ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Deduktív adatbázisok.
Advertisements

Algebrai struktúrák.
Adatbázisrendszerek elméleti alapjai 2. előadás
NEMMONOTON KÖVETKEZTETÉS (NONMONOTONIC REASONING).
Matematikai logika.
Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.
É: Pali is, Pista is jól sakkozik. T: Nem igaz. É: Bizonyítsd be. Mi nem igaz? T: Nem igaz, hogy Pali jól sakkozik. Nyertem É: Pali vagy Pista.
Determinisztikus programok. Szintaxis: X : Pvalt program változók E : Kifkifejezések B : Lkiflogikai kifejezések C : Utsutasítások.
Matematikai logika A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István.
1 Előhang Világunk dolgainak leírásához gyakran használunk kijelentő mondatokat. Pl. Minden anya szereti gyerekeit. Júlia anya és Júlia gyereke Máté. Következmény:
Logika 3. Logikai műveletek Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék február 24.
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő
Logika Érettségi követelmények:
Logikai műveletek
MI 2003/5 - 1 Tudásábrázolás (tudásreprezentáció) (know- ledge representation). Mondat. Reprezentá- ciós nyelv. Tudás fogalma (filozófia, pszichológia,
MI 2003/7 - 1 Az egyesítési algoritmus Minden kapitalista kizsákmányoló. Mr. Smith kapitalista. Mr. Smith kizsákmányoló.
Az informatika logikai alapjai
Bevezetés a digitális technikába
Bizonyítási stratégiák
A SAT probléma különböző reprezentációinak vizsgálata oktatási szempontból (újratöltve) Az általánosítás fegyvere a kutatásban Kusper Gábor,
Logika 5. Logikai állítások Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék március 10.
Logika 6. Logikai következtetések
Determinisztikus véges automaták csukva nyitva m s kbsm csukva nyitva csukva nyitva csukvanyitva 1. Példa: Fotocellás ajtó s b m m= mindkét helyen k= kint.
Matematikai logika alapjai
Bevezetés a matematikába I
Reprezentációs függvény. Adva egy adattípus absztrakt és konkrét specifikációja: d a = ( A, F, E a ); d c = ( C, G, E c ); A = {A 0,..., A n };C = {C 0,...,
A számfogalom bővítése
Véges értékű függvények
Halmazelmélet és matematikai logika
LOGIKA (LOGIC).
LOGIKA (LOGIC).
1 Boole-Algebrák. 2 más jelölések: ^ = *, &, П v = +, Σ ~ = ¬
Bevezetés a logikai programozásba
Természetes és formális nyelvek Jellemzők, szintaxis definiálása, Montague, extenzió - intenzió, kategóriákon alapuló gramatika, alkalmazások.
Boole-algebra (formális logika).
Logika 4. Logikai összefüggések Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék március 3.
Logikai műveletek.
Érvelés, bizonyítás, következmény, helyesség
Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá.
Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) Alapfelállás: -Két játékos van, Én és a Természet (TW képviseli). - A játék tárgya egy zárt mondat: P. - Választanom.
Nem igaz, hogy a kocka vagy tetraéder. Nem igaz, hogy a kicsi és piros. a nem kocka és nem tetraéder. a nem kicsi vagy nem piros. Általában: "  (A  B)
„Házasodj meg, meg fogod bánni; ne házasodj meg, azt is meg fogod bánni; házasodj vagy ne házasodj, mindkettőt meg fogod bánni; vagy megházasodsz, vagy.
A kondicionális törvényei
(nyelv-családhoz képest!!!
Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá.
Az informatika logikai alapjai
MI 2003/6 - 1 Elsőrendű predikátumkalkulus (elsőrendű logika) - alapvető különbség a kijelentéslogikához képest: alaphalmaz. Objektumok, relációk, tulajdonságok,
Henkin-Hintikka-játék szabályai, kvantoros formulákra, még egyszer: Aki ‘  xA(x)’ igazságára fogad, annak kell mutatnia egy objektumot, amire az ‘A(x)’
LOGIKA (LOGIC).
Deduktiv adatbázisok. Normál adatbázisok: adat elemi adat SQL OLAP adatbázisok: adat statisztikai adat OLAP-SQL … GROUP BY CUBE(m1,m2,..)
1 Relációs kalkulusok Tartománykalkulus (DRC) Sorkalkulus (TRC) - deklaratív lekérdezőnyelvek - elsőrendű logikát használnak - relációs algebra kifejezhető.
Mi a logika? Régebbi elnevezés:
Az informatika logikai alapjai
Logika.
Analitikus fa készítése Ruzsa programmal
Analitikus fák kondicionálissal
Analitikus fák a kijelentéslogikában
Demonstrátorok: Sulyok Ági Tóth  István
Fordítás (formalizálás, interpretáció)
Variációk a hazugra Szókratész: Platón hazudik.
Érvelések (helyességének) cáfolata
Nulladrendű formulák átalakításai
Bevezetés a matematikába I
Mi a logika? Régebbi elnevezés:
Mi a logika? Régebbi elnevezés:
Előadás másolata:

