Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében A Tantárgy címe Elektronikus kereskedelem PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS IX. Előadás ALAPTERMÉKEK ÁRALAKULÁSÁNAK MODELLEZÉSE Az Európai Szociális Alap támogatásával Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében PPKE ITK - VE MIK

Tartalom A binomiális háló modell A folytonos multiplikatív modell A Tantárgy címe Tartalom A binomiális háló modell A folytonos multiplikatív modell A Wiener folyamat ITO-Folyamatok Folytonos idejű árfolyammodellek A diszkontált árfolyamat GBM vs BLM 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

BEVEZETÉS A cél: az alaptermék áralakulásának modellezése A Tantárgy címe BEVEZETÉS A cél: az alaptermék áralakulásának modellezése Két alapmodell: binomiális háló Ito - folyamatok 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL (BLM) I. A Tantárgy címe A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL (BLM) I. Választunk egy periódust, pl. 1 hét A modell: egy periódus elején az ár: S ekkor a periódus végén az ár S+ = Su vagy Sd itt u > 1, d < 1 fix a növekedés valószínűsége p, a csökkenés valószínűsége 1-p 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL II. A Tantárgy címe A BINOMIÁLIS HÁLÓ MODELL II. 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL I. A Tantárgy címe FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL I. Választunk egy periódust, pl. 1 hét (jav: v helyett u irandó) vagy ahol normális eloszlású független. (Jav: v helyett ) Ekkor lognormális. (Jav: v helyett u irandó) 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL II. A Tantárgy címe FOLYTONOS MULTIPLIKATÍV MODELL II. A log-dinamikából kapjuk: Itt a 2. tag normális ! Feltevés: S(0) konstans, így S(k) lognormális ! (Jav: v helyett ) 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

EMPIRIKUS LOG-HOZAM ADATOK A Tantárgy címe EMPIRIKUS LOG-HOZAM ADATOK log S(k) eloszlása: (INSERT: Fig 11.3, p.302) Észrevétel: vastagfarkú eloszlás! Tipikus értékek:  = 12%,  = 15% 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A Tantárgy címe LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS Definíció (ism.): u lognormális, ha w = ln u normális. A lognormális eloszlás: (INSERT: Fig 11.4, p.304) 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS II. A Tantárgy címe LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS II. Tegyük fel, hogy w: Ekkor -re: Értelmezés: ew felfelé szóródik, alulról korlátos, pozitív  = 15% esetén: ! De: nagyobb volatilitás esetén az korrekció jelentős 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A WIENER FOLYAMAT I. Véletlen tagok összege → véletlen bolyongás A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT I. Véletlen tagok összege → véletlen bolyongás Legyen (k) független, standard normális, N(0,1). A részletösszegek sorozata egy véletlen bolyongás. . 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A WIENER FOLYAMAT II. Egy véletlen bolyongás átskálázása: A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT II. Egy véletlen bolyongás átskálázása: legyen  t > 0, tk = k t Ábrázolás: a (t,z) síkon. 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

WIENER FOLYAMAT III. Egy véletlen bolyongás: A Tantárgy címe 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT IV. A z(tk) folyamat jellemzői: z(tk) egy Gauss folyamat : Ha [t1,t2] és [t3,t4] nem metszik egymást, akkor 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT V.  t → 0 esetén: a Wiener-folyamat formális, heurisztikus definíciója: ahol (t) standard normális, és t’ ≠ t’’ esetén. Alternatív terminológia: Brown mozgás dz(t): Gauss fehér zaj 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A WIENER FOLYAMAT VI. Precíz definíció: z(t) Wiener-folyamat, ha A Tantárgy címe A WIENER FOLYAMAT VI. Precíz definíció: z(t) Wiener-folyamat, ha Minden s < t -re z(t) – z(s) normális, Ha [t1,t2] és [t3,t4] nem metszik egymást, akkor z(0) = 0 és z(t) folytonos 1 valószínűséggel 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

ITO – FOLYAMATOK I. Példa: A Tantárgy címe ITO – FOLYAMATOK I. Klasszikus kalkulus: ha x(t) differenciálható, akkor (Leibniz-fromalizmusa) Formáslis differenciál (infinitezimális) kalkulus: alapja a linearitás ill. Példa: 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A Tantárgy címe ITO - FOLYAMATOK II. Sztochasztikus kalkulus: a z(t) Wiener folyamat nem-differenciálható. Egy új formálsi infinitezimális elem: dz(t). Az új infinitezimális kalkulus objektumai: Értelmezés: drift + diffúzió Az x(t) folyamat neve: Ito - folyamat. 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

ITO - FOLYAMATOK III. Műveleti szabályok: alapja linearitás és Példa: A Tantárgy címe ITO - FOLYAMATOK III. Műveleti szabályok: alapja linearitás és Példa: Ekkor Az utolsó tag: az Ito-féle korrekciós tag ! 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

AZ ITO - LEMMA Kérdés: Mi az folyamat sztochasztikus differenciálja. A Tantárgy címe AZ ITO - LEMMA Általában: legyen Kérdés: Mi az folyamat sztochasztikus differenciálja. Ito-lemma: legyen F elég sima, kétszer folyt. diff.ható. Ekkor Az utolsó tag: az Ito-féle korrekciós tag. 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK I. A Tantárgy címe FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK I. Az árfolyam a t időben: S(t) A modell: (jav: 3 helyett +, r helyett ) Ez megoldható: 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK II. A Tantárgy címe FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK II. Mi az S(t) dinamikája? Legyen Ekkor: ,így Az utolsó tag: az Ito korrekciós tag. Innen Tehát S(t) dinamikája: (jav: v helyett ) Terminológia: S(t) egy geometriai Brown mozgás (GBM) 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK III. A Tantárgy címe FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK III. Nyilvánvaló: S(t) lognormális, ui. ln S(t) normális: Innen a korábbi elemi eredmény alapján: Jelölés: 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK – ÖSSZEFOGLALÁS A Tantárgy címe FOLYTONOS IDEJŰ ÁRFOLYAMMODELLEK – ÖSSZEFOGLALÁS Legyen az S(t) árfolyamat egy geometriai Brown-mozgás: Ekkor: A log-hozamra: (jav: ln a tört egészére vonatkozik). (Hf: alkalmazzuk Ito-t) ahol és 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A DISZKONTÁLT ÁRFOLYAMAT A Tantárgy címe A DISZKONTÁLT ÁRFOLYAMAT Definiáljuk a diszkontált árfolyamatot: Ekkor (jav: 2. tagban dS(t) áll) Innen Észrevétel: a drift 0 ! 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A Tantárgy címe GBM vs. BLM I. Vegyünk egy GBM-t: és vegyünk egy t periódust, és tekintsük S(t) -t! A cél: szerkesszünk egy BLM-t, amely illeszkedik S(t) –re úgy hogy: és 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

GBM vs. BLM II. A keresett BLM paraméterei: u,d,p A Tantárgy címe GBM vs. BLM II. A keresett BLM paraméterei: u,d,p Ekkor $1 dollárból indulva: Az U = ln u, és D = ln d jelöléssel az illeszkedés egyenlete: Három ismeretlen, két egyenlet. Tegyük fel, hogy D = -U ! 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK

A Tantárgy címe GBM vs. BLM III. Ennek közelítő megoldása kis t –re, (p kb ½ alapján): Megjegyzés: itt , empirikusan nyerhető adatok ! Az illesztés értelme: a BLM könnyen kezelhető. 2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 PPKE ITK - VE MIK