ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)
KONJUNKTÍV NORMÁLFORMA REZOLÚCIÓ-bizonyítási eljárás
ÍTÉLETKALKULUS – SZINTAXIS jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai atomi formula (atom) minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula formula minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor (A), (A B), (A B), (A B), (A B) kifejezések is formulák a formulaképzés szabálya rekurzív
ÍTÉLETKALKULUS – SZEMANTIKA logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat – igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint) minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése minden lehetséges módon interpretált formula kiértékelése műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák) formula interpretációja p q p p q p q p q p q T F Modell: az az interpretáció amelyben a formula igaz
IMPLIKÁCIÓ p q Ha a kutyusok repülnek akkor 2=1. T F F F F hamis előtagból bármi következik? Értelmezés lehet: „Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit.” p q p q
ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK Igazság - Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. - Egy formula igazsága függ a világ állapotától, és az interpretációtól (szemantikától) Tautológia / Érvényes formula: pl. A vA - A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a szemantikától. - minden interpretációban igaz, minden modellben benne van T Kontradikció /Ellentmondás: pl. A A - a világ soha nem olyan, mint amilyennek leírja - minden interpretációban hamis, nincs modellje
FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük. Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények: A B = (A B) (B A) A B = A B A B = B A kommutatív A B = B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) asszociatív A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) disztributív
FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények A F = A A T = A A T = T A F = F A A = T A A = F (A) = A kettős tagadás (A B) = A B (A B) = A B deMorgan A (A B) = A A (A B) = A abszorpció, elnyelés A A = A A A = A idempotencia
LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY A W W formula az A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz. LEGALÁBB OTT IGAZ, AHOL A. A1 , . . . , An W bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A1, . . . , An) és ha W ezek logikai következménye, akkor W-nek is igaznak kell lennie Hogy lehet eldönteni? Pl. Modus Ponens a (a b) b a b a b a (a b) T F
LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY Logikai következmény fogalmának eldöntése a tautológia fogalmával: A1 , . . . , An W akkor és csak akkor, ha (A1 . . . An) W tautológia Logikai következmény fogalmának értelmezése a kontradikció fogalmával: A1 , . . . , An W akkor és csak akkor, ha A1 . . . An W kontradikció Elnevezések: (A1 . . . An) W tétel A1 . . . An tétel axiómái, feltételei W következmény, konklúzió
TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL F1: p q F2: q F3: p ?: F1 F2 F3 lehetőségek: A definíció alapján beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1F2 igaz, igaz F3 is bebizonyíthatjuk, hogy F1F2F3 tautológia beláthatjuk, hogy F1F2F3 kontradikció p q F1 F2 F1F2 F3 F1F2F3 F1F2F3 T F a b c
TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL Az interpretációk száma: 2 változó esetén 4 - ok 3 változó esetén 8 - ok 4 változó esetén 16 – nem annyira ok, elveszítjük a fonalat … n változó esetén 2n Mekkora szám a 2n ? https://www.youtube.com/watch?v=AmFMJC45f1Q
TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL https://www.youtube.com/watch?v=AmFMJC45f1Q Elég kilátástalannak tűnik nagy számú ítéletváltozó esetén az igazságtáblával történő tételbizonyítás Robinson, 1965: REZOLÚCIÓ
Rezolúció, Robinson, 1965 (fénykép 2012-ből) Alapelv: Mind a feltételeket, mind a következmény negáltját (ld. köv. pont) konjunktív normálformára hozzuk A feltételek következményeit kontradikcióval bizonyítjuk: Feltétel_1Feltétel_2… Feltétel_k Következmény A kialakított formula kontradikció Alkalmazzuk a rezolúció alap következtetési sémáját mindaddig, amíg üres klózt nem kapunk: a b d c b d _____________ __________ a v c (NIL)
Rezolúcióval kapcsolatos következtetési sémák Mire is lesz jó? a b c b Ezt a sémát hívjuk a rez. alap következtetési szabályának ____________ a v c Másfajta értelmezések ugyanarra: a b a b c a c a _____ ________ c b c b
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk. Konjunktív normálforma: speciális részformulák=klózok konjunkciója klóz (K): literálok diszjunkciója ill. egy literál literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja Implikációs normálforma: NEM KELL TUDNI! speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: implikáció – bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója (p q) (q r) (s r F) (T p) (T s) (p q) (q r) (s r) p s K1 K2 K3 K4 K5
KONJUNKTÍV NORMÁLFORMA Literál: negált vagy negálatlan atom Pozitv: A Negatív, ha A Tétel: Minden formulához létezik vele ekvivalens konjunktív normálforma. Biz.: 1. 2. De Morgan () () 3. ()( )( ) ()( )( ) Def.: DNF (diszjunktív normálforma): konjunkciók diszjunkciója Megjegyzés: A KNF és DNF duális: ua. mindkettő, csak helyett , helyett . KNF: Klózok (diszjunkciók) konjunkciója K1K2…Kn
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL minden formula átalakítható normálformára Transzformációs szabályok: A B = (A B) (B A) ( kiküszöbölése) A B = A B ( kiküszöbölése) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása) A = A ( hatáskörének redukálása) A (B C) = (A B) (A C) (klózok konjunkciójának létrehozása) (((p q) (q r) (s r)) (p s)) (((p q) (q r) (s r)) (p s)) b.) ((p q) (q r) (s r) (p s)) d.) (p q) (q r) (s r) (p s) c.) e.) (p q) (q r) (s r) p s c.) d.) e.)
ÍTÉLETKALKULUS – PÉLDA állítások: A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy. A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik. A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni. A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon. A1, A2, A3 állításokból következik-e A4? atomok (atomi formulák): p: süt a nap q: Péter strandra megy r: Péter úszik s: Péter otthon marad eredeti állítások szerkezetét tükrözi formulák: F1: p q= pq F2: q r= qr F3: (s r)= s r F4: p s= p s F4: p s KLÓZOK: p és s 2 db!
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL (p q) (q r) (s r) p s formula klóz alak, klóz halmaz: C1: p q C2: q r C3: s r C4: p C5: s Lássuk be, hogy C1 . . . C5 klózhalmaz kontradikció indirekt bizonyítás: tfh létezik modellje (minden klóz igaz) C4 igaz, ha p = T C5 igaz, ha s = T C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből) C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből) C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből) ellentmondás!
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A bizonyítási eljárás szemléltetése: C1: p q C2: q r C3: s r C4: p C5: s rezolúciós gráf, cáfolati gráf új klóz előállítása: rezolúcióval p q s r q r q p s r q q r q NIL q NIL r q
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A1, A2, …, An B ?? A1 A2 … An B kontradikció igazolása rezolúciós eljárással A rezolúciós eljárás lépései: Cél tagadása, KNF-RE hozása az axiómákhoz való hozzáadása – nem ettől indirekt! Az A1 A2 … An B formula klóz formára hozása (kiindulási klózhalmaz) Az üres klóz (NIL) előállításáig: a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba.
TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL rezolválható klózok: ún. komplemens literálpárt tartalmaznak komplemens literálpár: egy ítélet változó és a negáltja együtt rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek diszjunkcióval összekapcsolva üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis rezolúció tulajdonságai: algoritmus? Nemdeterminisztikus + klózkiválasztási szabályok C1: p q p r C2: q r p s C3: s r s C4: p NIL C5: s helyes (valóban logikai következmény) teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval)