Kísérlettervezés 2018/19

A kísérlettervezés általános célja A jól kiválasztott kísérlettervek maximalizálják az adott „mennyiségű” kísérlettel elérhető „információt”. A termelési paramétereket nyilván nem kereshetjük az összes lehetséges beállítás „kipróbálásával”, hanem bizonyos, lehetőleg kis számú kísérleti beállítás mellett vizsgáljuk az elért minőséget, és ezek alapján következtetünk a helyes gyártási beállításra. Ezeket az elvégzendő kísérleteket kell megtervezni, hogy minimális költséggel és idővel a lehető legtöbb információhoz jussunk.

A kísérleti adatokban lévő információt minél teljesebb mértékben ki kell nyerni. Erre a matematikai statisztikai módszerek adnak lehetőséget. Szintén a matematikai statisztikai módszerek segítségével lehet felépíteni olyan kísérleti terveket, amelyek lehetővé teszik, hogy a kívánt információt minél kevesebb kísérleti munkával szerezzük be.

Tematika 1. Valószínűségelméleti és statisztikai alapok 2. Regresszióanalízis 3. Varianciaanalízis (ANOVA) 4. Faktoros kísérleti tervek

1. Valószínűségelméleti és statisztikai alapok 1.1. Eloszlások 1.2. Paraméterbecslés 1.3. Hipotézisvizsgálat, statisztikai próbák

1.1. Eloszlások Alapfogalmak: Véletlen jelenség Sokaság, minta A vizsgálat célja a sokaság megismerés, de a vizsgálatot a mintára korlátozzuk Valószínűségi változó Azok a mennyiségek, melyek értéke esetről esetre más és más lehet. Meghatározható, hogy mekkora valószínűséggel esnek megadott határok közé. Lehet: - diszkrét folytonos

Diszkrét valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: eloszlásfüggvénye:

Folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvény

Folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvény

Példa:

Paraméter és statisztika Sokaság jellemzői: paraméterek Minta jellemzői: statisztikák Várható érték: Számtani átlag:

Variancia (szórásnégyzet): Szórásnégyzet (tapasztalati szórásnégyzet):

Statisztikai következtetés A matematikai statisztika módszereivel következtetünk a minta statisztikai jellemzőiből a sokaság eloszlásának paramétereire.

Normális eloszlás (Gauss-eloszlás) A legfontosabb folytonos eloszlás. Sok, egymástól független, kis hatású tényező hatása összeadódik. Szokásos jelölése: N(m, s2), pl. N(0,1)

Normalizált (standard) normális eloszlás: z-eloszlás (u-eloszlás) N(m, s2) standardizálása: www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distribution-table.html

1-1. példa Budaörsön 1998-ban NO2 koncentrációjára m = 46,6 μg/m3 és s = 19,9 μg/m3 értékeket határoztak meg a napi átlagokra. A napok hány %-ban lépték túl az akkori 70 μg/m3 egészségügyi határértéket, ha az adatokra normális eloszlást feltételezünk? 1-2. példa Egy test többször megismételt tömegmérése során 5 mg várható értéket és 0,1 mg szórást állapítottak meg. Mekkora valószínűséggel mérünk legalább 5,05 mg tömeget? Mekkora a valószínűsége, hogy 4,8 és 5,2 mg közé esik a mért érték? 1-3. példa Let us suppose that the body weights of 800 students have a normal distribution with mean m = 66 kg and standard deviation s = 5 kg. Find the number of students whose weight is: a) between 65 and 75 kg; b) over 72 kg. calculator.tutorvista.com/normal-distribution-calculator.html

Számtani középérték – maga is valószínűségi változó Bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértéke közelítőleg normális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, varianciája pedig s2/n. (centrális határeloszlás-tétel)

t-eloszlás (Student-eloszlás) A z-eloszlás sokszor nem használható, mert nem ismerjük a varianciát (s2). Ilyenkor alkalmazható a t-eloszlás. Egy x normális eloszlású változóból így kapunk t-eloszlásút: Ahol s a tapasztalati szórás Az eloszlás paramétere: n – szabadsági fokok száma, ami a nevezőben lévő szórás négyzetének szabadsági fokszáma: n-1 t származtatása egy n elemű minta középértékéből: Student: William Gosset írói álneve

1-4. példa 10 mérés eredménye a következő: 24,46; 23,93; 25,79; 25,17; 23,82; 25,39; 26,54; 23,85; 24,19; 25,50. Milyen intervallumban van a valódi érték 95%-os valószínűséggel? (95 %-os konfidencia intervallum) Lásd később

F-eloszlás Két sokaság varianciájának, szórásának összehasonlítására szolgál. Azonos varianciájú normális eloszlású sokaságokból vett minták tapasztalati szórásnégyzeteinek hányadosa F-eloszlású. f(F) F

1.2. Paraméterbecslés Becsléskor a sokaság tulajdonságára (eloszlásának paraméterére) következtetünk a minta adatai (jellemzői) alapján. Becslés a mintából kiszámított statisztika (pl. a várható értéknek egy lehetséges becslése a mintaelemek számtani középértéke.) Szokásos jelölések: m, s, a: paraméterek valódi értéke m, s, a: becslés vagy : paraméter : becslés

A becslés valószínűségi változó, eloszlása van a jobb becslés mint b, mert kisebb az ingadozása c-re a várható érték nem a Q paraméter

Becslések tulajdonságai egy n elemű mintából származó becslés, amely valószínűségi változó, mintáról mintára más-más értéket vehet fel. Torzítatlan becslés: Torzítás: Aszimptotikusan torzítatlan becslés: A becslés varianciája a becslés hatásosságának a mértéke.

Példaként vizsgáljuk meg, hogy a, a számtani átlag b, az n-edik mért érték Milyen becslése a várható értéknek. a, A becslés várható értéke: torzítatlan A becslés varianciája:

b, A becslés várható értéke: torzítatlan A becslés varianciája: Az a becslés hatékonyabb a b-nél.

A sokaság eloszlásának egy paraméterét becsülhetjük: 1. Pontbecslés: egyetlen számértékkel 2. Intervallumbecslés: egy intervallummal, mely nagy valószínűséggel tartalmazza paramétert: konfidencia intervallum Pl. a várható értékre egy (L, U) intervallum: ez 100(1-a)%-os megbízhatósági v. konfidencia intervallum. (pl. a=0.05; 95%-os konfidencia intervallum) A megbízhatósági intervallum lehet kétoldali vagy egyoldali.

A pontbecslés módszerei: 1. Legkisebb négyzetek módszere Pl. várható érték becslése esetén a mért adatok és a becslés közötti eltérések négyzetösszegét minimalizálja. 2. Maximum-likelihood módszer Azt a sűrűségfüggvényt, illetve paramétereit fogadjuk el becslésként, amelyből legnagyobb valószínűséggel kapnánk a ténylegesen mért adatokat.

Intervallumbecslés: a sokaság varianciája ismert

Intervallumbecslés: a sokaság varianciája ismeretlen

Példák intervallumbecslésre ld. 1-4. példa 1-5. példa Egy alkatrészsorozat tömege eloszlásának varianciája s2=0.01 g2. Az eloszlás normális. Adjunk 95%-os kétoldali konfidenciaintervallumot az eloszlás várható értékére négy darab alapján, amelyekre a mérések átlaga 50 g. 1-6. példa 11 vizsgálatot végezve egy reaktoron a következő konverzió adatokat kaptuk: 32; 55; 58; 59; 59; 60; 63; 63; 63; 63; 67. Adjunk 95%-os konfidenciaintervallumot a konverzió várható értékére. ( = 58.36; s = 9.33) http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=96

Példák intervallumbecslésre 1-7. példa Egy folyadék forráspontjára a következő értékeket kaptuk 6 minta mérése alapján: 102.5, 101.7, 103.1, 100.9, 100.5 és102.2°C. A mérések átlaga: 101.82°C. Ha a módszer szórása ismert, 1.2 °C, mi a várható érték konfidencia intervalluma 95%-os konfidenciaszinten? 1-8. példa Egy folyadék forráspontjára a következő értékeket kaptuk 6 minta mérése alapján: 102.5, 101.7, 103.1, 100.9, 100.5 és102.2°C. A mérések átlaga: 101.82°C. Mi a várható érték konfidencia intervalluma 95%-os konfidenciaszinten?

Example 1-4. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=96

http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=96

Example 1-5. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=95

Example 1-6. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=96

Example 1-7. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=95

Example 1-8. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=96