Alapvető pénzügyi számítások

Fogalmak I. Kamat: az a többlet, amit a kockázatvállalásért és a fogyasztásról történő lemondásért kapunk. Kamatláb: a kamat százalékos aránya a befektetett tőkéhez viszonyítva. Kamattényező: megmutatja, hogy 1 Ft jelenbeli pénz mennyit ér egy év múlva. Reál kamat: Inflációt meghaladó kamat. Névleges kamatláb (n) –Infláció (i) = reálkamat (r) 1 + n Precízebb számítás: 1 + r = ———— 1 + i Egy befektetés nominális, vagy névleges kamatlába megmutatja, hogy a befektetett pénzünk egységére mekkora többlet pénzösszeget kapunk / ígérnek egy év alatt. Egy befektetés reálkamatlába a befektetett tőke vásárlóerejének százalékos növekedése, a nominális kamatnak az inflációtól megtisztított mértéke. Kamatmarzs: A hitelkamatok és a betéti kamatok különbsége. A bank ebből képezi a saját nyereségét és a törvény által előírt tartalékot.

Fogalmak II. Diszkont: az a pénzmennyiség, amivel kevesebbet fizetünk most, mint amit az időszak végén kapunk (levont kamat). Diszkontláb: a diszkont százalékos aránya a jövőbeli értékhez viszonyítva. Diszkonttényező: 1 Ft jövőbeli pénz mennyit ér most. A diszkonttényező mindig kisebb, mint a hozzá tartozó kamattényező. A kamattényező és a hozzátartozó diszkonttényező szorzata: 1!!! IRR (Belső megtérülési ráta): A belső megtérülési ráta (IRR) az a kamatláb, amely mellett a befektetés pénzáramlásainak jelenértéke nulla. Két beruházás közül az a kedvezőbb, amelynek magasabb a belső megtérülési rátája (ugyanolyan futamidő esetén).

Jövőérték A pénzügyi számítások, döntéshozatal egyik alapvető eszköze, melynek lényege, hogy egy jelenbeli időpontban keletkező pénzáramlást vagy pénzáramlási elemet a piaci kamatláb segítségével a jövőre vetít, jövőbeli értéket határoz meg. A jövőérték számítás a kamatos kamat számításának alapja. FV= C0 x (1 + r)n

Kamat Kamatos kamatozásnál fontos szempont a tőkésítések száma! A tőkésítések számának növekedésével nő a hozam! Példa: Éves kamat 12%,negyed évesi tőkésítés mellett mekkora hozamot eredményez? Negyed éves időarányos kamat mértéke: 12% / 4= 3% 1 évre járó kamat mértéke (EBKM) (1 + 0,03)4 = 1,1255 EBKM (egységesített betéti kamatlábmutató)= 1,1255 -1 = 0,1255 12,55% Végtelen tőkésítés esetén: Cn = C0 * en*r ahol: Cn : az n. év végén (időszak végén) esedékes pénzösszeg C0 a jelenlegi pénzösszeg r: a kamatláb n: az évek száma (időszakok száma) e: a természetes logaritmus alapja (e= 2,718)

Jelenérték PV = Cn / (1 + r)n A pénzügyi számítások, döntéshozatal egyik alapvető eszköze, melynek lényege, hogy egy későbbi időpontban keletkező pénzáramlást vagy pénzáramlási elemet a piaci kamatláb segítségével a jelenre vetít (diszkontál), jelenbeli értéket határoz meg. PV = Cn / (1 + r)n Egy pénzáramlás jelenértékét úgy számítjuk ki, hogy minden jövőbeni pénzbevétel jelenértékét külön-külön kiszámoljuk, majd a kapott eredményeket összeadjuk. Egy jövőbeli pénzbevétel jelenértéke (PV) az az összeg, amelyet most kell befektetnünk adott kamatláb mellett ahhoz, hogy később azzal a bevétellel megegyező pénzünk legyen. Két különböző paraméterekkel rendelkező befektetés közül azt érdemes választani, amelyiknek nagyobb a nettó jelenértéke. A jelenérték számítás nem más, mint a kockázatmentes hozammal való összehasonlítás!

Jelenérték 2. PV > 0 o.k. PV < 0 NEM o.k. PV1 > PV2 > 0 PV1

1. példa Axa VIP betét számlán 500.000 Ft elhelyezése esetén (feltételezve, hogy a kamat szint nem változik), mennyi megtakarítása lesz az ügyfélnek 1 év múlva? Mennyi az EBKM? (2009. szeptember 6.) Havi tőkésítést feltételezünk! Minden járulékos költségtől eltekintünk (adók, tranzakciós költségek, stb.)! betéti összeg éves kamat mértéke a teljes összegre EBKM 0 -  500 000 Ft 7,50% ? 500 001 - 5 000 000 Ft jelenleg 7,50% (mindenkori MNB-alapkamat mínusz 0,5%) 5 000 001 - 30 000 000 Ft 13,25% 14,09% 30 000 000 Ft felett 7,76%

1. példa megoldás Havi időarányos kamat mértéke: 7,5% / 12= 0,00625 1 évre járó kamat mértéke (EBKM) (1 + 0,00625)12 = 1,0776 EBKM = 1,0776 -1 = 0,0776 7,76% Megtakarításunk 1 év múlva: 500.000 * 1,0776 = 538.800

2. példa A Államadóság Kezelő Központ diszkont kincstárjegy kibocsátását tervezi (futamidő: 1 év). A lejáratkori vételi ár 10.000 Ft. Az ígért hozam 8%. Mennyi a diszkont kincstárjegy kibocsátási ára? Mennyi az állam papír kibocsátási ára, ha a futamideje 5 év? Államkötvény

2. példa megoldás PV = Cn / (1 + r)n Diszkont kincstárjegy: 10.000 / (1 + 0,08) = 9259,26 Ft Államkötvény: 10.000 / (1 + 0,08)5 = 6.805,83 Ft

3. példa Egy vállalkozás egy gépsor megvásárlását tervezi. A két lehetséges alternatíva az alábbi pénzáramlásokat biztosítja. Feltételezve, hogy a kockázatmentes kamatláb 10%, melyik gépsor megvétele mellett döntene?   0. 1. 2. 3. 4. 5. "A" gép -8 6 -5 10 "B" gép -18 8 9 2

3. példa megoldás PV(1): PV(2) 9,72 9,80 0. 1. 2. 3. 4. 5. -8,00 6,00   -8,00 6,00 -5,00 10,00 5,45 4,96 4,51 -3,42 6,21 9,72 PV(2) 0. 1. 2. 3. 4. 5.   -18,00 10,00 8,00 9,00 6,00 2,00 9,09 6,61 6,76 4,10 1,24 9,80

IRR Belső megtérülési ráta Az a kamatláb, amely mellett a befektetés pénzáramlásainak jelenértéke nulla. Két beruházás közül az a kedvezőbb, amelynek magasabb a belső megtérülési rátája (ugyanolyan futamidő esetén).

4. példa Egy 5 éves befektetés rendre a következő éves hozamokat ígéri. Mennyi a befektetés belső megtérülési rátája? 1. 2. 3. 4. 5. 12% 20% 8% 11% 9%

4. példa megoldás A befektetés 5 éves hozama: IRR: 1,12 * 1,2 * 1,08 * 1,11 * 1,09 = 1,756 75,6% IRR: 1,756(1/5) = 1,1192 11,92%

Örökjáradék Örökjáradék Növekvő örökjáradék: PV = C / r Olyan befektetés, amely rögzített nagyságú pénzáramlást biztosít a végtelenségig. A múlt században elsősorban államkötvényeknél elterjedt forma, amely lejárat nélküli adósságlevél volt, cserébe a normál kamatszintnél magasabb hozamot biztosított. PV = C / r Növekvő örökjáradék: PV = C / (r – g) „g” az évenként esedékes pénzáramok növekedési üteme

5. példa Mennyit kell most fizetnünk egy az idők végezetéig tartó évi 1 millió forintos járadékért, ha a kamatláb 4%? Mennyit kell fizetnünk ugyanezért a járadékért, ha azt akarjuk, hogy a járadéktag évente 2%-al növekedjen?

5. példa megoldás 1.000.000 / 0,04 = 25.000.000 PV = C / r Örökjáradék PV = C / (r – g) Növekvő örökjáradék 1.000.000 / (0,04 – 0,02) = 50.000.000

Annuitás Olyan véges időtartamig fizetett/kapott járadék, melynek minden részlete megegyezik. Tipikus példája: jelzáloghitelek PV =

Annuitás PV = C x AF PV = Annuitás Faktor

6. példa Egy vállalkozás 72M hitelt vett fel az alábbi kondíciókkal: Kamatláb: Fix 16% Futamidő: 10 év Törlesztés: évente 1 alkalommal év végén. Mennyi az éves törlesztőrészlet? Mennyi az 1. évi törlesztőrészletben lévő kamat, illetve tőke?

