Természetes számok 0, 1, 2, 3, ..., 24, 25, ..., 1231, 1232, ..., n, ...  = {0, 1, 2, 3, ..., n,...} a természetes számok halmaza Műveletek: összeadás kivonás szorzás osztás

Egyenlőségi reláció Egy szám csak önmagával lehet egyenlő Pl. 5 + 3 = 10 – 2 Általánosan a = b, ha a és b ugyanazt a számot jelenti A számegyenesen minden számból csak egy van és minden szám egy jól meghatározott helyen van. Az egyenlőségi relácó tulajdonságai:

Tulajdonságok Bármely természetes szám egyenlő önmagával: a = a – reflexív tulajdonság Ha a = b, akkor b = a – szimmetrikus tulajdonság Ha a = b és b = c, akkor a = c – ez a tranzitív tulajdonság Az egyenlőségi reláció egy ekvivalencia reláció

A természetes számok összeadása Kommutatív: a + b = b + a Asszociatív: (a + b) + c = a + (b + c) Létezik semleges elem a 0. Ha a = b és c = d, akkor a + c = b + d Ezek a tulajdonságok minden természetes szám esetén igazak. Az összeadás eredménye mindig természetes szám.

A természetes számok szorzása Kommutatív: a · b = b · a Asszociatív: a(b ·c) =(a ·b)c Létezik egségelem, az 1. Ha a = b és c = d, akkor a · c =b · d; Ezek a tulajdonságok minden természetes számra igazak. A szorzás eredménye mindig természetes szám.

A szorzás disztributív az összeadásra és a kivonásra nézve: a(b + c) = ab + ac; A kivonás és osztás nem rendelkezik a fenti tulajdonságokkal; A kivonás és osztás eredménye nem mindig természetes szám; A kivonás elvégezhető, ha a kisebbítendő nagyobb mint a kivonandó; Az osztás csak akkor elvégezhető, ha az osztandó többszöröse az osztónak.

Természetes számok hatványozása A hatványozás ismételt szorzás; An = Műveletek hatványokkal:

Halmazok A halmaz elsődleges fogalom, nem értelmezhető. Példákkal lehet érzékeltetni: V. B osztály tanulói, 3-mal osztható természetes számok, stb. Relációk:  - hozzátartozás  - bennfoglalás Üres halmaz: Ø – nincs egy eleme sem

Műveletek halmazokkal Halmazok egyesítése: A  B = {x|xA vagy xB} Halmazok metszete: A  B = {x|xA és xB} Halmazok külömbsége: A \ B = {x|xA, xB} Halmazok Descartes-szorzata: A X B = {(x,y)|xA, yB}

Halmazok megadása Az elemek felsorolásával: A = {2, 3, 4, 5} Az elemek közös tulajdonságának megadásával: B = {x|x a 12 osztója} Venn-Euler féle diagramm segítségével: A B 2 7 5 1 3 8 6

Osztó, többszörös A b természetes szám osztója az a természetes számnak, ha létezik egy olyan c természetes szám, amelyre a = b·c. Jelölés: b|a vagy ab Ilyen esetben mondjuk, hogy a többszöröse a b-nek. Ha egy szám osztható egy másikkal, akkor nincs maradék.

Osztók, többszörösök halmaza - Az n szám osztóinak halmaza - Az n szám többszöröseinek halmaza Pl: Az 1 és 12 nem valódi osztók (triviális osztók). A 2, 3, 4, 6 pedig valódi osztók.

A prím számok Értelmezés: Azokat a számokat, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók, prím számoknak, vagy törzsszámoknak nevezzük (Pl.: 2, 3, 5, 7 stb.). Ha két vagy több természetes számnak az 1-gyen kívül nincs más közös osztójuk, akkor azokat a számokat viszonylagos törzsszámoknak, vagy relatív prímeknek nevezzük(Pl.:5, 8 és9, vagy 12, 23 és 35 stb.).

Két vagy több szám legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse Legyen a, bN. A max(DaDb) számot az a ás b számok legnagyobb közös osztójának nevezzük és (a, b) jelöljük. A min(MaMb) nemnulla természetes számot az a és b számok legkisebb közös többszörösének nevezzük és [a, b] jelöljük. A kető között az alábbi összefüggés áll fenn:

Oszthatósági kritériumok A páros számjegyben végződő természetes számok oszthatók kettővel. Azok a természetes számok oszthatók hárommal, amelyek számjegyeinek összege osztható hárommal. Néggyel azok a természetes számok oszthatók, amelyeknek utolsó két számjegyükből alkotott szám osztható néggyel.

A nullában vagy ötben végződő számok oszthatók 5-tel. Kilenccel azok a számok oszthatók amelyek számjegyeinek összege osztható 9-cel. 10, 100, 1000, ... számokkal a legalább egy, kettő, három, stb. nullában végződő számok oszthatók. A 00, 25, 50 vagy 75-ben végződő számok oszthatók 25-tel.

Vége Köszönöm a figyelmet!