Ptolemaiosz tétel bizonyítása 1. Állítás: A húrnégyszög szemközti oldalainak szorzatának összege egyenlő az átlók szorzatával. Jelöléssel: AB*DC+BC*AD=AC*BD Vagyis: ac+bd=ef Bizonyítás: Csináljuk együtt! Vegyél elő papírt, ceruzát, körzőt és vonalzót! Készítsd el Te is ezt a rajzot! Az ABD szöget mérdd a BC oldalhoz a négyszög belseje felé. Az így kapott szögszár metszi az e átlót E pontban. Az így kapott ABD és CBE szögek tehát egyenlők. Jelöld őket egyíves szögnek. Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 2. Te is ezt kaptad? Most hasonlítsd össze az ADB és ACB szögeket. Milyenek egymáshoz képest ? És miért? Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 3. Az ADB szög = ACB szöggel, hiszen mindketten az AB ívhez tartozó kerületi szögek. Jelöld Te is őket kétíves szögnek. Mit mondhatunk az ABD és az EBC háromszögekről? És miért? Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 4. Az ABD és EBC háromszögek hasonlók, hiszen két szögük megegyezik. Ebből mi következik? Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 5. Mivel az ABD és az EBC háromszögek hasonlók, ezért oldalainak aránya megegyezik. Írd fel az aránypárt. Az ABD háromszögből válaszd AD=d és BD=f oldalakat. Melyik két oldalt kell választani az EBC háromszögből? Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 6. Az aránypár helyesen: AD:BD=EC:BC, vagyis d:f=EC:b. Fejezd ki ebből EC szakaszt! Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 7. Az aránypár EC-re rendezve: EC=bd/f Most hasonlítsd össze a BAC és BDC szögeket! Mekkorák egymáshoz képest és miért? Ha megvagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 8. A BAC és a BDC szögek is egyenlők, mert mindketten a BC ívhez tartozó kerületi szögek. Jelöld őket Te is kétíves áthúzottan. Milyenek egymáshoz képest az ABE és a DBC háromszögek? Miért? Mi következik ebből? Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 9. Az ABE és a DBC háromszögek hasonlók, hiszen a BAC és BDC szögek egyenlők, de egyenlők az ABE és DBC szögek is., hiszen mindketten tartalmazzák az egy íves szögeket és a DBE szöget. Jelöld ezt a DBE szöggel, egyíves áthúzottan. Az ABE és DBC háromszögek hasonlóságából az oldalak arányának egyenlősége következik. Írd fel az aránypárt! Válaszd az ABE háromszögből az AE és AB oldalakat! Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 10. Az ABE és DBC háromszögek hasonlóságából a következő aránypárt lehet felírni: AE:AB=DC:BD, vagyis AE:a=c:f. Ugye Te is ezt kaptad? Fejezd ki ebből AE-t! Majd a most kapott egyenlőséget add össze a 7. Lépésben az EC szakaszra kapott egyenlőséggel! Ha kész vagy, mehetünk tovább!

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 11. Az AE:AB=DC:BD, vagyis az AE:a=c:f aránypárból AE-t kifejezve kapjuk: AE=ac/f A 7. Lépésben EC-re azt kaptuk, hogy EC=bd/f A kettőt összeadva AE+EC=bd/f+ac/f De AE+EC=AC=e Igy AC=e=(ac+bd)/f Ebből: ef=ac+bd. Ezt kellett bizonyítani.