Rácsrezgések kvantummechanikai leírás

Felcserélési reláció Operátor műveletek Operátorok alkalmazása a kvantummechanikában hullámfüggvényből leolvasott impulzus felcserélési reláció kvantált spektrum Operátor műveletek Számít az operátorok alkalmazásának sorrendje: Einstein Planck Definició: két operátor kommutátora Az impulzus és a hely felcserélési törvénye: ebből következik a rezgések kvantált spektruma (keltő- és eltüntető operátorok bevezetésével)

Harmonikus oszcillátor Ha két operátor kommutátora egy komplex szám, akkor mindig található olyan lineárkombinációjuk, amelyek kommutátora 1

Harmonikus oszcillátor Hamilton-operátor: óvatosnak kell lenni, mert a ,ahol tagtól származó járulékot korrigálni kell és zéruspont rezgés Az n sajátrétékek megadják a harmonikus oszcillátor energia-spektrumát, ami valós értékekből áll n valós és lefelé korlátos nem generálható a hely és az impulzus nem lehet egyszerre 0 ahol és vagy Felcserélési reláció:

Harmonikus oszcillátor keltő- és eltüntető operátorok Tétel: az részecskeszám operátor sajátérték-egyenletének megoldásai az pozitív egész számok gerjesztési spektrum

ez is megoldása a sajátértékegyenletnek Keltő-, eltüntető- és kvantumszám-operátorok Definiciók: , ahol és kielégíti a felcserélési relációt Feladat az sajátérték-egyenlet megoldása. Ehhez a felcserélési relációt használjuk. és , mert ez is megoldása a sajátértékegyenletnek Hasonlóan jelölés: A harmonikus oszcillátor energiájára vonatkozó sajátérték-egyenlet megoldásai valós, pozitív értékek: A lefelé lépéseknek meg kell szakadni valahol: alapállapot

Harmonikus oszcillátor keltő- és eltüntető operátorok Tétel: az sajátérték-egyenlet megoldásai az pozitív egész számok gerjesztési spektrum Nagy amplitúdójú rezgés: magas részecskeszám sajátérték

3 dimenziós, egyatomos kristály Síkhullám próbafüggvény Mozgásegyenlet q  /a L T polarizáció terjedési irány db. q érték

3N csatolt oszcillátor (kvantummechanika) polarizáció terjedési irány db. q érték Hamilton operátor Normál koordináták A sajátérték egyenlet megoldásának ismeretében:

3N oszcillátor (kvantummechanika) keltő- és eltüntető operátorok 1 db. oszcillátor jelentése: hullámszámú, polarizációjú fonon kvantumszám operátora jelentése: hullámszámú, polarizációjú fonon kvantumszám operátora impulzus energia sajátértékei az egész számok, értéke az adott frekvenciájú és hullámhosszú rezgést jellemzi q  /a L T Nagy amplitúdójú rezgés: a gerjesztésben az adott fonon-módus magas részecskeszám sajátértékkel fordul elő

Szimmetriatulajdonság →megmaradási tétel időinvariancia  energia megmaradás forgási szimmetria  impulzusmomentum megmaradás eltolási szimmetria  impulzus megmaradás Transzlációs szimmetria Példa: független x-től Jelentése: megmaradó mennyiség analógia a Newton-törvénnyel Transzlációs operátor Tétel: ha (az x irányú) transzlációs operátor szimmetriája a Hamilton-operátornak, azaz tetszőleges eltolásra teljesül, a szimmetria-transzformáció akkor megmaradó mennyiség, azaz Transzlációs operátor Felcserélési reláció tetszőleges helyfüggő operátorral

impulzus megmaradás (x-irányú) Bizonyítás Felcserélési reláció tetszőleges helyfüggő operátorral a tetszőleges  válasszuk tetszőleges kicsinek  sorfejtés Folytonos transzlációs szimmetria impulzus megmaradás (x-irányú)

Transzlációs szimmetria 3 dimenzióban Homogén rendszer: független -től tetszőleges eltolásra megmaradó mennyiség Diszkrét transzlációs szimmetria: invariáns az rácsvektorral való eltolásra (kristályok) megmaradó mennyiség tetszőleges reciprok rácsvektor A gyengébb szimmetria miatt az impulzus csak egy erejéig marad meg. A kristályban terjedő hullám impulzus-megmaradási tétele, azonos a rugalmas szórás Bragg feltételével, Sokrészecske hullámfüggvény Transzlációs operátor Felcserélési reláció tetszőleges helyfüggő operátorral

Transzlációs szimmetria 3 dimenzióban Homogén rendszer: független -től tetszőleges eltolásra megmaradó mennyiség Diszkrét transzlációs szimmetria: invariáns az rácsvektorral való eltolásra (kristályok) megmaradó mennyiség tetszőleges reciprok rácsvektor A gyengébb szimmetria miatt az impulzus csak egy erejéig marad meg. A kristályban terjedő hullám impulzus-megmaradási tétele, azonos a rugalmas szórás Bragg feltételével, Sokrészecske hullámfüggvény Transzlációs operátor Felcserélési reláció tetszőleges helyfüggő operátorral

Diszkrét transzlációs szimmetria  kvázi-impulzus Transzlációs operátor az R rácsvektorokra „Gyengébb” szimmetria, az impulzus erejéig bizonytalan mivel Magára hagyott rendszer, harmonikus közelítés t = 0 –ban nq,s sajátértékek Példák: mivel a Hamilton operátor szétesik független harmonikus oszcillátorok összegére, külön-külön mindegyik nq,s rezgés változatlan marad 2. Magára hagyott rendszer, fonon-fonon kölcsönhatás t = 0 –ban nq,s sajátértékek nq,s  n’q,s időfejlődés (termalizáció) 3. Kölcsönható rendszer (p impulzusú részecskék szóródása) Speciális eset: rugalmas szórás Bragg törvény!

Energia és impulzusmegmaradás Rugalmas szórás: Bragg-törvény Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió fonon diszperzió mérése: inelasztikus neuronszórás Mérési tartományok impulzusú neutron bejön és felvesz energiát majd impulzussal kimegy q=/a q=-/a ezeket mérjük és ezt számoljuk Grafikus szemléltetés (1 dimenzió)