Mi a káosz? Egyszerű rendszerek bonyolult viselkedése

Érzékszerveink működése logaritmikus Weber-Fechner féle pszichofizikai törvény: az érzet erőssége az inger erősségének logaritmusával arányos Hallás Látás

Agyunk működése lineáris Ez mennyi búza? Szalmonella (15 percenként)

A valódi világ komplex  (gondolkodásunkkal átlátható) modelleket alkotunk (a „természettörvények”-re az embereknek van szüksége, nem a természetnek) fizika műszaki tudományok biológia közgazdaságtan ……...

Modellek geometriai pont egyenes- tömegpont ponttöltés harmonikus oszcillátor áramgenerátor ……….

A modell egyszerű  a modellt leíró differenciálegyenlet is egyszerű lineáris, szétválasztható változójú, ….  analitikusan megoldható

Ezek a modellek milyen jól leírják a sokkal bonyolultabb valóságot. Ami meglepő Ezek a modellek milyen jól leírják a sokkal bonyolultabb valóságot.

Az inga Mozgásegyenlet: linearizálás:

Az ingaóra Christian Huygens és George Graham

A szerkezet azért bonyolultab (a veszteségeket pótolni kell)

Fizikai rendszerek lineáris oszcillátor: nemlineáris oszcillátor: (harmonikus rezgőmozgás) nemlineáris oszcillátor: kényszerrezgés: hőtágulás:

Még bonyolultabb problémák Háromtest-probléma Naprendszer Csillagpulzáció Időjárás Populációnövekedés Gazdasági növekedés …..

Megoldási módszerek Fizikai modell készítés, kísérlet Számítógépes modell Analóg számítógép Digitális számítógép

Mi a káosz? Egyszerű rendszerek bonyolult viselkedése Pl. olyan mozgás, mely szabálytalan: nem ismétli önmagát, nem periodikus „előrejelezhetetlen”: érzékeny a kezdőfeltételekre, hosszútávon valószínűségi leírást igényel a fázistérben határozott struktúrájú, fraktál szerkezetű

Mi nem káosz? az instabil állapot és környéke a véletlenszerű mozgás (pl. Brown-mozgás) külső hatásból eredő zaj sok összetevőből álló, vagy egyenletekkel le sem írható rendszerek mozgása (pl. történelem, társadalom) turbulencia, légkör: ezek bonyolultabbak, mint a káosz

Példák kaotikus mozgásra Kaotikus Inga – Härtlein Károly WplotHU

Vizsgálati módszerek Időtartomány - egy állapothatározó és az idô által kifeszített tér, pl. [r(t), t], [x(t), t], [v(t), t], … fázistér - az állapothatározók által kifeszített absztrakt tér, dimenziója megegyezik a rendszer szabadsági fokainak számával, pl. [v(t),r(t)], [P(T),V(T)], ... Poincare leképezés

A bonyolult mozgások jellemzésének módszere A mozgás fázistérben való ábrázolása (trajektória) Harmonikus rezgőmozgás pl. inga, rugó Csillapított rezgőmozgás

Definíciók (1) trajektória - a rendszer pályája a fázistérben attraktor - a fázistér azon alakzata, amely felé a rendszer állapota a vonzástartományba eső kezdőfeltételektől függően konvergál fixpont: az attraktor egyetlen pontból áll határciklus: az attraktor zárt görbe, a rendszer periódikusan oszcillál a fázistérben különös attraktor: végtelen számú egymás melletti rétegből álló, nem egész dimenziójú (fraktál természetű) attraktor, a közeli pályák exponenciálisan válnak szét. Kaotikusan viselkedő rendszert ír le.

Időbeli és fázistérbeli viselkedés fixpont határciklus bifurkáció különös attraktor

Perióduskettőződés (bifurkáció) A logisztikus leképezés Korlátozott szaporodás r=0,8 r=2,5 r=3,1 r=3,8

Definíciók (2) bifurkáció - periódus-kettőződés, nem-lineáris egyenletek minőségileg eltérő, új megoldásának megjelenése valamely paraméter változtatásakor. A periódus-kettőződés révén, a bifurkációk végtelen sorozatán át káoszhoz jutunk káosz - a determinisztikus rendszer belső, nem lineáris tulajdonságából adódó szabálytalan (nem periódikus) viselkedése zaj - a rendszer szabálytalan viselkedése külső véletlenszerű hatások (pl. hőmozgás) következtében

A káosz kialakulásának feltételei Nemlinearitás konzervatív eset: a független megmaradó mennyiségek száma kisebb a helykoordináták (a szabadsági fokok) f számánál. Példák Kepler-probléma: f=2, E, N állandó => nem kaotikus Anizotróp Kepler: f=2, E állandó -=> kaotikus. A bolygómozgás egy szabálytalan alakú égitest körül kaotikus lenne Korlátozott 3-test probléma: f=2, E állandó => kaotikus (Poincaré) Szimmetrikus súlyos pörgettyű: f=3, E, Nz , N állandó => nem kaotikus Aszimmetrikus súlyos pörgettyű: f=3, E, Nz állandó => kaotikus (Kovalevszkája)

A káosz kialakulásának feltételei disszipatív eset: legalább 3 elsőrendű autonóm differenciálegyenlet írja le, vagyis ha a fázistér legalább 3 dimenziós

A kaotikus mozgás jellemzői A kezdőfeltételekre való érzékenység Hosszú távú előrejelezhetetlenség

Érzékeny a kezdőfeltételre Lorentz 1961-ben nyomtatott lapja Érzékeny a kezdőfeltételre Rayleigh – Bénard konvekció x – a konvekció intenzitása y – hőmérsékletkülönbség z – vertikális hőmérsékletprofil nemlinearitása

Az előrejelezhetőség reguláris kaotikus Ljapunov idő:

Egy konkrét kezdőfeltételből indított kaotikus mozgás, vagyis egy trajektória, az exponenciálisan növekvő hiba miatt, csak a előrejelzési ideig követhető megbízhatóan. Az előrejelzési idő a Ljapunov-exponens reciprokával arányos. A hosszú távú viselkedés ezért csak valószínűségi eloszlással adható meg. Ez a P* eloszlás (az ún. természetes eloszlás) megadja, hogy hosszú távon a rendszer egy állapota milyen valószínűséggel kerül a fázistéren belül az attraktor egyik, vagy másik pontja közelébe.

Az előrejelezhetőség (számpéldák) Legyen: (az elektron sugara) (11 millió év) Időjárás T~3..4 nap Laskar 150 000 tag Dt=500 év 200 milló évre (előre és vissza) Naprendszer T~10..20 milló év belső bolygók T~5 milló év

Melyik jelezhető előre? Vajon melyiket tudjuk könnyebben megjósolni? Melyik jelezhető előre? A napot holnap eltakaró felhőt, vagy a Napot száz év múlva eltakaró Holdat?

(Lásd: http://saros139.csillagaszat.hu/eclipse/HE20.htm) A napfogyatkozások időpontja és helye pontosan kiszámítható. Teljes napfogyatkozás Magyarországon 1999. augusztus 11-én volt utoljára, s 2081. szeptember 3-án 7 óra 51 perc 8 másodperckor lesz legközelebb (É.sz. 47,3° K.h 19.05°, 120m magasságon számítva). (Lásd: http://saros139.csillagaszat.hu/eclipse/HE20.htm) Vajon ki tudja megmondani, hogy ez a napfogyatkozás a felhőktől látható lesz-e?

Kaotikus mozgások a Naprendszerben A Voyager-I felfedezte (1981), hogy a Hyperion, a Szaturnusz egyik szivar alakú holdja szabálytalan fényvisszaverődést mutat: a Hyperion forgása kaotikus. Szimulálással felfedezték: a Plútó is kaotikusan mozog. Kiderült, hogy a belső bolygók is kaotikusak, köztük a Föld. A pálya stabil, de a pálya elfordulása és a forgástengely „billegése” szabálytalan. Az előrejelzési idő 5 millió év. A Föld típusú bolygók ütközése 1% valószínűségű 3.3 milliárd év múlva

Kaotikus mozgások a Naprendszerben A Mars forgástengelye nagy kilengéseket végez, akár +- 30 fokot is változhat néhány évmillió alatt. Ez lehet a magyarázata a sarki jégsapkák időleges elolvadásának (a vízfolyásoknak). A Hold stabilizáló hatása nélkül a Föld forgástengelye is ennyire billegne. Az exobolygók (a Naprendszeren kívüli csillagrendszerek bolygói: már több százat ismerünk!) nagy részének mozgása kaotikus lehet, így ezeken az élet valószínűsége kicsi.

Kaotikus mozgások a Naprendszerben A kisbolygók mozgása kaotikus. A kisebbek jelennek meg hullócsillagokként. A Földnek a nagyobbakkal való találkozása kis valószínűségű, de nem lehetetlen még évtizedeken belül sem. Az Apophisz (az ókori Egyiptom káosz istene) egy 300 méter átmérőjű kisbolygó. 2004-ben 2.7% valószínűséget számoltak egy 2029.-ben bekövetkező ütközésre. Ma már a számítások csak 1:45000-t mondanak. Ez az „időfüggés” maga káoszra utal.

A korlátozott síkbeli háromtestprobléma

Ha a tömeg állandó az egyenlet F = ma –ra egyszerűsödik. Newton II. axiómája A test mozgásmennyiségének megváltozása arányos a rá ható erővel, és annak az egyenes vonalnak az irányában megy végbe, amelyben az erő hat. Ha a tömeg állandó az egyenlet F = ma –ra egyszerűsödik.

A mozgásegyenlet megoldása Néhány egyszerű erőtörvény esetében a mozgásegyenlet analitikusan is megoldható Általában csak numerikusan Ha ismerjük az erőtörvényt, egy adott helyen és pillanatban kiszámítható a gyorsulás Ha a testnek gyorsulása van, akkor egy kis idő múlva megváltozik a sebessége Ha test mozog, egy kis idő múlva máshol lesz. Az új helyet és időpontot visszaírva az erőtörvénybe a mozgás nyomon követhető

Newton általános tömegvonzási törvénye Nem lineáris

A kéttest probléma Határozzuk meg két, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! A feladat megoldható (centrális erőtér => síkmozgás, megmaradó mennyiségek: energia és impulzusnyomaték)

A háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! (A több mint két évszázados kutató munka ellenére a lehetséges megoldások összességét ma sem ismerjük.)

A korlátozott síkbeli háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat, az alábbi korlátozó feltételek mellett: Két test körpályán kering a közös tömegközéppont körül. A harmadik test az előző kettő keringési síkjában mozog tömege olyan kicsi, hogy az semmilyen hatást nem fejt ki a másik két testre

Elrendezés és jelölések Együtt forgó vonatkoztatási rendszer

A forgó rendszer potenciáltere =0,2

Lagrange-pontok L1, L2 és L3 instabil (nyeregpontok), L4 és L5 stabil (egyenlő szárú háromszögek csúcspontjai)

A potenciálteret kirajzoló Matlab kód % % Két, egymás körül körpályán mozgó tömeg közös potenciálja együtt forgó vonatkoztatási rendszerben [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); mu2 = 0.2; % a kisebbik tömeg mu1 = 1 - mu2; s1 = sqrt((x + mu2).*(x + mu2) + y.*y); % a vonzócentrumoktól s2 = sqrt((x - mu1).*(x - mu1) + y.*y); % való távolságok for i=1:401 % a zéróval való osztás elkerülése for j=1:401 if s1(i,j)<0.01 s1(i,j)=0.01; end; if s2(i,j)<0.01 s2(i,j)=0.01; end z=-mu1./s1-mu2./s2-(x.*x+y.*y)/2-mu1.*mu2/2; % a potenciál értéke for i=1:401 % a szintvonalak sûrûségének beállítása if z(i,j) < -3 z(i,j) = -3; surfc(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'); shading flat

A Rugós inga esete

Az 1965. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny (OKTV) második fordulójának 1. feladata így szólt: Felfüggesztett L hosszúságú, elhanyagolható tömegű rugóra kisméretű testet akasztunk. A rugót a testtel együtt vízszintes helyzetbe hozzuk (a rugó akkor nyújtatlan állapotban van, hossza L) és elengedjük. Ismeretes a rugó D állandója, amely szerint a rugalmas erő arányos x megnyúlással: F=-Dx. Mekkora a rugó megnyúlása, amikor a test éppen a felfüggesztési pont alatt halad át?

Az OKTV bizottság a versenyzők dolgozatainak átnézése közben vette észre, hogy a feladat nem megoldható! Vermes Miklóst, az OKTV bizottságának elnökét nem hagyta nyugodni a probléma. De hosszas számolgatással is csak egy közelítő eredményt tudott megadni arra az esetre, ha a rugó megnyúlása kicsi.

Vermes Miklós nem elégedett meg a számítási eredményeivel. Felkereste a Magyarországon akkor legmodernebbnek számító Ural II számítógép „gazdáját”, Szelezsán Jánost az MTA Számítástechnikai Központjában. Az Ural II. számítógépet 1959-ben a Szovjetunióban fejlesztették ki, majd gyártották 1959-1964 között, összesen 139 példányban (Magyarországra 3 darab került). Elektroncsöves gép volt, ennek megfelelően elhelyezése 100 négyzetméteres helyiséget igényelt, fogyasztása pedig 30 kW volt. Átlagosan 5000-6000 művelet elvégzésére volt képes másodpercenként. (További információk: www.hszk.bme.hu/pictures/ural2.html)

A mozgásegyenletek (L a rugó nyugalmi hosszúsága): Vegyük észre: a mozgásegyenletek nemlineárisak!

Vermes Miklós összesen hét különböző mozgást tanulmányozott különböző tömegekkel és rugómegnyúlással. A véletlen úgy hozta, hogy a Vermes Miklós által vizsgált hét mozgásból három volt kaotikus, s négy kváziperiódikus. Ő azonban semmit nem tudhatott erről, hiszen káoszelmélet első alapcikkei az 1960-as években jelentek meg.

Egy 2 GHZ-es processzorral, Turbó Pascal programmal, az időléptéket 0 Egy 2 GHZ-es processzorral, Turbó Pascal programmal, az időléptéket 0.001-nek beállítva, hozzávetőlegesen másfél percig tartott az előbbi ábra elkészítése. Szelezsán János becslése szerint, ugyanekkora munka elvégzése az Ural II.-nek akár hónapokig is eltarthatott volna.