6. példa megoldás Törlesztőrészlet: Az első részletben: AF = 4,833 72.000.000 / 4,833 = 14.897.579 Ft Az első részletben: Kamat összege 72.000.000 * 0,16 = 11.502.000 Ft Tőke 3.377.579 Ft Összesen 14.897.579 Ft

7. példa Mekkora a Nyugdíjpénztárból kapott járadék nagysága, ha a pénztár tag számláján 5M forint található és 10 éves határozott időtartamos járadékot választ? A kockázatmentes kamatláb 12%, a járadéköz 1 hónap?

7. példa megoldás Képletbe helyettesítve 5M = (x / 0,01) – x / [0,01 * (1,01)120] AF = 69,71 X = 71.725

8. példa Egy vállalat 10 éves futamidőre vesz fel 50M fejlesztési hitelt. A fizetendő kamat éves 18%, a tőketörlesztés évente esedékes. Első részletet a 3. év végén esedékes. Mennyi a törlesztőrészlet?

8. példa megoldás Valójában egy 8 éves futamidejű hitelről beszélünk! Felhalmozott tőketartozás: 8.000.000 x 1,18 x 1,18 = 69.620.000 PV = C x AF 69.620.00 = C x 4,078 C = 17.072.094

Jelenérték mutató vetélytársai Megtérülési idő Könyv szerinti átlag hozam IRR

Jelenérték számítás tulajdonságai A pénz időértékét figyelmen kívül hagyó befektetési szabályok NEM megalapozottak! Egy mai forint többet ér, mint egy egy holnapi forint. Szubjektivitás kerülendő! Döntéshozó ízlése Alkalmazott számviteli rend Jelenlegi tevékenység Jelenértéket mindig ma esedékes pénzmennyiségben mérjük, ezért összeadható! NPV(A+B) = NPV(A) + NPV (B)

Megtérülési idő A beruházás megtérülési idejét úgy kapjuk meg, hogy megszámoljuk, hány év alatt éri el az összes várható nettó jövedelem az eredeti befektetés összegét.

Megtérülési idő Beruházási program Pénzáramlás (eFt) Megtérülési idő   C(0) C(1) C(2) C(3) Pv; r=10% A -2 000 2 000 1 -182 B 1 000 5 000 2 3 492 C 3 409 D 100 000 74 867

Problémák Nem veszi figyelembe a megtérülési időn túli bevételeket! Mi legyen a maximum „még” elfogadott megtérülési idő? Elég hosszú megtérülési idő esetén: Negatív jelenértékű befektetéseket elfogadunk Pozitív jelenértékű befektetéseket elvetünk Optimális időtáv =

Könyv szerinti átlagos hozam A könyv szerinti hozamot úgy kell kiszámolni, hogy a program megvalósításából származó átlagos – amortizáció és adózás utáni – várható nyereséget el kell osztani a beruházás könyv szerinti értékével. Ezt utána össze kell hasonlítani valamilyen külső viszonyszámmal. (Pl.: ágazat könyv szerinti átlagos hozamával)

Könyv szerinti átlagos hozam   0. év 1. év 2. év 3. év Beruházás bruttó könyv szerinti értékeértéke 9 000 Fölhalmozott amortizáció 3 000 6 000 Beruházás nettó könyv szerinti értéke A beruházás átlagos nettó könyv szerinti értéke = 4.500

Könyv szerinti átlagos hozam   1. év 2. év 3. év Pénzáramlás 6 000 5 000 4 000 Amortizáció 3 000 Nettó eredmény 2 000 1 000 Átlagos éves eredmény = 2.000 Könyv szerinti átlagos hozam = 2.000 / 4500 = 0.44

Problémák Nincs időérték elv, csak az átlagot vizsgálja! A késői bevételeket nagy súllyal veszi figyelembe. Számviteli nyereség értéken alapul Nem a valós pénzáramlásokon alapul

IRR Az a diszkontráta, amely mellett a nettó jelenérték 0. Akkor lehet elfogadni egy beruházást, ha a tőke alternatív költsége kisebb, mint az IRR.

Problémák Hitelnyújtás vagy hitelfelvétel Többféle megoldás Egymást kölcsönösen kizáró lehetőségek Rövid és hosszú távú kamatlábak eltérnek

IRR Több hiba lehetőség, mint a megtérülési idő és az éves átlagos könyv szerinti hozam módszerénél! Mégis megbízhatóbb! Előbbieknél ad hoc szabályok (Pl.: választott megtérülési idő stb.)