A Pitagorasz tétel Készítette: Mgr. Csikós Pajor Gizella Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, Szabadka Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta

A Pitagorasz tételről A Pitagorasz tétel az euklideszi geometria egyik legismertebb állítása. Nevét nem szabályos átírással az i.e. VI. században élt matematikusról és filozófusról, Püthagoraszról kapta, bár a tételt jóval előtte babiloni, egyiptomi, görög, indiai és kínai matematikusok már ismerték, sőt a kínaiak bizonyítást is adtak rá.

Püthagorasz életéről Püthagorasz, i.e VI. század görögül: Πυθαγόρας latinosan: Pythagoras ión származású filozófus és matematikus a püthagoreus iskola megalapítója

Püthagorasz életéről Püthagorasz mellszobra a Vatikánban

Püthagorasz életéről Püthagorasz mellszobra, Rómában található a Capitolium Múzeumban

Püthagorasz életéről Püthagorasz középkori ábrázolása a nürnbergi krónikában

Püthagorasz életéről III. századbeli pénzérmén Püthagorasz ábrázolása egy III. századbeli pénzérmén

Püthagorasz életéről Raphael festménye Püthagoraszról

Püthagorasz életéről Püthagorasz ión származású, a Kis-Ázsiához közel eső Samos szigeten született, a különböző források alapján valamikor i.e. 586 és 570 között. Édesapja ékszer- és dísztárgy-készítő volt.

Püthagorasz életéről Samos szigete az Égei-tengerben

Püthagorasz életéről

Püthagorasz életéről

Püthagorasz életéről

Püthagorasz életéről Ifjúkorában Püthagorasz annyira szerette a tudományokat, hogy fiatalon elhagyta hazáját, és Egyiptomba ment, ahol megtanulta az egyiptomiak nyelvét, és tanulmányozta azok titkos írásait. Egyiptomból visszatért Samosra, majd körülbelül i.e.530-ban a dél-itáliai Krotón városba költözött.

A pitagoreus iskoláról Itt alapította meg filozófiai és vallási iskoláját, a pitagoreus-iskolát. Ez az idealista, arisztokrata beállítottságú társulat misztikus és titokzatos szövetséggé vált, amely a maga korában jelentős befolyással bírt, nemcsak Krotón városában, hanem a görög városállamok laza szövetségében, a Magna Graeciában is.

A pitagoreus iskoláról A pitagoreusok hittek a lélekvándorlásban, vegetariánusok voltak, és hosszú hajat, fehér gyapjúköntöst viseltek. Szigorúan előírt életmóddal és zenével tisztították meg lelküket, majd különböző próbák után léphettek a szövetségbe.

A pitagoreus iskoláról Ezután avatták be őket a számok és a harmónia misztériumába, amelyben való elmélyülés biztosította számukra az örök igazság megismerését és az istenhez való felemelkedést. Hittek abban, hogy egy isten van, aki a világot a számok közötti kapcsolatoknak, törvényeknek megfelelően teremtette.

A pitagoreus iskoláról A pitagoreusok nevéhez kötődik: a számelméleti kutatások megindítása, a szabályos sokszögek és a szabályos testek tanulmányozása, az irracionális számok felfedezése, a számtani illetve mértani középarányos fogalmának bevezetése.

A pitagoreus iskoláról Püthagorasz Krotóni házigazdájának lányát vette feleségül, életrajza két gyermeküket említi, egy leány és egy fiú gyermeket. Iskolájának növekvő befolyása miatt szervezkedni kezdtek a pitagoreus ellenesek is, akik végül felgyújtották az iskola központját, egy Milón nevű atléta házát.

A pitagoreus iskoláról Egyes hagyományok szerint a gyújtogatók elfogták és megölték Püthagoraszt, más töredékek szerint Metapontiumba száműzték, ahol hamarosan meghalt (a hagyományok szerint bánatában halálra éheztette magát). Ez körülbelül i.e. 500 illetve 496 körül történhetett.

A pitagoreus iskoláról Tanítványainak egy részét lemészárolták, a többieket száműzték, az iskola termeit porig égették. Püthagorasz írásos művet nem hagyott maga után. Tanításait írásos formában tanítványai őrizték meg.

Tudományos eredményei Bár a róla elnevezett tételt nem ő találta fel, sőt nem is ő bizonyította először, és nem tudni mi az amire valóban ő jött rá, és mi az, amire tanítványai, bizonyosnak látszik, hogy személyesen fedezte fel a rezonancia alaptörvényét, mely szerint a hang magassága a rezgő húr hosszának függvénye.

Tudományos eredményei Felismerte, hogy az akkordok hangközeit a húrhosszak számarányaival fejezhetjük ki. A 2:1 arány az oktávnak, a 3:2 arány a kvintnek, a 4:3 arány pedig a kvartnak felel meg.

Tudományos eredményei Középkori fametszet mutatja ahogyan Püthagorasz hangolja a harangokat

Püthagorászról A hagyományok szerint Püthagorasz minden egyes beszédét, előadását függöny mögött tartotta. Ő maga nem volt látható, csak hallható. Önmagát félistennek tartotta, és állítólag a következő kijelentést tette: ”Vannak emberek és istenek s olyan lények mint Püthagorasz.”

Püthagoraszról Püthagorasz emlékmű Samos szigetén.

A Pitagorasz-tétel A Pitagorasz tételt már jóval Püthagorasz előtt is ismerték, sőt ismert volt a bizonyítása is. Az ókori egyiptomiak mindenesetre ismerték, hogy a 3,4 és 5 oldalú háromszög derékszögű, és ezt igen ügyesen használták ki a földterületek mérésében és a piramisok építésében, a következőképpen:

A Pitagorasz-tétel Vettek egy hosszú kötelet, arra egyforma közönként 3+4+5=12 csomót kötöttek, összefogták 3, 4 és 5 oldalú háromszöggé és ezzel mérték a derékszöget.

A Pitagorasz-tétel

A Pitagorasz-tétel A Pitagorasz-tételt kétféle megfogalmazásban ismerjük. 1.TÉTEL: Tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogóra rajzolt négyzet területével.

A szokásos jelölésekkel: . 2.TÉTEL: Bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével. A szokásos jelölésekkel: .

A Pitagorasz-tétel Egyes források szerint a Pitagorasz-tételnek közel száz bizonyítása található különböző munkákban. Ezek közül a két legismertebb, a tétel kétféle megfogalmazására vonatkozó bizonyítás a következő:

A Pitagorasz-tétel 1.Bizonyítás: az a+b oldalú négyzetek területeinek darabolása alapján

A Pitagorasz-tétel 2. Bizonyítás: a befogótétel alapján

Pitagorasz-tételének megfodítása Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Pitagoraszi számhármasok Szóljunk még néhány szót a pitagoraszi számhármasokról is. Pitagoraszi-számhármasoknak nevezzük azokat a pozitív egész (a,b,c) számokból álló hármasokat, melyekre teljesül. Ekkor Pitagorasz-tételének értelmében a, b és c egy derékszögű háromszög oldalai.

Pitagoraszi számhármasok A pitagoraszi számhármasok előállításának módját a pitagoreusok találták meg. Írjuk fel két sorban felül a négyzetszámokat, és alul a páratlan számokat. Az alsó sorban található négyzetszám a felső sorban felette lévő két négyzetszámmal együtt pitagoraszi számhármast alkot. Valóban:

Pitagoraszi számhármasok 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Az alsó sorban az első négyzetszám a 9, felette van a 16 és a 25, következik, hogy 3, 4 és 5 pitagoraszi számhármas. Ugyanígy a következő négyzetszám a 25, felette 144 és 169 található, tehát az 5, 12 és 13 pitagoraszi számhármas.

Pitagoraszi számhármasok Azt, hogy számtalan sok ilyen pitagoraszi számhármas létezik, Euklidész bizonyította be. Ha n természetes számot jelöl, akkor pitagoraszi számhármasok például a következők: 3n,4n,5n 5n,12n,13n 7n,24n,25n 8n,15n,17n 9n,40n,41n 11n,60n,61n 12n,35n,37n stb.

A pitagorasz-tétel alkalmazása Pitagorasz tételének számtalan sok alkalmazása van úgy a geometriában mint az analitikus mértanban. Legyen az elkövetkezendő matematikaóráitok tananyaga ezen széleskörű alkalmazások megismerése.

Irodalomjegyzék Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest,1977 Breznai Gyula: Pitagorasz tétele, Tankönyvkiadó Budapest, 1971-1972 K. A. Ribnyikov: A matematika története,Tankönyvkiadó, Budapest, 1968 Nincs királyi út! ,Gondolat, Budapest, 1986 www.wikipedia.com www.wikimedia.org