítsuk meg a halál beálltát! Rendelkezésre áll még két mérésünk: este 9 órakor a test hőmérséklete 28 ° C, három órával később, tehát este 12 órakor a test hőmérséklete 25,6 ° C A környezet hőmérséklete 0 ° C A következő képlettel számíthatjuk ki a testhőmérsékletet egy adott időpontban: T = C · at Ha a C a hulla pillanatnyi testhőmérséklete, t az eltelt idő és a=0,9706 (mivel 9 órát t=0-nak, ezáltal 12 órát t=3-nak vettük, ebből a következő egyenlettel számíthatjuk ki az a értékét 25,6= 28 · a3) 36,9=28 · 0,9706t T= -9,25, tehát a t=0, vagyis este 9 óra előtt állt be a halál pontosan 9 és egynegyed órával A halál beálltának pontos ideje délelőtt 11 óra 45 perc Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Gráfelmélet és a biológiai fegyverek A terroristák egyik kedvelt módszere a biológiai fegyverek bevetése. A mai tudósok, többek közt a CIA-nál azon kísérleteznek, hogyan tudnának biológiai baktérium-spórákat fegyverekbe illeszteni. Mit tehet a rendőrség egy fertőzés terjedése esetén? Hogyan találja meg a kiindulási pontját? Az esetet könnyen modellezhetjük. Tegyük fel, hogy az első fertőzött személy egy üres szobában van. A szobába bemegy négy egészséges ember, közülük kettő megfertőződik. Ők egy-egy újabb üres szobában, újabb áldozatokat fertőznek meg. Már száz szobánál tartunk. Ekkor két kérdés merül fel: Ki az úgy nevezett egyes páciens? Merre terjed a betegség? Ha a fertőzött személyek fertőzésének helyszínét (például valamilyen forgalmas hely, pályaudvar, iroda, tér) térképen összekötve egy összefüggő gráfot kapunk. Ezáltal feltérképezzük a betegek tartózkodási helyét és a térképen jól látszik, milyen irányba terjed a betegség. A betegek gráfja egy növény ágainak növekedéseihez hasonlít, így megtalálhatjuk az egyes pácienset, a növény gyökerét. Ehhez arra van szükség, hogy minden páciens fertőződési helyét feltérképezhessük. Ebben az esetben a térképen pontosan kirajzolódik az egyes páciens a gráf egyik csúcspontjaként. Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Az alkoholszonda Mi az a véralkoholszint? Azt mutatja meg, hogy egységnyi vértérfogatban milyen mennyiségben található meg az alkohol. Ezt ezrelékpontban szokás megadni. Egy ezrelékpont azt jelenti, hogy 1 liter vérben 1 cm³ tiszta alkohol található. Alkoholszonda, avagy a véralkoholszint mérése: Alapja, hogy az elfogyasztott alkohol (változatlan formában) a véráramba kerül és a tüdő légcseréje során gőzei a kilélegzett levegőben is megjelennek. A kilélegzett levegő alkoholkoncentrációja arányos a vérben lévő koncentrációval, annak 2100-ad része. (Vagyis 2100 ml kilélegzett levegő annyi alkoholt tartalmaz, mint 1 ml vér.) Az alkoholszonda a kilélegzett levegő alkohol koncentrációját méri és kémiai reakciók (indikátor papír) segítségével jelzi ki azt. 0,30 alatt negatív, 0,31-0,50 között: ivott, de alkoholosan nem befolyásolt, 0,51-0,80 között: igen enyhe, 0,81-1,50 között: enyhe, 1,51-2,50 között: közepes, 2,51-3,50 között: súlyos, 3,51 felett igen súlyos fokú az alkoholos befolyásoltság Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Köszönjük a figyelmet! Források: A halál idejének kiszámítását egy svéd érettségi feladatra alapozva saját magunk készítettük el: http://mathdid.elte.hu/pic/vtcikk/maus.pd Internet: http://hu.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1felm%C3%A9let http://www.memphispolice.org/blue%20crush.htm http://www.vilaglex.hu/Lexikon/Html/AlkSzon.htm http://www.egeszsegkalauz.hu/ful-orr-gegeszet/az-orrnyalkahartya-elarulja-a-halal-idejet-109250.html http://www.drtatar.hu/profiling_hu.htm http://hu.wikipedia.org/wiki/Hat%C3%A1rozatlans%C3%A1gi_rel%C3%A1ci%C3%B3 http://hvg.hu/Tudomany/20100727_prediktiv_analizis_szoftver_rendorseg_ibm http://portal.ksh.hu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/xstadat_evkozi/e_zji001.html http://www.bszki.hu Szakirodalom: Brian Innes: Bűnös elmék; Skandi-Wald könvkiadó, Budapest, 2007 Képek: www.google.hu Gyilkos számok című sorozat Készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola