Függvények A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István

A mindennapi életben is gyakori a halmazok elemeinek összekapcsolása, egymáshoz rendelése, az elemek függvénykapcsolata. A természet és a társadalom törvényei, amelyek az életünket meghatározzák, szintén tekint- hetők halmazok elemei közötti kapcsolatoknak. A függvényfogalommal („egymáshoz rendeljük a halmazok elemeit”) mintegy modellez- zük a törvényeket, vizsgálhatjuk a változásokat, optimumokat határozhatunk meg. A „halmazelemek egymáshoz rendelése” meghatározást két feltétellel szűkítjük: 1. Két számhalmaz elemei közötti a hozzárendelés: Az X halmazbeli számhoz rendelünk az Y-ból számot. X Y X: Értelmezési tartomány (ÉT, vagy: Df ). Y: Értékkészlet (ÉK, vagy Rf ). 2. A hozzárendelésnek egyértékűnek kell lennie. Az egyértékűség azt jelenti, hogy egy X-beli elemhez nem tartozhat az Y halmazban 2, vagy több elem. Például: minden adott X-halmazbeli x számhoz tartozzon az az adott Y-beli szám, amely az X-beli kétszeresénél 3-mal nagyobb. A függvényünk: f: X Y. Konkrétan: x  2x+3, vagy: y=2x+3, vagy: f(x)=2x+3. A hozzárendelés mindhárom módon jelölhető.

A függvény megadása Fontos! hozzárendelés nem függvény, hiszen a 0 kivételével minden lehet- séges x-hez kettő y értéket rendel. A fenti hozzárendelés meghatároz egy görbét a koordináta rendszerben („fekvő” parabola), de ez az egyértékűség feltételének megsértése miatt ez nem függvény! A függvény megadása Meg kell adni az egymáshoz rendelt halmazokat, és az utasítást a hozzárendelésre. Véges halmazoknál ez az egymáshoz rendelt elemek konkrét felsorolásával is történhet. A végtelen halmazok közötti hozzárendelést csak valamilyen szabállyal lehet megadni. Ez esetben az értékkészletet nem kell külön megadni: az értelmezési tartomány és a hozzá- rendelési utasítás már meghatározza az értékkészletet. Például: az y=x2 (másképp: x  x2, vagy f(x)= x2) függvénynél ha az ÉT=R, akkor az ÉK: a nem negatív valós számok. De ha az y=x2 függvénynél: ÉT: 1<x<2, akkor ÉK: 1<y< 4. Gyakori, hogy az értelmezési tartományt sem adjuk meg konkrétan, hanem a hozzáren- delési utasítást a valós számoknak arra a részhalmazára vonatkoztatjuk, amelynek ele- meivel az utasítás végrehajtható. A későbbiekben az értelmezési tartományt csak akkor tüntetjük fel külön, ha az nem a valós számoknak az a legbővebb részhalmaza, amit a függvényutasítás megenged.

alatt sem szerepelhet negatív szám; Szükségünk lehet arra, hogy a „lehetséges legbővebb részhalmazt” konkrétan megadjuk. A lehetséges értelmezési tartományt az ún. tilos műveletek szűkítik, ezek a következők: 0 nem lehet a nevezőben; a négyzetgyök (illetve páros gyökkitevőjű gyök) értéke nem lehet negatív és a gyök alatt sem szerepelhet negatív szám; a logaritmus alapja csak pozitív szám lehet, és 1 nem lehet, valamint a logaritmus „mögött” (a logaritmus argumentumában) is csak pozitív szám szerepelhet. Például: esetén a lehetséges értelmezési tartomány értékek közül ki kell zárni: a ±1-et (a nevező miatt), a –1 és a +1közötti értékeket (hogy a gyök „alatt” ne legyen negatív szám), a logaritmus „mögött” csak pozitív szám lehet, azaz: Ebből: A függvényünk értelmezési tartománya a három kikötés által meghatározott halmazok metszete lehet: ÉT: xR; de x >1,5 vagy x < –1,5. Természetesen előírhatnánk ezen belül, hogy az értelmezési tartomány legyen szűkebb ennél a halmaznál, például: x R+; x >1,5, de x< 5.

Függvényfajták („alapfüggvények”) Az értékkészlet megadásában általában a függvény ábrázolása nagy segítséget jelent. A függvény ábrázolása Ha a derékszögű koordináta rendszerben felrajzolunk egy vonalat, például: A vonal pontjai „levetítve” kijelölik az x tengelyen az értelmezési tartományt, az y tengelyre vetítve pedig az értékkészletet. Fontos, hogy az egyértékűség elve ne sérüljön, azaz egy x értékhez nem tartozhat kettő vagy több y érték. Az egyértékűség követelménye a rajzon azt jelenti, hogy az y tengellyel párhuzamos egyene- sek soha nem metszhetik 2 vagy több ponton a függvény vonalát (gráfját)! Függvényfajták („alapfüggvények”) A függvényt, a hozzárendelést általában képlettel adjuk meg. A legegyszerűbb hozzárendelési módokat és egyúttal a leggyakrabban előforduló függvényfajtákat részletesen tartalmazták az általános és középiskolai tantervek, ismétlésként tekintjük át őket. Az alaptípusok: I. Hatványfüggvények és kombinációik: Az általános képlet: x  xn (n racionális).

II. Trigonometrikus függvények A hatványfüggvények alapesetei 1. Lineáris: a képlet: y=ax+b, képe (gráfja): egyenes. 2. Másodfokú: y=ax2+bx+c a képlet, a képe: parabola (tengelye párhuzamos az y tengellyel). 3. Hiperbola: („mínusz 1-ed fokú”), képlete: Gráf: „kétágú” görbe: 4. A négyzetgyök függvény: , a képe: fekvő félparabola: A hatványfüggvényeknek végtelen sok változata van, amelyeket az x „kitevős” alakjaiból építhetünk fel. II. Trigonometrikus függvények 1. sin x, cos x. Ismerősek a gráfok: 2. tg x, ctg x. Mindkét függvénynek végtelen sok szakadási helye van:

III. Exponenciális és logaritmus függvények 1. Az exponenciális függvény: x  ax . Képe: (A képletben szereplő „a” konstans értéke csak pozitív lehet.) 2. x  logax, speciálisan (ha a=e): x  lnx. Az lnx gráfja: (A képletben szereplő „a” konstans értéke ez esetben is csak pozitív lehet, és a  1.) IV. Néhány más utasítással megadott függvény 1. Az abszolút érték függvény. A képlet: 2. Egészrész függvény: y=[x] (entier x). Képe: „lépcsős függvény”. 3. Törtrész függvény: y={x}=x–[x]. Képe: „halszálka” alakú. Az utóbbi 3 függvényt viszonylag ritkán használjuk. Gráfjukat lásd a tankönyvben. 4. „Előjel” függvény (szignum függvény): A speciális függvényeknek is végtelen sok változata lehetséges, hiszen hozzárendelést „szinte tetszőlegesen” definiálhatunk.

Függvénytranszformációk Az egyes alapfüggvényeket a bennük elhelyezhető konstansok változtatásával variálhat- juk, az alaptípusok transzformációit hozhatjuk létre. Ilyenkor az alaptípus gráfja eltolódhat, nyúlik, stb. Példa: Ábrázoljuk az y = –3x2 +12x–11 = –3(x–2)2 +1 függvényt! Az y=–3(x–2)2+1 függvény az y=x2-ből származtatható: Az (x–2)2 minden értéket 2-vel „később” vesz fel az x2-hez képest, a gráf „jobbra” tolódik. (Például az x–2 csak x=2-nél lesz 0.) A +1 miatt minden y érték 1-gyel „magasabban” lesz, a gráf „felfelé” tolódik 1-gyel. Az x2 gráfja 3-szorosára nyúlik, majd a mínusz jel miatt „átfordul”. A képe: -3(x-2)2+1 (x-2)2 (x-2)2+1 3(x-2)2+1 Szokás más sorrendben is transzformálni. A függvények gráfjának pontos felvételét egyszerű módon biztosítja a differenciálszámítás.

