Algebrai geometriai számítások Előadó Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.huA tanszék munkatársai Farkas Gábor Segédanyagok e-mail: farkasg@compalg.inf.elte.hu Budapest 2008. ősz

1.1. Véges Abel-csoportok alaptétele - 2-

Biz. Zárt, mert a, b  Ei és o(a) = o(b) = n : (ab)n = anbn = ε és n-nél kisebbekre  ε , a többi tulajdonság öröklődik a zártsággal. - 3-

euklidészi algoritmus  γ  A felírható: E1 ekkor  E2 Egyértelmű a felbontás? - 4-

azaz   - 5-

Biz.: teljes indukció előző lemmával... - 6-

1.2. Kongruenciák Euler-Fermat tétel. Biz. legyen { r1, ..., rφ(m) } RMR modulo m , (a, m) = 1  { ar1 , ..., arφ(m) } is az! megfelelő párosítás  ri  arj (mod m) összeszorozva: (ri , m ) = 1 - 7-

Kis Fermat-tétel. másik alak: Biz. előző tétel miatt kész az első alak második alak 0  0 első alak kész - 8-

Lineáris kongruencia - 9-

 is megoldás bármely t egészre. - 10-

megoldás: - 11-

visszahelyettesítve: ami a szimultán megoldás. Ha x1 és x2 megoldás, akkor Általánosabban: - 12-

Biz. is teljesül. - 13-

- 14-

1.3. Redukált maradékosztályok csoportja multiplikatív! Csoport? zártság:  (ab, m) = 1 asszociativitás: öröklődik egységelem: a inverze: - 15-

- 16-

Hogy keressük meg a többit? kell legyen, azaz akkor teljesül, ha - 17-

Biz. - 18-

- 19-

- 20-

1.4. Kvadratikus maradék - 21-

Biz. Kis Fermat tétel  - 22-

- 23-

Biz. - 24-

(2): x csak 0, vagy 2 lehet és p | x De p > 2  x = 0 - 25-

Észrevétel. p prím  ezek közt ott van a reprezentánsa ha a kvadratikus maradék mod p, azaz csak akkor lehet, ha a  g2k . Összefoglalva: - 26-

- 27-

Biz. trivi (4) Euler-kritérium  indukció  - 28-

- 29-

Észrevétel. Biz. összeszorozva kapjuk: - 30-

vegyük (mod p): ezzel szorozva kapjuk, hogy - 31-

Vegyük észre, hogy a  írhatunk = jelet  helyett. Ha m összetett, akkor tekintsük a következő összefüggést: Ekkor hasonlóan járhatunk el, mint az 1.15 tétel (4) pontjának bizonyításánál. - 32-

Hogy dönthető el, hogy létezik-e megoldása az kongruenciának? - 33-

Biz. - 34-

- 35-

Input: Output: Példa: jakobi.mws - 36-

Megjegyzések. „álprímektől” védve van - 37-

 megfelelően sok ismétléssel tetszőlegesen megbízhatóvá tehető gyorsan elvégezhető: Jacobi műveletigénye  Solovay-Strassen műveletigénye: O(log2(n)) - 38-