Matematika és a művészetek kapcsolata (Aranymetszés) Verebély László Szakközépiskola és Szakiskola csapata Tagok: Gáll Patrik (12.B) Grenyó Dávid (12.B) Nagy Herda Dániel (12.B) Felkészítő tanár: Nagyné Bodó Beatrix Budapest, 2011. február 2.

Az aranymetszés A matematika, a művészetek és egyes természeti jelenségek között teremt igen szoros kapcsolatot az aranymetszés néven ismert egyszerű aránypár Egy szakasz vagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztásakor a keletkező kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez Képlettel felírva:  a/b=b/(a+b)  Igazolható, hogy ez csak egyetlen felosztás esetén állhat elő

a·(a+b)=b·b A kifejezést másodfokú egyenletté alakítva kapjuk a következőt: a2+a·b-b2=0 Ezt általában Φ-vel (fi) szokták jelölni

Az aranyszög Aranyszögnek nevezik azt a szöget, melynek cosinusza éppen az aranymetszés hányadosával egyenlő: cosα=0,618034. . . A szög értéke: 51°49’43” Az aranyszög körzővel és vonalzóval való megszerkesztését visszavezethetjük az aranymetszésre

Az aranyszög szimbolikája Az aranyszöggel sok más, jelképet hordozó relikvián, emléken találkozunk Aranyszöget zárnak be az ismert Krisztus-monogram X jelének szárai a P betű szárával, és szintén aranyszöget fedezhetünk fel Szent István királyunk REX ST (Rex Stephanus) betűjeleit tartalmazó ligatúrás kézjegyén is

Ugyanez fedezhető fel a korai keresztény időből származó Krisztus-monogrammal egyesített (az életet jelképező) ankh-kereszten A kereszt rajza az V. századból származó kopt gnosztikus papirusz-kódexben szerepel, mely felfedezőjéről, James Bruce-ról (XVIII. sz.) Codex Brucianus néven vált ismertté

Aranymetszés a matematikában Az aranymetszéssel szoros kapcsolatba hozható a püthagoreusok által misztikus tisztelettel övezett, az univerzum jelképének tekintett szabályos ötszög Bizonyítható, hogy e síkidom bármely két metsző átlója az aranymetszés szabályának megfelelően osztja egymást két-két részre, sőt: az összes átlót megrajzolva a keletkező újabb osztópontok is az eredeti szakaszok Φ-szeresénél találhatók Az átlók a Pithagorasz csillagot határolják körül

A pentagram Az ábrán látható ABCDE csúcspontú csillagötszöget (pentagram) úgy kapjuk meg, hogy a szabályos HIKFG ötszög oldalait a metszéspontjukig meghosszabbítjuk A püthagoreusok ezt a jelet használták egymás üdvözlésére és felismerésére, lerajzolva azt a homokba A pentagram szögeinek összege: 5·36°=180°, ugyanannyi, mint egy háromszög belső szögeinek összege

Az aranymetszés szerkesztése Legyen adott az EP=a szakasz, az E pontban állítsunk merőlegest EP-re, és mérjük rá az EP szakasz felét, kapjuk az O pontot, az O pont körül OE=PE/2=a/2 sugárral kört rajzolunk A szakasz másik (P) pontjából húzzunk egy szelőt a kör középpontján át, ez metszi a kört az A (közelebbi) és B (távolabbi) pontokban, és a PA szakaszt P körül PE-re leforgatva kapjuk az M pontot PE2=PA·PB (érintőszakasz tételéből) Bevezetjük az ábra szerinti jelöléseket: EM=p, MP=q, EP=a AP=MP=q, AB=a, és PB=a+q

A szelő tételt ezekkel a jelölésekkel átírva: a2=q·(a+q) A jobb oldalon felbontva a zárójelet: a2=aq+q2 Az aq tagot a bal oldalra átvíve: a2-aq=q2 Itt a-t kiemelve: a(a-q)=q2 Mivel: a-q=p, ezért: ap=q2 Az a=p+q jelölést is felhasználva: (p+q)p=q2 Ezt aránypárba átírva: p:q=q:(p+q) Tehát az M pont valóban az aranymetszésnek megfelelő arányban osztotta fel a PE=a szakaszt Aranymetszéssel lehet szabályos öt és tízszöget szerkeszteni Az r sugarú körbe írt szabályos 10 szög oldala a kör sugarának aranymetszéssel kapott hosszabbik szelete Szabályos 10 szögből természetesen könnyű szabályos ötszöget szerkeszteni

Aranymetszés a művészetekben, építészetben és a természetben Már az ókorban is ismerték az aranymetszést, és előszeretettel használták Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszéssel osztott távolságok általában kellemes benyomást keltenek a mű szemlélőjében Az ókori Egyiptomban még valószínűleg nem tudatosan alkalmazták a módszert, bár a gizai piramisokon felfedezhetők az aranymetszésre jellemző arányok Kairótól nem messze, Giza városában található a világ talán leghíresebb, legtöbbet tanulmányozott építménye: a Kheopsz-piramis

A Kheopsz piramis (i.e. 2500) Az ókorban nem volt toronydaru, sőt, Egyiptomban a vasat sem ismerték E hatalmas monstrumok elkészítése pedig (egyes vélemények szerint) még a mai technológiával is lehetetlen lenne A Kheopsz-piramis eredetileg 146 méteres magasságával, 230×230 méteres alapterületével és 31 millió tonnás súlyával mindenesetre kemény kihívást jelentene bármely mai építésznek is

A Rhind-papírusz tekercsek betekintést engednek a kor matematikai eszköztárába Az egyiptomiak ismerték a felszín- és térfogatszámítás alapvető módszereit, igen jó közelítéssel ki tudták számolni adott sugarú kör területét, használták a törtszámokat, és meg tudtak oldani egyszerűbb egyenleteket Bizonyosan tisztában voltak a Pitagorasz-tétellel, ám a trigonometrikus függvények közül valószínűleg csak a cotangenst ismerték (bár egyes vélemények szerint azt sem) Mindazonáltal a piramisok elhelyezkedése és méretei meghökkentően pontos számításokat sejtetnek a háttérben A Kheopsz például pontosan a Baktérítőre épült, sarkai pedig minimális (3 ívperces) eltéréssel a négy égtáj felé mutatnak. A különbség az építés idején akár nulla is lehetett, mivel a földrajzi északi pólus – ahol a Föld forgástengelye metszi a felszínt – néhány évezred alatt akár több fokot is fordulhatott További érdekesség, hogy a piramis négy sarkának tengerszint feletti magassága maximum 1 cm-es eltérést mutat

Írásos emléket a piramisokról elsőként (a történetírás atyjaként tisztelt görög utazó) Hérodotosz hagyott ránk Lejegyezte az építmények elbűvölő geometriai tulajdonságait, többek között, hogy a piramis magasságának négyzete megegyezik az egyes oldallapok területével Elképzelése szerint nem rabszolgabrigád, hanem megközelítőleg 100 000, a földeken éppen munkát nem találó paraszt végezte az építkezés javát Egy részük az Arábiai-hegységből követ fejtett és juttatott el a Nílusig, a többiek pedig a folyótól a Líbiai-hegységig vonszolták a többtonnás tömböket Tíz évig tartott, amíg az építő-anyag szállítására szolgáló út elkészült, majd az építkezés további húsz évet vett igénybe A simára faragott kőtömböket lépcsőzetesen, mérleghintához hasonló emelők alkalmazásával juttatták a rendeltetési helyükre Hérodotosz történetének némiképp ellentmond, hogy a tudomány mai állása szerint az egyiptomiak sem a csigákat, sem az emelőket nem ismerték

Modernebb elméletek szerint Kheopsz kezdetben mindössze egy szerény, csonkagúla-alapú, földszintes síremléket (masztabát) tervezett magának, és csak később építtetett erre további szinteket Észrevehető, hogy egy oldallap magassága (s) és az alapjának fele (b) között fennáll az s/b=(s+b)/s összefüggés, ami éppen az aranymetszés Bár szinte biztos, hogy Egyiptomban ezt nem ismerték

A piramis magasságának négyzete az oldalak területével azonos Az ábra jelöléseivel: h2=s·b A Pitagorasz-tételből következően: h2=s2-b2 A két egyenletből: s·b=s2-b2 Némi átrendezés után: s2=b·(s+b), amiből pedig mindkét oldal s·b-vel való osztása után megkapjuk az s/b=(s+b)/s összefüggést Rejtély persze még így is maradt bőven… Többen a Föld alapvető fizikai adatait vélik felfedezni a piramis paraméterei között, mások bibliai utalásokat találtak bennük, sőt: némelyek földönkívüli lények munkáját sejtik a sokat látott építmények falain

Az athéni Akropolisz Főépítésze (Pheidias) a Tympanon tervezésekor rengeteg helyen élt az aranymetszés lehetőségével Már az oszlopcsarnok homlokzatának alakja is egy ún. aranytéglalapra épül Ennek az a speciális tulajdonsága, hogy az oldalait a-val és b-vel jelölve teljesül rájuk az aranymetszés

Egyéb építészeti remekművek az aranymetszés jegyében A római Szent Péter Bazilika, mely több évszázadon keresztül épült, alaprajzától a kupola tervezéséig számos méretviszonyában hordozza az aranymetszésnek megfelelő arányokat A Firenzében ma is látható Santa Maria Novella homlokzata A firenzei Strozzi palota Gustav Eiffel Párizsi világkiállításra készült híres tornya A világhíres francia építész, Le Corbusier épületei Lechner Ödön tervezte budapesti épületek homlokzatai

Leonardo da Vinci: Mona Lisa Leonardo da Vinci leghíresebb műve, a Mona Lisa több „láthatatlan”, aranytéglalapot tartalmaz A festő (a reneszánsz mesterek hagyományait követve) több évig dolgozott a képen, így nem kizárt, hogy a kompozíció kialakításakor szántszándékkal alkalmazott matematikai eszközöket

Leonardo da Vinci: Angyali üdvözlet A képen a könyvtámasz alatti asztalka középvonalán áthaladó függőleges vonal a kép terét pontosan aranymetszés szerint osztja Mária, illetve az angyal alakjának a középvonala az osztással kapott részeken belül szintén az aranymetszésnek megfelelően helyezkedik el úgy, hogy mindkettő az adott térrész ugyanazon oldalára esik Ezzel olyan aszimmetria jön létre, mely a kép egyensúlyát biztosítja

Jan Wildens: Mocsárvidék A Rubens nyomdokain haladó flamand festő, Jan Wildens 1629-ben alkotott Mocsárvidék címet viselő hangulatos képén az előtérben játszó gyermek pontosan a kép szélességének rövidebb aranymetszetében van A kép másik oldalán álló facsoport alacsonyabb, egyenes törzsű fája jelöli ki a hosszabbik aranymetszetet A horizontvonal, mely egyúttal az épület előtt álló kőkapu tetejét is érinti és átmegy az épület egyik alacsonyabban fekvő tetősíkján, a kép magassági méretének aranymetszete

August Renoir: Nő a Békástanyán August Renoir: Nő a Békástanyán című képe valódi impresszionista festmény, ám üde színfoltjai és elmosódott kontúrok keltette könnyedsége mellett is jól átgondolt kompozíciós törvények szerint készülhetett Az ábrázolt nő arcának középvonalán áthaladó egyenes pontosan a kép szélességi méretének az aranymetszetébe kerül Az erkély korlátjának felső széle, melyen a hölgy karja, illetve keze is nyugszik, a kép széléhez annak aranymetszetében illeszkedik, az e ponton áthaladó, a kép hosszával párhuzamos egyenes egyúttal a másik karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad

De divina proportione (Az isteni arány) Az elvont tudományok kutatása mellett természetesen nem feledkezett meg „tanult szakmájáról” sem A festészetben sok társához hasonlóan a reneszánsz művészetek elsődleges témáját, az ember ábrázolását tekintette fő feladatának Ehhez az időszámításunk előtti első században élt római tudós, Vitruvius megfigyeléseire támaszkodott „Az emberi test középpontja természetesen a köldök. Ha egy kinyújtott karral és lábbal háton fekvő ember köré egy körzővel a köldökét középpontnak véve kört húzunk, akkor a kéz- és lábujjai érinteni fogják az így megadott kört. Ha pedig megmérjük a távolságot a talptól a fejtetőig, majd ezt összevetjük a kinyújtott karok hosszával, úgy találjuk, hogy a szélesség megegyezik a magassággal.” – írta Vitruvius A tétel igazolását Leonardo egyik legismertebb vázlatán láthatjuk A Vitruviánus ember egy idealizált férfialakot ábrázol, az emberek nagy részére természetesen nem teljesülnek a fenti arányok

A fejtető és köldök távolsága úgy aránylik egymáshoz, mint a köldök és a talp távolsága a testmagassághoz, 3:5:8 A fejtető és a köldök, valamint a köldök és térd között azonos a távolság Ugyancsak egyenlő messze van egymástól a köldök és a szeméremdomb; az állcsúcs és mellbimbók vonala; a köldök és a mellbimbók vonala Hasonlóképpen egyenlő a távolság szeméremdomb és a térd; a fejtető és a mellbimbók vonala, a térd és a talp között