Kétváltozós függvények Olyan gyakorlati szabály, törvény viszonylag ritka, amelyben egyetlen változó szerepel. A két- vagy többváltozós függvények vizsgálatánál az egyváltozós esetből indulunk ki. Például: a két független változó legyen x és y, a függő változó z. Ekkor az írásmódunk: z=f(x; y). A hozzárendelés úgy történik, hogy az x és y lehetséges értékeiből először rendezett párokat képezünk. X (x;y) z=f(x;y) A számpárok halmaza, valamint a z értékek halmaza között történik a hozzárendelés. Y A hozzárendelés (függvényutasítás) ez esetben is két halmaz közötti. A kétváltozós függvényeket a térbeli koordináta rendszerben ábrázolhatjuk, a függvény képe általában egy felület. Gyakori, hogy a kétváltozós függvénynek megfelelő felületet egy síkkal elmetszük, ekkor egy vonalat (szintvonal) kapunk, ami egyváltozós függvény, amelynek vizsgálatából az ismert módokon következtetéseket tudunk levonni. Ha n darab független változó van, akkor a szám n-esek halmaza, valamint a független változók halmaza között történik a hozzárendelés.

Inverz függvény Egyes függvénytípusok vizsgálatát egyszerűsíti, ha használjuk az inverz függvény fogalmát. Az inverz függvény (nem egyszerű) fogalmának az „első közelítését” adjuk meg: Egy függvény inverzét úgy kaphatjuk meg, hogy az értelmezési tartomány és az érték- készlet halmazok közötti hozzárendelési utasítást változatlanul hagyjuk, a halmazokat viszont felcseréljük. A cserével kapott hozzárendelésnek is egyértékűnek kell lennie. Invertálni csak azt a függvényt lehet, ahol az x és y értékek között kölcsönösen egyér- telmű a kapcsolat (azaz minden x-hez egy és csak egy y tartozik). Például az eredeti függvény legyen y=2x+3. X Y Az utasítás az X és az Y halmaz között teremt kapcsolatot: Az inverz az x és az y értékek felcserélésével jön létre: Y X Képlettel: x=2y+3, aminek explicit (y-ra kifejezett) alakja: Az y=2x+3 és az függvények egymás inverzei. Természetesen az invertálásnál az egyértékűség feltételére mindig ügyelnünk kell! Például: az y= x2 esetén ( invertáláskor: „ÉT és ÉK csere, az utasítás marad”): x=y2 adódik. Ez explicit alakban: , ez nem egyértékű hozzárendelés, így nem függvény!

Összetett függvény Az alapfüggvényekben szereplő hozzárendelési utasítások ismételt alkalmazásával újabb (általában bonyolultabb) függvényeket kaphatunk. Például: az függvénynél az első utasítás: u(x)=2x+3. „Vedd az x kétszeresét és adj hozzá hármat!” Ez az ún. belső függvény. „Amit eddig kaptál, abból vonj négyzetgyököt” A külső függvény a következő utasítás: Az összetett függvények egyszerűbb utasítású függvényekre történő bontásának előnyeit sok esetben, például a differenciálszámításban is jól kihasználhatjuk. Sokszor nemcsak „kétszeres” összetétellel van dolgunk, például: y=lgsin(4x2–3x+2)5. A „legbelső” függvény: u(x)= 4x2–3x+2. A következő utasítás: „emeljük az 5. hatványra”: h(u)=u5. Majd: „amit kaptunk, annak vegyük a szinuszát”: g(h)=sinh. Végül: „amit eddig kaptunk, annak vegyük a logaritmusát”: f(g)=lg g. Az összetételt a példánkban írhatjuk így is: y=f(g(h(u(x)))). Más jelölés: például az függvény esetén legyen: f: f(x)=2x+3 és Bevezetjük a „ o ” („kör”) jelölést az utasítások egymásutánja jelölésére: g o f= Az f o g azt jelenti, hogy a g utasítás után hajtsuk végre az f utasítását: A fejezet tárgyalását befejeztük.