Származtatott termékek és reálopciók Dr. Bóta Gábor Pénzügyek Tanszék

Származtatott termékek és reálopciók IV. Opcióértékelés 21 A lejáratkori opcióértékek egyszerűen megadhatók, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam. 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 5 LC értéke lejáratkor KT LP értéke lejáratkor PT KT PT KT SC értéke lejáratkor PT KT SP értéke lejáratkor PT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók IV. Opcióértékelés 21 A lejáratkori opcióértékek egyszerűen megadhatók, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam. Ez csak bonyolult összefüggésekkel adható meg, így a témát leegyszerűsítve tárgyaljuk. Miért bonyolult? „Szokásos” eljárásunk, a várható pénzáramlás becslése, majd az opció kockázatához illeszkedő tőke alternatíva költséggel történő diszkontálás nem vezet megoldásra. Az opció kockázata folyamatosan változik. Érték = Árfolyam Hatékony árazódást tételezünk fel. c és p érték is, (egyensúlyi) árfolyam is. 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

IV.1. Egyszerűsített megközelítés – a binomiális modell 21 Mivel egy opció értéke közvetlenül nem megragadható, így olyan részek kombinációjával próbáljuk közelíteni, amelyek értéke ismert, vagy könnyen megadható. A binomiális modellben lényegében az alaptermék árfolyam-alakulásának tulajdonságait egyszerűsítjük azért, hogy a lejáratkori árfolyam végtelen lehetséges értéke helyett csak néhánnyal kelljen kalkulálnunk. A részvény-árfolyamok alapvető tulajdonságait kell egyszerűbb formára hoznunk várható hozam + bolyongás 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók A binomiális modell egyszerűsítése: 21 diszkrét binomiális modell t P t P folytonos modell P0 P0 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 22 Mindezek után olyan portfóliót állítunk össze, amelynek ugyan része az opció is, de mind a portfólió egésze, mind a többi része egzaktul megadható. Végül a portfólió és az „egzakt rész” különbségeként adódik az opció értéke. Olyan portfóliót állítunk össze, amelynek T időpontbeli értéke biztosan ismert. Ezt úgy csináljuk, hogy a portfólióban lévő részvény értékének változását „lefedezzük” az opció értékének változásával. Ismerjük tehát a portfólió jövőbeli értékét, amiből megadhatjuk a jelenbeli értékét. Mivel ismerjük P0-t, az egyetlen ismeretlen az opció jelenlegi (c vagy p) értéke lesz. 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 22 Tekintsünk egy egyszerű példát! jelenlegi részvényárfolyam (P0) legyen 10$ vételi opció kötési árfolyam K=11$ lejárat T=1év, európai típusú a részvényárfolyam 1 év alatt 12,5$-ra növekedhet, vagy 8$-ra csökkenhet részvény: 12,5$ opció: 1,5 $ részvény: 10$ opció: c részvény: 8$ opció: 0 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 22 Állítsunk össze a lejáratkori részvényárfolyamtól független értékű portfóliót! Célunkat x db részvény megvásárlásával és 1 db (ezen részvényre vonatkozó) vételi opció kiírásával (eladási kötelezettség vállalásával) próbáljuk elérni. 1/3 részvényből és 1 vételi opció kiírásából álló portfóliónk értéke 1 év múlva: 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 23 Tudjuk tehát, hogy a portfólió jövőbeli értékét. 2,67$ Egy ilyen portfólió összeállításának költsége – a portfólió jelenbeli értéke: Mindezek alapján c-t meghatározható. 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 24 Binomiális értékelés több periódus esetén Hasonló eljárás, mint egy periódus esetén. 15,625 $ 4,625 $ 12,5 $ 2,29 $ c1 10 $ 10 $ c 0 $ 0 $ 8 $ 6,4 $ 0 $ 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 24 A megoldás pontosításához a részidőszakok számának növelése vezet, ez azonban megnehezíti a számítást. A binomiális modell segítségével az alaptermék árfolyamváltozásának folyamata könnyen megragadható, a paraméterek változtatásával bonyolultabb folyamatok is könnyen kezelhetők (az értékelési eljárás alapelve ekkor is hasonló). 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 24 Binomiális értékelés – eladási opciók példa: P0=50$, T=2év, KT=52$, rf=5% Kockázatmentes portfólió: x db részvény és 1 db eladási opció megvásárlása 72 $ 0 $ 60 $ 1,42 $ 48 $ 50 $ 4 $ 4,24 $ 9,52 $ 40 $ 32 $ 20 $ 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 24 Binomiális értékelés – amerikai opciók 72 $ 0 $ 60 $ 1,42 $ 1,42 $ 48 $ 50 $ 4 $ 5,13 $ 12 $ 9,52 $ 40 $ 32 $ 20 $ 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