Ezt az arányt annyira szépnek tartották, hogy nagyon sok műemléken is felfedezhető Így például a Belvederei Apollón szobron, amely Kr. e. 350 körül készült Az "I" vel jelölt vonal az egész testet az aranymetszés arányának megfelelően osztja fel, azaz: AI:IB=IB:AB

Aranymetszés a természetben Tipikus példa a napraforgó tányérján elhelyezkedő magok De az állat- és növényvilág számtalan lehetőséget nyújt az aranymetszés megfigyelésére Az ábrán látható csigaház soron következő eleme például mindig Φ-szerese az előzőnek A juharlevél formája is több helyen rejtegeti a nevezetes arányt A fenyőtoboz pikkelyei

A nautilius A nautilius egy - a Csendes-óceán nyugati részén élő, a puhatestűek törzsébe, a fejlábúak osztályába tartozó - csigaházas polip, amelynek csodálatosan szabályos héja van Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés - (AC:DB=FG:EG) arány aranymetszés

Aranymetszés egyéb műalkotásokban Dante Isteni színjátéka, amelynek 100 énekéből a 62.-ben (amelyet lehet 100 aranymetszetének felfogni) válik el Dante Vergiliustól, és itt csatlakozik hozzá Beatrice, hogy a Paradicsomon végigkísérje Kodály Zoltán Psalmus Hungaricusa 395 ütemből áll, a 245. (vagyis a 395∙0,618-adik) taktus kezdetével esik egybe a mű eszmei mondanivalójának kimondása: "Istenbe vessed bizalmadat." A Szonáta két zongorára és ütőhangszerekre című teljes Bartók-mű aranymetszete az első és második tétel határvonala, a 78 taktusból álló bevezetés és főtéma kisebbik aranymetszete a 32. taktusnál van, a visszatérő főtag a 61. taktus, mely a főtémát 3 : 5 arányban osztja

Az ötfokozatúság az ember ősi zenei hagyományaihoz kapcsolódik, és kialakulásában az élő szervezetre vonatkozó legáltalánosabb törvényszerűségek is szerepet játszottak Számos ősi kultúrához tartozó hangszeren öt húr található, vagy a hangszer maga ötfokozatú hangolású A magyar népzene legősibb rétegei is ötfokozatú skálára épülnek, és főként a lá-pentatónia nyomait őrzik A pentatónia más népek zenéjében is megtalálható, de elemeiből műzenei alkotásokban is gyakran építkeznek A pentatónia az aranymetszés zenei hordozója A lá-pentatónia tiszta megjelenését illusztrálja Kodály gyűjtéséből a Sej Dunáról fúj a szél kezdetű jól ismert népdal

A Fibonacci sorozat A pizzai Leonardo a XII. és XIII. század fordulóján élt matematikus egyike volt azoknak, akik a hinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze, melyben megtalálható a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek: Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?

Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyről kettőre A következő hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nő, az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a Fibonacci-sorozat esetén 1 A sorozat definíciója ennek megfelelően: a1=1, a2=1 és an=an-1+an-2, ha n>2

A Fibonacci-sorozat elemei azonban nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosa nem állandó Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz, a Φ-hez közelít

n an an+1/an 1 2 3 1,5 4 1,667 5 1,6 6 8 1,625 7 13 1,615 21 1,619 9 34 1,617 10 55 1,618 Írjuk fel a Fibonacci sorozat első néhány elemét és vizsgáljuk meg a szomszédos elemek hányadosát A hányados értéke a 10. elemtől közelít a 0,618-hoz, azaz az aranymetszési állandóhoz, a Φ-hez

Fibonacci négyzetek Azokat a négyzeteket,melyek oldalainak mérőszámai a Fibonacci-sorozat elemei, Fibonaccinégyzeteknek nevezik Az első n négyzet egymáshoz illesztésével olyan téglalapokat kapunk, melyek oldalhosszai megegyeznek az n-edik és (n+1)-edik négyzet oldalának hosszával Vegyünk két egységnyi oldalhosszúságú négyzetet, (F1 és F2), és ezek fölött helyezzük el a 2 egységnyi odalhosszúságú F3 négyzetet Az így kapott alakzathoz illesszünk (jobbról) olyan négyzetet, melynek odalhossza megegyezik az előző két négyzet oldalának összegével (F4) Az így kapott téglalap fölé illesszük az F5, majd ezekhez ismét jobbról az F6 négyzetet, és így tovább…