Másodfokú egyenlőtlenségek Grafikus módszer Mgr. Mihályi Juraj SOŠ, Štúrovo Aprobáció: matematika- fizika Fordította Szabó Andor, 2.A, SOŠ, Štúrovo 2009

Tartalom A bemutató célja Témaleírás A másodfokú egyenlőtlenségek fajtái A grafikus módszer leírása A módszer bemutatása példákkal Befejezés Felhasznált irodalom és weboldalak

A bemutató célja: A másodfokú egyenlőtlenségek általában minden diáknak problémát jelentenek, főként az eredmény értelmezésében. Az egyenlőtlenség levezetését (mechanizmusát) a diákok többsége könnyedén megoldja, viszont az eredmény meghatározása, magyarázata (a függvény segítségével) már nehézségeket okoz. Ebből kifolyólag a bemutatóban a levezetés helyett, a grafikon adatainak helyes magyarázatára fektetjük a hangsúlyt.

Témaleírás: Az adott téma a szakközepiskolák tantervében a másodfokú (kvadratikus) függvények és egyenletek után következik, ez azt jelenti, hogy a diákok képesek felvázolni különböző együtthatójú parabolákat, valamint megoldani bármilyen valós /reális/ megoldású másodfokú egyenletet. Ezt a tudást felhasználva a diákok az eddigi diszkrét típusú megoldások mellett az intervallumokkal való megoldást is elsajátítják.

Milyenek egyenlőtlenségek ezek? Nézzük a másodfokú egyenlőtlenségek fajtáit:

A legjobb eset: Ha az adott másodfokú egyenletnek valós megoldása van:

Konkrét példa:

Hogyan tovább?

Függvényrajzolás 1. grafikon y -2 4 x

Mivel az egyenlőtlenség bal oladala parabolaként a képernyőn látható, azt a részt keressük, amelyikben a parabola kisebb mint 0 vagy nullával egyenlő. A kapott szakaszt az „x“ tengelyen a másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának tekinthetjük. Intervallum formájában ábrázoljuk:

Ha az egyenlőtlenségben szigorú egyenlőtlenség szerepel: az intervallum nyitott. Ha az egynelőtlenségben nem szigorú egyenlőtlenség szerepel: akkor az intervallum zárt, ahogyan az előző példában.

Gyakorlópélda: Oldd meg az adott egyenlőtlenséget grafikusan is, majd haladj tovább.

Számítások :

Kész vázlat: típusú parabola, amelynek csúcsa az „x“ tengely fölött van.

Próba !!!!.... A biztonság kedvéért érdemes behelyettesíteni a „P“ halmazból valamilyen számot az egyenlőtlenségbe. Valamikor egyszerűbb a „P“ halmazon kívüli számot behelyettesíteni, így természetesen hamis ítéletet kapunk.

A másodkokú egyenlőtlenségek további típusai: Grafikusan oldjátok meg az egyenlőtlenséget az „R“ halmazban: Csak akkor lapozzatok tovább, ha eljutottatok a kész grafikonig:

Kész grafikon... Az egyenlőtlenség állítása: A parabola nem negatív része az „x“ tengelyen és fölötte van. Ebből következik, hogy az „x“ tengely adott része két intervallum egyesítése ként (unió) írható le.

Megjegyzés ... Szigorú egyenlőtlenség esetén, az intervallumok nyíltak.

Gyakorlópéldák: Először oldd meg a következő példákat a valós számok „R“ halmazán, majd haladj tovább.

Összesített eredmények:

Mi történik, ha D=0 ???? D=0, akkor a másodfokú egyenletnek pontosan egy megoldása van, tehát a parabola érinti az „x“ tengelyt abban a számban, amelyik a függvény megoldása.Ez azt jeleni, hogy az a parabola, amelyik az egyenlőtlenség bal oldalát képviseli Ha ezt az összehasonlítjuk az egyenlőtlenségre vonatkozó követelménnyel, könnyen eredményre jutunk.

Példa: Oldd meg az egyenlőtlenséget a valós számok halmazán. Az ábrából látszik, hogy az egyenlőtlenség követelményének egyetlen pont felel meg, ha: x=2 .

Ha a másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása , a parabolának (a>0 esetben ) az „x“ tengely felett kell lennie vagy (a<0 esetben) az „x“ tengely alatt. Ebben az esetben a masodfokú egyenlőtlenség megoldása vagy .

D=-7 P=(-∞;∞) Indoklás: a teljes parabola pozitív: az állításnak az egész „x“ tengely megfelel.

D=-16 Megoldás:P={ } Indoklás: a parabola egyik része sem ≤ 0, mert az egész parabola az „x“ tengely fölött van, tehát pozitív.

A másodfokú egyenlőtlenségek felhasználása: Gyakori probléma a különböző függvények értelmezési tartományának megállapítása, ahol másodfokú egyenlőtlenséget kell megoldani pl.

Tovább… A másodfokú egyenlőtlenség gyakran része más, bonyolultabb egyenletnek, avagy egyenlőtlenségnek:

A gyakorlati problémákból csak egyet említenék a ballisztika területéről : A torony tetejéről 12 óra 20perckor 108m magasból vízszintesen kilőttek egy lövedéket. Állapítsátok meg azt az időintervallumot, amelyben a lövedék magassága meghaladja a torony talppontjától mért 10 métert. ( a súrlódást elhanyagoljuk)

Olyan mozgásról van szó, amely egyenesvonalú egyenletes mozgásból és szabadesésből áll. A szituáció vázlata:

Matematikai nyelven a következő egyenlőtlenség megoldásáról van szó:

A számítás után: amennyiben minket nem a negatív időintervallum érdekel, a kapott eredményt így módosítjuk:

A kiindulási feltételekkel összehasonlítva a következő választ adhatjuk: A lövedék a torony talppontjától mért 10 méternél magasabban 12:20:00-tól 12:20:04,43 - ig fog repülni. Ha figyelembe vesszük a kilőtt lövedék sebességét, akkor kiszámítható, hogy milyen távolságban ér a földet. Ez a megállapítás az ehhez hasonló kísérletek biztonságánál jelentős.

Ahogy a matematika általában… A másodfokú egyenlőtlenségek megoldása is fejleszti a diákok gondolkodásmodját, hozzásegít a bonyolultabb problémák feltárásához. Aki ezekkel a részletekkel bánni tud, jobban megállja helyét a mai bonyolult ,valós helyzetek világában.

Felhasznált irodalom és weboldal Jirásek F. : Matematikai feladatgyűjtemény a szakközépiskolák számára, 1. rész, Bratislava 1987. www.google.sk

Vége