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

KONJUNKTÍV NORMÁLFORMA REZOLÚCIÓ-bizonyítási eljárás

ÍTÉLETKALKULUS – SZINTAXIS jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek:      ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai atomi formula (atom) minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula formula minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor (A), (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) kifejezések is formulák a formulaképzés szabálya rekurzív

ÍTÉLETKALKULUS – SZEMANTIKA logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat – igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint) minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése minden lehetséges módon interpretált formula kiértékelése műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák) formula interpretációja p q p p  q p  q p  q p  q T F Modell: az az interpretáció amelyben a formula igaz

IMPLIKÁCIÓ p  q Ha a kutyusok repülnek akkor 2=1.  T   F F   F F hamis előtagból bármi következik? Értelmezés lehet: „Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit.” p  q  p  q

ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK Igazság - Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. - Egy formula igazsága függ a világ állapotától, és az interpretációtól (szemantikától) Tautológia / Érvényes formula: pl. A vA - A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a szemantikától. - minden interpretációban igaz, minden modellben benne van T Kontradikció /Ellentmondás: pl. A A - a világ soha nem olyan, mint amilyennek leírja - minden interpretációban hamis, nincs modellje

FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük. Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények: A  B = (A  B)  (B  A) A  B = A  B A  B = B  A kommutatív A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) asszociatív A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disztributív

FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények A  F = A A  T = A A  T = T A  F = F A  A = T A  A = F (A) = A kettős tagadás (A  B) = A  B (A  B) = A  B deMorgan A  (A  B) = A A  (A  B) = A abszorpció, elnyelés A  A = A A  A = A idempotencia

LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY A W W formula az A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz. LEGALÁBB OTT IGAZ, AHOL A. A1 , . . . , An W bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A1, . . . , An) és ha W ezek logikai következménye, akkor W-nek is igaznak kell lennie Hogy lehet eldönteni? Pl. Modus Ponens a  (a  b) b a b a  b a  (a  b) T F

LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY Logikai következmény fogalmának eldöntése a tautológia fogalmával: A1 , . . . , An W akkor és csak akkor, ha (A1  . . .  An)  W tautológia Logikai következmény fogalmának értelmezése a kontradikció fogalmával: A1 , . . . , An W akkor és csak akkor, ha A1  . . .  An W kontradikció Elnevezések: (A1  . . .  An)  W tétel A1  . . .  An tétel axiómái, feltételei W következmény, konklúzió

TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL F1: p  q F2: q F3: p ?: F1  F2 F3 lehetőségek: A definíció alapján beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1F2 igaz, igaz F3 is bebizonyíthatjuk, hogy F1F2F3 tautológia beláthatjuk, hogy F1F2F3 kontradikció p q F1 F2 F1F2 F3 F1F2F3 F1F2F3 T F    a b c

TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL Az interpretációk száma: 2 változó esetén 4 - ok 3 változó esetén 8 - ok 4 változó esetén 16 – nem annyira ok, elveszítjük a fonalat  … n változó esetén 2n Mekkora szám a 2n ? https://www.youtube.com/watch?v=AmFMJC45f1Q

TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL https://www.youtube.com/watch?v=AmFMJC45f1Q Elég kilátástalannak tűnik nagy számú ítéletváltozó esetén az igazságtáblával történő tételbizonyítás  Robinson, 1965: REZOLÚCIÓ

Rezolúció, Robinson, 1965 (fénykép 2012-ből) Alapelv: Mind a feltételeket, mind a következmény negáltját (ld. köv. pont) konjunktív normálformára hozzuk A feltételek következményeit kontradikcióval bizonyítjuk: Feltétel_1Feltétel_2…  Feltétel_k  Következmény A kialakított formula kontradikció Alkalmazzuk a rezolúció alap következtetési sémáját mindaddig, amíg üres klózt nem kapunk: a  b d c  b d _____________ __________ a v c  (NIL)

Rezolúcióval kapcsolatos következtetési sémák Mire is lesz jó? a  b c  b Ezt a sémát hívjuk a rez. alap következtetési szabályának ____________ a v c Másfajta értelmezések ugyanarra: a  b a  b c  a c  a _____ ________ c  b c  b

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk. Konjunktív normálforma: speciális részformulák=klózok konjunkciója klóz (K): literálok diszjunkciója ill. egy literál literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja Implikációs normálforma: NEM KELL TUDNI!  speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: implikáció – bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója (p  q)  (q  r)  (s  r  F)  (T  p)  (T  s) (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s K1  K2  K3  K4  K5

KONJUNKTÍV NORMÁLFORMA Literál: negált vagy negálatlan atom Pozitv: A Negatív, ha A Tétel: Minden formulához létezik vele ekvivalens konjunktív normálforma. Biz.: 1.  2. De Morgan ()  ()  3. ()( )( ) ()( )( ) Def.: DNF (diszjunktív normálforma): konjunkciók diszjunkciója Megjegyzés: A KNF és DNF duális: ua. mindkettő, csak  helyett ,  helyett . KNF: Klózok (diszjunkciók) konjunkciója K1K2…Kn

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL minden formula átalakítható normálformára Transzformációs szabályok: A  B = (A  B)  (B  A) ( kiküszöbölése) A  B = A  B ( kiküszöbölése) (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) A = A ( hatáskörének redukálása) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (klózok konjunkciójának létrehozása) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) b.) ((p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s)) d.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s) c.) e.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s c.) d.) e.)

ÍTÉLETKALKULUS – PÉLDA állítások: A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy. A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik. A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni. A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon. A1, A2, A3 állításokból következik-e A4? atomok (atomi formulák): p: süt a nap q: Péter strandra megy r: Péter úszik s: Péter otthon marad eredeti állítások szerkezetét tükrözi formulák: F1: p  q= pq F2: q r= qr F3: (s  r)= s   r F4: p  s= p  s F4: p  s KLÓZOK: p és s 2 db!

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s formula klóz alak, klóz halmaz: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s Lássuk be, hogy C1 . . . C5 klózhalmaz kontradikció indirekt bizonyítás: tfh létezik modellje (minden klóz igaz) C4 igaz, ha p = T C5 igaz, ha s = T C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből) C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből) C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből) ellentmondás!

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A bizonyítási eljárás szemléltetése: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s rezolúciós gráf, cáfolati gráf új klóz előállítása: rezolúcióval p  q s  r q  r q p s r q q r q NIL q NIL r q

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A1, A2, …, An B ?? A1  A2  …  An   B kontradikció igazolása rezolúciós eljárással A rezolúciós eljárás lépései: Cél tagadása, KNF-RE hozása az axiómákhoz való hozzáadása – nem ettől indirekt! Az A1  A2  …  An   B formula klóz formára hozása (kiindulási klózhalmaz) Az üres klóz (NIL) előállításáig: a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba.

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL rezolválható klózok: ún. komplemens literálpárt tartalmaznak komplemens literálpár: egy ítélet változó és a negáltja együtt rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek diszjunkcióval összekapcsolva üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis rezolúció tulajdonságai: algoritmus? Nemdeterminisztikus + klózkiválasztási szabályok C1: p  q p  r C2: q  r p  s C3: s  r s C4: p NIL C5: s helyes (valóban logikai következmény) teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval)