A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész : kattintás; : tilos kattintani. ×  Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével

Tétel (koszinusz-tétel): Egy háromszög egyik oldalának négyzetét megkaphatjuk, ha a másik két oldal hossza négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal hosszának és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. C b 2 = 2 + 2 – 2 cos γ γ 2 = + 2 2 – 2 cos = + – 2 2 2 2 cos a a a a a a b b b b b b α α c c c c c c β β A B  ×     ×  ×  × 

Értelmezzük a tétel állítását! A koszinusz-tétel az általános háromszög megoldásához használható (egyik) eszköz. Mit jelent az általános háromszög megoldása? Az általános azt jelenti, hogy sem a háromszög oldalaira, sem a szögeire nincsenek kikötések. Ezek tehát tetszőlegesek lehetnek, de a tétel állítása akkor is érvényes, ha a háromszög valamilyen nevezetes háromszög (pl. szabályos, derékszögű, egyenlő szárú, stb.). A háromszög megoldása: elegendő számú, egymástól független adatból a háromszög hiányzó adatainak a meghatározása. Mit jelent az adatok függetlensége? Azt, hogy egyiket sem határozza meg egyértelműen a többi adat. Pl. ha a háromszögnek mindhárom belső szögét megadnánk, ezek az adatok nem volnának függetlenek: kettő ismeretében a harmadik már kiadódik. (α + β + γ = 180°!)  Ezt most kihagyom!

Az általános háromszög egyértelmű megadásához három, egymástól független adatra van szükség. Nézzük most meg újra a tételt (szöveg nélkül) ábrával és képlettel! Nem sérül az általánosság akkor, ha a három lehetséges eset közül csak az egyiket vizsgáljuk: C γ b a c2 = a2 + b2 – 2abcosγ c A B Hány megadható, betűvel jelölt adat található a képletben? Négy: a, b, c és γ. Tehát három (épp ennyi határozza meg az általános háromszöget!) ismeretében a negyedik kiszámítható!  ×  

Most felidézzük, melyek a háromszög megszerkesztésének alapesetei, s megnézzük a koszinusz-tétellel a kapcsolatukat. A háromszög (egyértelműen) megszerkeszthető, ha adott: egy oldal: c, és a rajta fekvő két szög: α, β (α + β < 180°); két oldal: a, b, és a közbezárt szög: γ; három oldal: a, b, c (ahol teljesül a háromszög-egyenlőtlenség); két oldal: a, b, és a hosszabbik oldallal szemközti szög: α (a > b) C Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? γ b a IGEN! Alapesetből indulunk: NEM! A két darab szög sok, az egyetlen oldal kevés! IGEN! Alapesetből indulunk: IGEN! A feladat megoldható, de ehhez nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ α β c A B c2 = a2 + b2 – 2abcosγ; az előbb látottak szerint cosγ kifejezhető, majd γ számítható. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ; innen behelyettesítés és négyzetgyökvonás után c adódik. A szög miatt csak az „a oldalra” írható fel a koszinusz-tétel: a2 = b2 + c2 – 2bccosα a2 = b2 + c2 – 2bccosα  cosα = ; innen α kiszámítható. b2 + c2 – a2 2bc b2 + c2 – a2 2bc cosα a2 = b2 + c2 – 2bc a2 cosα Innen α visszakereséssel kiszámítható. 2bc a2 = b2 – 2bccosα + c2 – 2bccosα + c2 – a2   ×    ×   ×  ×  α + β + γ = 180° α + β + γ = 180°  γ = 180° – α – β.  γ = 180° – α – β. A b ismeretlen, erre nézve az egyenlet másodfokú – pozitív gyöke csak egy lesz!

Összefoglaljuk a tapasztalatainkat Ha egy feladat megoldása során találunk egy olyan háromszöget, amelyben a három oldal és az egyik szög közül, mint adatok közül, hármat ismerünk, a negyedikre pedig a megoldáshoz szükségünk volna, felírhatjuk a koszinusz-tételt. Mindig az (ismert vagy kiszámítandó) szöggel szemközti oldal négyzete lesz egyenlő a másik két oldal négyzetösszegéből kivonva ennek a két oldalnak és a közbezárt szög koszinuszának a kétszeres szorzatát! Meg kell gondolni, hogy biztosan a koszinusz-tétel alkalmazása-e a legjobb választás! (Ha pl. ha a háromszög derékszögű háromszög, akkor ugyan a koszinusz-tétel is felírható, de a Pitagorasz-tétel választása célszerűbb!) A koszinusz-tételhez nem mindig az adott háromszög oldalait használjuk fel. Ha pl. adott egy háromszög két oldala: a = 5 cm, b = 8 cm, a közbezárt szög γ = 70°, és ki kell számítani a b oldalt felező sb súlyvonal hosszát: C A B 5 cm 8 cm F 70° sb Most nem az ABC, hanem az AFB háromszögben írjuk fel a koszinusz-tételt (mert ismerjük a CF szakasz hosszát: CF = 4 cm – az AC fele).   × 

Nem kérem a bizonyítást! A tétel igazolása y C A B c = a – b Helyezzük el a háromszöget egy koordinátarendszerben úgy, hogy az egyik csúcsa (pl. a C) illeszkedjen az origóra! Az A és a B csúcs egy-egy helyvektorral megadható. A harmadik AB oldal egy különbségvektorral kifejezhető. Írjuk ezt fel egy vektoregyenletként! Szorozzuk meg mindkét oldalt skalárisan -ral! Használjuk ki, hogy a skaláris szorzás disztributív, azaz a szokásos módon bonthatjuk fel a zárójelet. A jobb oldalon írjunk helyett a vele egyenlő -t! Mivel (mert α = 0°, tehát cosα =1), ezért és . Viszont a skaláris szorzat definíciója szerint. Ha az oldalakat a-val, b-vel és c-vel jelöljük, s felhasználjuk (az ábra alapján), hogy , , , akkor épp a tétel állítását kapjuk: a b x a – = b c a b – /( ) a b – a  – 2  +  =  b c a b – c a  =   cosα = 2 a  2 b c – 2  + = b  = 2 c  = 2 b a  =   cosγ   = a a   = b b   = c c c2 = a2 + b2 – 2abcosγ A tételt bebizonyítottuk!  Nem kérem a bizonyítást!

Kihagyom a feladatokat, jöjjön a záró dia Alapvető feladatok A sorszámok példatári sorszámokat jelentenek  Kihagyom a feladatokat, jöjjön a záró dia

Kihagyom ezt a feladatot Egy háromszög két oldala 12 cm, illetve 10 cm hosszúságú. E két oldal által bezárt szög 42°-os. Határozzuk meg a háromszög harmadik oldalának a hosszát. Megoldás: C 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük a meghatározandó mennyiséget! 4.) Találunk-e olyan háromszöget, amelyben három oldal és egy szög közül három adat ismert, egyet pedig ki kellene számolni? 5.) Melyik a szöggel szemközti oldal? 6.) Akkor ennek a négyzete egyenlő a másik kettő négyzetösszegének, ill. e két oldal kétszeres szorzatának és a közbezárt szög koszinuszának a különbségével! Írjuk fel! 7.) Helyettesítsünk be! 8.) Végezzük el a számítást! 9.) Vonjunk négyzetgyököt! γ = 42° b = 10 cm = 12 cm a c = ? B A Igen, ABC háromszög; a, b, γ és c. A c oldal. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ c2 = 102 + 122 – 21012cos42° c2  100 + 144 – 178,35  65,65 c  8,1 cm. (–8,1 nem megoldás)    Kihagyom ezt a feladatot

Kihagyom ezt a feladatot 2976.b) feladat Egy háromszög oldalainak a hosszúságai 7 cm, 8 cm és 9 cm. Határozzuk meg a háromszög legnagyobb szögét. C γ Megoldás: b 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Hogyan dönthető el, melyik a háromszög legnagyobb szöge? Válaszunkat indokoljuk! 4.) Jelöljük be a kiszámítandó szöget! 5.) Találunk-e olyan háromszöget, amelyben három oldal és egy szög közül három adat ismert, egyet pedig ki kellene számolni? 6.) Melyik a szöggel szemközti oldal? 7.) Írjuk fel a koszinusz-tételt! A bal oldal c2! 8.) Helyettesítsük be az adatokat! 9.) Végezzük el a kijelölt műveleteket! 10.) Fejezzük ki γ-t, a törtet egyszerűsítsük! 11.) Keressük vissza a γ szöget! = 7 cm = 8 cm a c = 9 cm B A A 9 cm-es oldallal szemközti. Hosszabb oldallal szemközt nagyobb szög van! Igen, ABC háromszög; a, b, γ és c. A c oldal. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ 92 = 72 + 82 – 278cosγ 81 = 49 + 64 – 112cosγ cosγ = γ  73,40°. 32 112 49+64-81 2 7 =    Kihagyom ezt a feladatot

Kihagyom ezt a feladatot Egy feladat, nem minden tanulság nélkül! Egy háromszög oldalainak a hosszúságai 3 cm, 4 cm és 5 cm. Határozzuk meg a háromszög belső szögeit! Gyakori, hogy a diák gondolkodás nélkül kezd a feladat megoldásához, s azt a módszert választja, ami először eszébe jut – tehát nem mindig a legegyszerűbbet. Első megoldásként mi is ezt az utat választjuk – a koszinusz-tétel alkalmazását. 1. megoldás: 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük a meghatározandó mennyiségeket! 4.) Találunk-e olyan háromszöget, mely három oldala és egy szöge közül három ismert, egy számítandó? B β=? c a = 5 cm = 3 cm γ=? C b = 4 cm α=? A 5.) Írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Helyettesítsünk be az összefüggésbe! 7.) cosγ kifejezése, majd keressük vissza γ-t! 8.) Ismételjük meg az eljárást az α számítására! Igen, ABC háromszög, a, b, c és γ. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ 52 = 32 + 42 – 234cosγ 24cosγ = 0  cosγ = 0  γ = 90°. cosα = = 32 40 4 5 a2 = b2 + c2 – 2bccosα  32 = 42 + 52 – 245cosα   α  36,9°. 9.) Számítsuk ki a β szöget a háromszög belső szögeinek összegéből! α + β + γ = 180°  36,9° + β + 90°  180°  β  53,1°.   ×    Kihagyom ezt a feladatot

Miért tanulságos ez a feladat? Az először kiszámított belső szög 90°  derékszögű a háromszög! A derékszögű háromszög belső szögei egyszerűbben is kiszámíthatók. Honnan tudhattuk volna, hogy a háromszög derékszögű háromszög? Idézzük csak fel a Pitagorasz-tételt! Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. ÉS MEGFORDÍTVA: Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Mekkorák is a feladatban megadott oldalak hossza? 3 cm, 4 cm és 5 cm. Mivel 32 + 42 = 52, ezért a háromszög derékszögű! Ennek megfelelően készítsünk vázlatot! Az egyik belső szög már ismert: γ = 90°. Egy másik egyszerű szögfüggvénnyel számolható: B β = ? c a = 5 cm cosα =  4 5 α  36,9°. = 3 cm γ = 90° A harmadik szög az előbbiekhez hasonlóan: A C  b = 4 cm α = ? α + β + γ = 180°  36,9° + β + 90°  180°  β  53,1°. A feladat megoldása előtt célszerű a lehetőségeket átgondolni!     ×  ×   

