5. Kalibráció, függvényillesztés http://tp1957.atw.hu/km_5.ppt Kemometria 2016/2017 5. Kalibráció, függvényillesztés http://tp1957.atw.hu/km_5.ppt

Kalibráció A jel és a mérni kívánt mennyiség (koncentráció, tömeg) között egyértelmű összefüggés van. Ez megadható függvényként matematikai egyenlettel vagy grafikusan. Általában nem ismert az összefüggés egzakt módon, tehát kalibrációra van szükség. Ennek több módja van. A leggyakoribb a több pontos kalibráció. Készítünk ismert koncentrációjú oldatokat és megmérjük az azokra kapott jelet. Az adatok táblázatából diagramot szerkesztünk: ábrázoljuk a pontokat jel-koncentráció diagramon, a pontokhoz egyenest illesztünk. Az „ismeretlen” koncentrációjának meghatározása történhet grafikusan vagy az egyenes egyenletéből számítva.

Függvényillesztés Több szempont alapján lehet a megfelelő függvényt illeszteni, a leggyakoribb a legkisebb négyzetek módszere. Mi az elv? Az ábra szép, de nem teljesen jó! y Tengelymetszet x y = ax + b Területek összege Meredekség

Együtthatók, R-négyzet A meredekség: A tengelymetszet: Az egyes mérési pontok illeszkedésének szorosságára vezették be a lineáris korrelációs együtthatót (R). A tökéletes egyenesre illeszkedésnél az R értéke 1.

Mintapélda Kalibrációs egyenest kell meghatározni „kézi” módszerrel. Az egyenes egyenlete: y = a*x+b Mérési pontjaink a következők: Készítsünk táblázatot a számoláshoz: xi yi 0,0 0,3 1,0 2,2 2,0 3,0 4,0 i xi yi 1 0,0 0,3 -1,5 2,25 -2,075 4,305625 3,1125 2 1,0 2,2 -0,5 0,25 -0,175 0,030625 0,0875 3 2,0 3,0 0,5 0,625 0,390625 0,3125 4 4,0 1,5 1,625 2,640625 2,4375 átlag: 2,375 összegek 5 - 7,3675 5,95

Kalibráció A kiszámolt értékeinket helyettesítsük be!. a = 1,19 Az illesztett függvény: y = 1,19*x + 0,59 A függvényből számítsuk ki az „ismeretlen” x értékét, ha az y értéke 2,8! x = 1,86 R = 0,9803 R2 = 0,961

Egyenes illesztése mérési pontokhoz 1. Egyenes illesztése mérési pontokhoz Excel programmal Az Excel program elindítása után beírjuk az adatainkat két oszlopba: A kalibrációs adatokat kijelöljük (az ábrán sárga) és elindítjuk a diagramvarázslót. A lépések: 1. A pontdiagramból az első altípust választjuk. Tovább gomb. 2. A Tovább gombot megnyomjuk. 3. Beírjuk a diagramcímet és a kordináták neveit, mértékegységeit. 4. (diagram a munkalapon) Befejezés.

Egyenes illesztése mérési pontokhoz 2. A diagramot tovább formázzuk: 5. Kattintsunk duplán a szürke területre és a területnél a „nincs”-et jelöljük be, majd OK. 6. Bökjünk az Adatsor 1 feliratra, majd a Delete gombbal töröljük. 7. Az egér jobb gombjával kattintsunk valamelyik mérési pontra és a legördülő menüből válasszuk a Trendvonal felvételét. 8. Válasszuk a Lineárist, az Egyebeknél jelöljük be az Egyenlet látszik a diagramon-t és az R2 értéke látszik a diagramon-t, majd OK.

Az Excellel készített diagram és leolvasása Olvassuk le a diagramról kb. 72 mg/dm3

Az „ismeretlen” kiszámítása Az „ismeretlen” koncentrációjának meghatározása történhet: – grafikusan (előző dia) vagy – az egyenes egyenletéből számítva („gyalog” ill. képlettel). A kalibrációs diagramon a következőket látjuk: analitikai jel = 0,0077*c + 0,0002 és R2 = 0,9996 Behelyettesítve az ismeretlenre kapott analitikai jelet (0,555) az egyenletből c kiszámítható: 0,555 = 0,0077*c + 0,0002 c = 72,05 mg/dm3 ≈ 72 mg/dm3

Az R2 jelentése Az R2 az illesztett egyenes (általánosságban függvény) illeszkedésének szorosságát jelzi. Minél közelebb van 1-hez, annál jobb. Általában a 0,98 feletti érték elfogadható, a 0,995 feletti jó.

Az „ismeretlen” kiszámítása Képlettel is számíthatjuk a koncentrációt: az ismeretlen helyére a fx-ből a „trend”-et választjuk. A felugró ablakban kérdezik az ismert y-t (sárga) és x-et (kék), kijelöljük az adatsorunkat. Az ismeretlenként a mérési adatunkat jelöljük, konstans nincs. A  B 1 20 0,156 2 40 0,302 3 60 0,468 4 80 0,620 5 100 0,768  ism. 71,95 0,555 fx =TREND(A1:A5;B1:B5;B6) c = fx = 71,95 mg/dm3 Megjegyzés: mivel itt az illesztés fordítva történik (mintha a két tengelyt felcserélnénk), a kapott eredmény nem egyezik meg az előbbi módon számított értékkel. fx x

Reziduálisok (maradékok) Az ún. reziduálisok (maradékok) arról adnak felvilágosítást, hogy a becsült egyenes és a ténylegesen mért pontok között milyen eltérés (összefüggés) van. Nézzük meg ezt egy példán táblázatosan és grafikusan is. (A „kalapos” y [ŷ] az illesztett egyenes pontja). xi yi 0,3 0,59 -0,29 0,0841 1,0 2,2 1,78 0,42 0,1764 2,0 3,0 2,97 0,03 0,0009 4,0 4,16 -0,16 0,0256 Σ 0,2870

Reziduálisok (maradékok) diagramja A reziduálisok diagramja azt mutatja, hogy a maradékok véletlenszerűen helyezkednek el az x-tengely két oldalán. Ha nem így lenne, gyanakodhatnánk, hogy a függvény-illesztés nem jó. Ha a maradékok ábrázolása során a pon-toknak valamilyen „menete” van, az illesztési hibára utalhat.

A reziduálisok (maradékok) szórása A reziduálisok szórása a statisztikai mérőszáma annak, hogy a mérési pontjaink mennyire térnek el az illesztett egyenestől. A következő képlettel számolhatjuk ki: Számoljuk ki az előbbi adatokra

Leolvasás az analitikai mérőgörbéről Az analitikai mérőgörbét többnyire arra használjuk, hogy egy ismeretlen minta „válaszjele” alapján megmondjuk a vizsgált komponens koncentrációját. Ám az analitikai mérőgörbe köré – ha korrektek akarunk lenni – egy ún. jóslási sávot kell rajzolnunk, melyen belül a analitikai mérőgörbe adott valószínűséggel (pl. 95%) elhelyezkedik. Ez persze a leolvasott koncentrációra is hatással lesz. Az x0 az alábbi képlettel számítható intervallumban lesz: N az ismeretlen minta méréseinek ismétlési száma n a kalibráló adatsor mintaszáma ȳ0 a minta, ȳ a standard átlag b az illesztett görbe meredeksége

Analitikai mérőgörbe konfidencia sávval

Mintafeladat Egy fotometriás mérés kalibrációs görbéjének adatai a következők. A koncentrációk mg/dm3-ben értendők. Az ismeretlen mintára 0,871-es abszorbanciát mértünk. Határozzuk meg a kalibrációs egyenest valamint az ismeretlen minta koncentrációját 95 %-os konfidencia intervallumával. Megoldás Az egyenes egyenlete: y = 0,0526+0,1053x. Ennek alapján az ismeretlen abszorbanciájához tartozó koncentráció:

Mintafeladat 2. Az adatok táblázatban feldolgozva:

Mintafeladat 3. A Student táblázatból t(,)=t(0,05; 4)=2,776 Az ismeretlen minta tehát 7,77 ± 0,14 mg/dm3 koncentrációjú.