II. konzultáció Analízis Sorozatok Egyváltozós valós függvények I.

Sorozatok Definíció. Az f : N →R függvényt valós számsorozatnak nevezzük. A sorozat elemeit jelöli. A sorozatot röviden módon is jelöljük. Példa 1. Definíció. Legyen valós számsorozat. Az sorozatot - monoton növekvőnek nevezzük, ha esetén, - monoton csökkenőnek nevezzük, ha esetén, Ha az egyenlőségeket nem engedjük meg, akkor szigorúan monoton sorozatról beszélünk. Példa 2.

Sorozatok Definíció. Legyen valós számsorozat. Az sorozatot - alulról korlátosnak nevezzük, ha , hogy esetén . - felülről korlátosnak nevezzük, ha , hogy esetén . - korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos. Az alsó korlátok legnagyobbikát alsó határnak, a felső korlátok legkisebbikét felső határnak nevezzük. Példa 3. Definíció. Az szám sugarú környezetén a intervallumot értjük.

Sorozatok Definíció. Az valós számsorozat konvergens és határértéke , ha -hoz , hogy esetén . Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az sorozat az A-hoz konvergál, vagy, hogy az sorozat határértéke A. Jelölés: , vagy . Ha az nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük. Az számot a sorozat küszöbszámának vagy küszöbindexének nevezzük.

Sorozatok Definíció. Az valós számsorozat konvergens és határértéke , ha az A szám tetszőleges sugarú környezetén belül a sorozatnak végtelen sok eleme, azon kívül pedig véges sok eleme található. Tétel. Az előbbi két definíció ekvivalens. Bizonyítás. Az állítás nyilvánvaló. Tétel. Az sorozat konvergens és határértéke 0. Tétel. Az sorozat, ahol is konvergens és határértéke 0.

Sorozatok Tétel. Egy konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Bizonyítás. Indirekt úton bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy … Tétel. Legyen az egy valós számsorozat. Ha konvergens, akkor korlátos. Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. A tétel megfordítása nem igaz. Például: Legyen . A sorozat korlátos, de nem konvergens.

Sorozatok Tétel. Ha egy valós számsorozat monoton és korlátos, akkor konvergens. Bizonyítás. Nincs. Műveletek konvergens sorozatokkal. Tétel. Legyen és . Ekkor 1./ , ha konstans 2./ 3./ 4./ , ha és . Bizonyítás. Csak a állítást igazoljuk.

Sorozatok Közrefogási tétel. (Rendőr elv) Legyen -re és , ekkor Bizonyítás. Indirekt úton bizonyítjuk az állítást. … Néhány nevezetes határérték Tétel. Mértani sorozat konvergenciája: Bizonyítás. Nincs.

Sorozatok Tétel. Az sorozat konvergens. Bizonyítás. nincs Tehát van, és egyértelmű a határértéke: Általánosan: Tétel.

Egyváltozós valós függvények

Függvények Definíció. Legyen A és B két nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor az A halmazon értelmezett B-beli értékeket felvevő függvényről beszélünk. Az ilyen hozzárendelést egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. - ha akkor valós értékű függvényről, - ha akkor valós-valós függvényről beszélünk. Jelölés. , vagy

Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk. Definíció. Két függvény egyenlősége: ha és Definíció. Az függvény invertálható, ha a fordított hozzárendelés is függvény, azaz különböző képe különböző. Az ilyen hozzárendelést kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. A fordított hozzárendelést, - ha ez is függvény - az eredeti függvény inverz függvényének nevezzük.

Függvények inverze Jelölés. Tétel. Ha f invertálható, akkor is invertálható és . Példa. Ciklometrikus függvények (A trigonometrikus függvények inverzei) 1./ nem invertálható, ezért , ekkor és

Függvények 2./ nem invertálható, ezért , ekkor és 3./ nem invertálható, ezért , ekkor

Függvények 4./ nem invertálható, ezért , ekkor és

Függvények Összetett függvények Definíció. Legyen f és g két olyan adott függvény, amelyekre ! Az függvényen értjük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya g értelmezési tartományának azon része, ahol g olyan értékeket vesz fel, amelyeken f értelmezve van. Az összetett függvény hozzárendelési szabálya: Példa.

Függvények Függvények monotonitása Definíció. Az függvényt monoton növekedőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha -re, melyre , az ( ) Szigorúan monoton növekvő (csökkenő), ha -re, , az . ( )

Függvények Függvények korlátossága Definíció. Az függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha , hogy -re teljesül, hogy . Az függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha , hogy -re teljesül, hogy . Az függvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos.

Függvények Periodikus függvények Definíció. Az függvény periodikus, ha szám, amelyre igaz, hogy 1./ esetén , 2./ -re . Ekkor p-t az f függvény periódusának nevezzük. Természetesen, ha p periódus, ennek bármely egészszám szorosa is periódus.