Kihagyom ezt a feladatot Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A hosszabbik megadott oldallal szemközti szöge 122°-os a háromszögnek. Határozzuk meg a háromszög ismeretlen szögeit és oldalát! Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze. Megoldás: C a γ = 122° = 8 cm = ? 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) γ-val szemközt c  a bal oldalon c2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: b A β = ? B α = ? c = 10 cm Igen, ABC háromszög; a, b, c és γ. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ 100  a2 + 64 – 16a(-0,5299) a2 + 8,4787a – 36  0 a1,2   ; – 8,4787  71,8884 + 144 2 – 8,4787  14,6931 x1  – 11,5859 cm < 0; nem megoldás. x2  3,12 cm > 0; megoldás!  ×   Kihagyom ezt a feladatot

×      C a γ = 122° = 8 cm = ?  3,107 cm b A β = ? B 8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t! α = ? c = 10 cm Legyen ez az α! Az a oldal. a2 = b2 + c2 – 2bccosα 3,1072  64 + 100 – 160cosα 160cosα  154,4347  cosα  0,9647 α  15,28°. 14.) Keressük vissza az α szöget! 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 15,28° + β + 122°  180° β  42,72°.    ×  

Kihagyom ezt a feladatot Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 33°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze. Megoldás: C γ = ? a = ? 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) β-val szemközt b  a bal oldalon b2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: = 8 cm b β = 33° α = ? c = 10 cm A B Igen, ABC háromszög; a, b, c és β. b2 = a2 + c2 – 2accosβ 64  a2 + 100 – 20a(0,8387) a2 – 16,7734a + 36  0 a1,2   ; 16,7734  281,347 – 144 2 16,7734  11,7195 a1  14,25 cm > 0; megoldás. a2  2,53 cm > 0; megoldás!   ×  Kihagyom ezt a feladatot

Két megoldás adódott; okát a szerkesztés elvi menetén érthetjük meg: C1 = ? γ C1 b „elég nagy” ahhoz, hogy két megoldást kapjunk. b C2 a = ? r = 8 cm 14,25 cm 2,53 cm = 8 cm  14,25 cm 10 cm B 33° A 1. megoldás α = ? = 33° β B A c = 10 cm 8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t! Legyen ez az α! Az a oldal. a2 = b2 + c2 – 2bccosα 14,252  64 + 100 – 160cosα 160cosα  – 39,0625  cosα  – 0,2441 α  104,13°. 14.) Keressük vissza az α szöget! 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 104,13° + β + 33°  180° β  42,87°.   ×  ×  

×     C1 a γ = ? = ? = 8 cm  2,53 cm b = 33° B 2. megoldás A α β 8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t! Legyen ez az α! Az a oldal. a2 = b2 + c2 – 2bccosα 2,532  64 + 100 – 160cosα 160cosα  157,5991  cosα  0,9850 α  9,94°. 14.) Keressük vissza az α szöget! 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 9,94° + β + 33°  180° β  167,06°.   ×  

Kihagyom ezt a feladatot (Záró dia) Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 54°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze. Megoldás: C γ = ? a = ? 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) β-val szemközt b  a bal oldalon b2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: = 8 cm b β = 54° α = ? c = 10 cm A B Igen, ABC háromszög; a, b, c és β. b2 = a2 + c2 – 2accosβ 64  a2 + 100 – 20a0,5878 a2 – 11,7557a + 36  0 a1,2   ; 11,7557  138,197 – 144 2 11,7557  – 5,803 A négyzetgyök alatt negatív szám áll! Nincs megoldás. (Nem létezik ilyen háromszög.)  ×    Kihagyom ezt a feladatot (Záró dia)

További sikereket a matematikához (is)! Felhasznált irodalom: Czapáry – Czapáryné – Csete – Iványiné – Morvai – Reiman: MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III. Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 11 (Sokszínű matematika) Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 9 (Sokszínű matematika) További sikereket a matematikához (is)!  ×