IV.2. Általános megközelítés – a Black-Scholes modell 25 IV.2. Általános megközelítés – a Black-Scholes modell A binomiális modellnél a diszkrét árfolyamváltozások bevezetése adta a megoldást. A folyamatos változat megoldását adja az ún. Black-Scholes-formula (képlet). A megoldáshoz vezető út szinte azonos: kockázatmentes portfólió – részvény - opció A folyamatos forma miatt a levezetés magasabb fokú matematikai eszköztárat igényel. Ezért a téma tárgyalását leegyszerűsítjük, a levezetéstől eltekintünk. 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók A Black-Scholes formula sztorija „Az elmúlt három évtized egyik legfontosabb áttörése volt a pénzügyekben.” 1960-as évek végén egy különös háromtagú társaság Fischer Black Myron Scholes Robert C. Merton Fischer Black Robert C. Merton Myron Scholes 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 25 Az alap-formula a lejáratig osztalékot nem fizető részvényre vonatkozó európai vételi opció értékét (c-t) adja meg, a többi opciós pozíció értékére ebből következtetünk majd. A Black-Scholes formula szerinti c-függvény jellege: c P0 c P0-KT KT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók A Black-Scholes formula szerinti c-függvény képlete: 26 P0 a részvény jelenlegi árfolyama K0 az opció KT kötési árfolyamának jelenértéke rf kockázatmentes kamatlábbal diszkontálva N(d) a normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvény-értéke d-nél 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

A Black-Scholes formula szerinti c-függvény képlete: 26 Valamekkora valószínűséggel rendelkezünk P0 értékű részvénnyel Valamekkora valószínűséggel fizetünk K0 –t érte  a részvény (az alaptermék) volatilitása, azaz a részvény időegység alatti relatív szórása, ami megegyezik az időegységre vonatkozó hozam szórásával. N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét adják, hogy PT nagyobb lesz KT -nél és az opciót lehívják. 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 27 Jegyezzük meg, hogy az opció értékét meghatározó tényezők között nem szerepel se a részvény bétája, se várható hozama. Egy opciós jogot úgy kell felfogni, hogy „kicsit” már most megvettük a részvényt, amiért „kicsit” már fizettünk is, meg később is fogunk még. A diszkontált pénzáramláson alapuló megközelítés zsákutca, mert képtelenség kifejezni a kockázatot, és így ralt-ot, mert az a részvény árfolyam-változásával és az idő előrehaladtával folyamatosan változik. (Ezért nem tudták annyi ideig megoldani.) 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 27 Mitől függ c értéke? Nézzük meg a képlet változóit! Ha nő a akkor c értéke Részvényárfolyam (P0) nő Kötési árfolyam (KT) csökken Kockázatmentes kamatláb (rf) nő Lejáratig hátralévő idő (T) nő Részvény volatilitása () nő 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 27 Indokoljuk meg az egyes változók hatásának okait! A kötési árfolyam hatása szinte nyilvánvaló, a többi tényező szerepének megértéséhez az opció értékét részértékekre bontjuk szét. Belső érték Ingadozási érték Részletfizetési érték Időérték 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 28 Belső érték Az opció azonnali lehívása eredményezné. Amennyivel mégis több az opció értéke, az ún. időérték. c P0 P0-KT KT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 28 Ingadozási érték c P c P0-KT P0 KT E(PT) PT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók A részvényárfolyam lejáratig adódó kockázatossága pozitívan hat c értékére: 29 c P KT P0 PT c P PT P0 KT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 29 Az ingadozási érték tehát annál nagyobb, minél a részvény lejáratig hátralévő időre eső változékonysága. Mitől függ ez? T-től σ-tól egészen pontosan -től KT c P P0-KT P0 PT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 31 Részletfizetési érték Első érzetünkkel ellentétben c értéke nem a P0-KT belső értékhez „simul”, hanem a P0-K0 ún. módosított belső értékhez. Ez azzal magyarázható, hogy az opció lehívása lényegében egy részletre történő részvényvásárlást jelent, ahol az első részlet c, a második részlet KT. KT-nek viszont csak a jelenértékét kell számolnunk, hiszen később fizetjük: 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 31 c P0 KT-K0 P0-KT P0-K0 c K0 KT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Részletfizetési érték 31 A részletfizetési érték nyilván KT -től, rf-től és T-től függ, valamint a lehívás valószínűségétől is: c P0 c KT-K0 KT Részletfizetési érték P0-KT N(d) 1 d 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Részletfizetési érték 31 Összegezzük a három értékforrást! c P0 c KT-K0 Részletfizetési érték Időérték Ingadozási érték P0-KT Belső érték KT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók Ha nő a akkor c értéke Részvényárfolyam (P0) nő Kötési árfolyam (KT) csökken Kockázatmentes kamatláb (rf) nő Lejáratig hátralévő idő (T) nő Részvény volatilitása () nő 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 33 IV.2.2. Európai eladási opciók értéke lejárat előtt – a put-call paritás Az eladási opció értékét – az ún. put-call paritás segítségével – a vételiéből vezetjük le. A paritásos összefüggés felírásához két azonos eredményű (értékű) portfóliót állítunk össze, úgy, hogy az egyikben vételi, a másikban eladási opció szerepeljen. 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 33 LC LP PT PT KT KT KT KT PT PT KT 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 34 p KT KT-K0 K0 c p=c-P0+K0 K0 KT P0 p=c-P0 -K0 -P0 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Részletfizetési érték (-) Részletfizetési érték (-) 34-35 Vázoljuk az eladási opcióknak is a belső, a részletfizetési és az ingadozási értékét! p P0 KT Részletfizetési érték (-) Részletfizetési érték (-) KT-P0 Belső érték KT-P0 Belső érték K0 Ingadozási érték (+) Ingadozási érték (+) KT-K0 KT 1 N(d) d 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 35 Mitől és hogyan függ p értéke? Ha nő a akkor p értéke Részvényárfolyam (P0) csökken Kötési árfolyam (KT) nő Kockázatmentes kamatláb (rf) csökken Részvény volatilitása () nő Lejáratig hátralévő idő (T) nem egyértelmű 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 35 IV.2.3. Osztalékot fizető részvényekre vonatkozó vételi és eladási opciók értéke lejárat előtt 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 36 Eddigi értékelési módszerünkön csupán P0 értelmezésén keresztül kell változtatnunk. Korrigáljuk a lejáratig fizetendő osztalékkal. A paritásos összefüggés is megváltozik: 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

IV.2.4. Amerikai típusú vételi opciók értéke lejárat előtt 36 IV.2.4. Amerikai típusú vételi opciók értéke lejárat előtt Bármikor lehívhatjuk, ezért a jog birtokosa előtt folyamatosan két lehetőség kínálkozik: Lehívja Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: P0-KT Nem hívja le Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): c Nyilván a nagyobb érték mellett fog dönteni. 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók Amerikai vételi opció osztalékfizetés nélkül 36 K0 KT c P0 P0-KT P0-K0 KT-K0 Láthatóan c mindig nagyobb a belső értéknél (P0-KT), így soha nem élnek a lehívás jogával, így a lehívhatóság joga értéktelen. c amerikai = c európai 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók Amerikai vételi opció osztalékfizetéssel: 37 c P0 DIV + DIV(T)0 –KT DIV(T)0 KT P0 DIV -KT P0 DIV -K0 eladás lehívás c K0 P0 DIV P0 A korábbi lehívás mellett szólhat a T-ig kifizetésre kerülő osztalékok megszerzése. c amerikai > vagy = c európai 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

IV.2.5. Amerikai típusú eladási opciók értéke lejárat előtt 37 IV.2.5. Amerikai típusú eladási opciók értéke lejárat előtt Itt is az a kérdés, hogy a belső érték vagy az opció pillanatnyi értéke a nagyobb-e: Lehívja Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: KT-P0 Nem hívja le Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): p 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók Amerikai eladási opció osztalékfizetés nélkül: 37 P0 p KT K0 p eladás lehívás K0 KT Látható, hogy alacsonyabb P0 esetén – az egyre csökkenő részletfizetési érték miatt – jobb a korábbi lehívás („hamarabb jut KT-hez”). p amerikai > vagy = p európai 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók Amerikai eladási opció osztalékfizetéssel: 38 p DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0) = KT-P0 DIV -DIV(T)0 DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0) = KT-P0 DIV -DIV(T)0 KT p K0 K0 KT P0 DIV P0 Az osztalékfizetés hatására a korábbi lehívás motivációja gyengül. p amerikai „kevésbé” > vagy = p európai 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

IV.2.6. Opciók értékének meghatározása Black-Scholes táblázattal 39 IV.2.6. Opciók értékének meghatározása Black-Scholes táblázattal A jelenlegi részvényárfolyam 59$, a részvény hozamának volatilitása 35,5%. Mennyit ér egy 63$-os kötési árfolyamú, féléves lejáratú vételi opció, ha a kockázatmentes kamatláb (fél évre) 2,5%? 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 39 1. lépés volatilitás: 35,5%, lejáratig hátralévő idő: fél év 2. lépés KT=63$, P0=59$, rf=2,5% (fél évre) 3. lépés: táblázat: 8,2 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók Eladási opció: 39 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

Származtatott termékek és reálopciók 39 Azonban a piaci árfolyam 6,1$. Mit rontottunk el? A „piac” kb. 42%-os volatilitást becsül. Ez az ún. visszaszámított volatilitás. implied volatility 2014. tavasz Származtatott termékek és reálopciók