JELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA

Jelenértékszámítás-technika A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil (cash flow pattern) – ezt ábrázoltuk pénzáramlás diagramos formában Vannak „nevezetes” profilok, amikhez „nevezetes” képletek tartoznak (azaz a profil jelenértéke zárt alakban megadható) – lásd: annuitás, örökjáradék Egyéb esetekben a profil pontos jelenértéke csak körülményesen számolható – célszerű közelítésekkel élni Ezen közelítések közül tekintünk most át néhányat…

Perióduson belüli pénzáramok (I.) Intraperiod cash flow Egy előre meghatározott hosszúságú (pl. egy év) kamatperióduson (interest period) belül tetszőleges időpontban jelentkező pénzáram Az eddig tekintett „nevezetes” profiloknál mindig csak a periódusok végén volt pénzáram A perióduson belüliség megengedésével a valóság jobban leírható – pl. egy projektnek a valóságban jellemzően év közben is vannak pénzáramai

Perióduson belüli pénzáramok (II.) Lényeges megjegyzés: a definiált kamatperiódus hossza tetszőleges lehet, így a korábban megismert „nevezetes” profilokat értelmezhetjük éves, havi, heti, stb. szinten egyaránt – azaz éves, havi, heti, stb. felbontásban adják meg a pénzáramok alakulását Ezért is használtam az „év” helyett az általánosabb „periódus” kifejezést! Természetesen a diszkontrátát is a periódus hosszára vonatkoztatva kell megadni – pl. éves felbontású profilhoz éves diszkontráta Hogyan válthatjuk át a diszkontrátát a különböző hosszúságú periódusokra? → kamatos kamatozás logikája t és T azonos mértékegységben!

Perióduson belüli pénzáramok (III.) Példa: ha az éves diszkontráta 14%, akkor mennyi a negyedéves diszkontráta? (kétféleképpen, 3,33%) rnegyedéves = (1 + 14%)1/4 – 1 ≈ 3,33% rnegyedéves = (1 + 14%)0,25/1 – 1 ≈ 3,33% Vissza a perióduson belüli pénzáram jelenértékéhez, ami a következőképp adható meg (tF a kamatperiódus mérték- egységében!): Példa: mekkora egy 19 hónap múlva befolyó F = 80 pénzáram jelenértéke, ha az éves diszkontráta 16%? (63,25) P = 80/(1 + 16%)19/12 ≈ 63,25

Perióduson belüli pénzáramok (IV.) Nézzünk egy projektet „sok” perióduson belüli pénzárammal: A pontos jelenértéket úgy kapnánk, ha egyesével diszkontálnánk minden pénzáramot, majd jelenértékeiket összegeznénk Körülményes, fáradságos → célszerű közelítésekkel élni

Időzítési konvenciók (I.) Időzítési konvenciók: periódusonként aggregáljunk minden pénzáramot a periódus egy kitüntetett pontjába! Periódusvégi konvenció (end-of-period convention): a periódus minden pénzárama a periódus végére tolva, majd ezen „aggregált” pénzáramok diszkontálása Ez a klasszikus, tankönyvi eljárás, ezt csináltuk eddig mi is: csak a periódusok végén volt pénzáram Közelítésnél örök dilemma: egyszerűség, praktikusság vs. pontosság Kérdés 1: mekkora hibát véthetünk a periódusvégi konvencióval? Kérdés 2: javítható-e valamilyen egyszerű módon a periódusvégi konvenció pontossága?

Időzítési konvenciók (II.) Ismerkedjünk meg néhány más időzítési konvencióval: Periódus-eleji konvenció (beginning-of-period convention): a periódus minden pénzárama a periódus elejére tolva Periódus-közepi konvenció (mid-period convention): …közepére tolva Egy speciális időzítési konvenció: Harmonikus konvenció (harmonic convention): periódus-eleji és -végi harmonikus közepe (Andor és Dülk, 2013a) A számtani és a mértani átlagot is megvizsgáltuk már (Andor és Dülk, 2013b), de ezekkel most nem foglalkozunk… Az említett konvenciók mind előállnak a periódusvégi jelenérték (PE) egyszerű korrekciójával (ld. köv. dián)

Időzítési konvenciók (III.) A formulák: Definiáljuk a relatív hibát (ε) a következőképp: Kérdés: legyen szó bármilyen tényleges pénzáram- profilról, mekkora az elméletileg elkövethető lehetséges legnagyobb relatív hiba (LLH)? Azaz: legyen szó bármilyen profilról, ennél nagyobb hibát biztosan nem vétünk az adott konvenció alkalmazásával

Időzítési konvenciók (IV.) Most csak azt az esetet tekintjük, amikor a tényleges profil minden pénzárama azonos előjelű Az említett konvenciókra levezethető, hogy a LLH (εmax-szal jelölve): A sorrend igaz bármely pozitív diszkontrátára A harmonikus konvenció minimalizálja a LLH-t! 20%-os diszkontráta esetén pl. E: 16,67%, B: 20%, M: 9,55%, H: 9,09% Látszik, hogy érdemes korrigálni H-val vagy M-mel, és a korrekció könnyen elvégezhető… < < <

Időzítési konvenciók (V.) Mi a helyzet konkrét pénzáramprofilok esetén? Például ún. PERT-jellegű profilok esetén periódusvégi konvencióra: r

Időzítési konvenciók (VI.) Továbbra is PERT: harmonikus konvenció és a konvenciók összevetése: r r

Időzítési konvenciók (VII.) Leolvashatók a konvenciók hibái, így a pontos jelenérték megadható a nomogramok segítségével: Általánosságban megállapítható: a harmonikus (és a periódus- közepi) konvenció hibája jellemzően < 5% → elfogadhatóan pontosak PE mindig alulbecsül: jó projekt elvetésének veszélye! Záró megjegyzés: figyelem! Az említett konvenciók csak a jelen- értékre (PV) alkalmazhatók, a nettó jelenértékre (NPV = –F0 + PV) közvetlenül nem! Mert F0 egy „speciális”, konvención kívüli pénzáram

Példák (I.) Egy projekt 20 perióduson keresztül minden periódusban összesen 100 összegű pénzáramot termel, a diszkontráta 25%. Mekkora a projekt jelenértéke periódusvégi, -eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval? (395; 494; 442; 439) Legfeljebb mekkora hibát véthetünk ezen konvenciók alkalmazásával? (20%; 25%; 11,8%; 11,1%) Mekkora a pontos jelenérték, ha a pénzáramok mintázata minden periódusban PERT-jellegű, c = 0,55 paraméterrel? (nomogram mellékelve) (439) A pontos jelenérték fényében melyik konvenció a legpontosabb? (harmonikus) Mi az egyes konvenciók szerint a projekt megvalósítandóságáról szóló döntés, ha a kezdő beruházási összeg F0 = 420? (csak E vetné el)

Példák (II.) Megoldás: PE = 100*(1/0,25 – 1/0,25*1/(1 + 0,25)20) ≈ 395 PB = PE*(1 + 0,25) ≈ 494 PM = PE*(1 + 0,25)0,5 ≈ 442 PH = PE*(1 + 0,25)/(1 + 0,25/2) ≈ 439 εE,max = 0,25/1,25 = 20%; εB,max = 25%; εM,max = 1,250,5 – 1 ≈ 11,8%; εH,max = 0,25/2,25 ≈ 11,1% Ppontos = PE / (1 + –10%) ≈ 439, nomogram alapján εE = 395/439 – 1 ≈ –10%; εB = 494/439 ≈ 13%; εM = 442/439 – 1 ≈ 1%; εH = 439/439 – 1 ≈ 0%; tehát jelen esetben H a legpontosabb NPVE = 395 – 420 < 0; NPVB = 494 – 420 > 0; NPVM = 442 – 420 > 0; NPVH = 439 – 420 > 0; tehát csak E vetné el

Példák (III.) Adottak a következő pénzáramok és időzítéseik: F1 = 90, F2 = 150, F3 = 110, F4 = 70 és t1 = 0,3 év, t2 = 8,4 hónap, t3 = 3 félév, t4 = 7,2 negyedév és a negyedéves diszkontráta 4,66%. Mekkora a pénzáramok jelenértéke periódusvégi, periódus-eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval, ha a periódushossz egy év? (325; 390; 356,02; 354,55) Mekkora a pontos jelenérték? (351,33) Mekkora a periódusvégi, illetve a harmonikus konvenció hibája? (–7,5%; +0,9%) Mi az F = 150 pénzáram időzítése hónapban, ha jelenértéke 75 és az éves diszkontráta 20%? (45,6) Mennyi egy 5 évig tartó negyedéves A = 10 összegű annuitás jelenértéke, ha az éves diszkontráta 20%? (128,3)

Példák (IV.) Megoldás (pénzáramsorozat): réves = (1 + 4,66%)4 – 1 = 20% Időzítések évben: t1 = 0,3; t2 = 8,4/12 = 0,7; t3 = 3/2 = 1,5; t4 = 7,2/4 = 1,8 PE = (90 + 150)/1,2 + (110 + 70)/1,22 = 325 PB = 325*1,2 = 390 PM = 325*1,20,5 ≈ 356,02 PH = 325*1,2/1,1 ≈ 354,55 Ppontos = 90/1,20,3 + 150/1,20,7 + 110/1,21,5 + 70/1,21,8 ≈ 351,33 εE = 325/351,33 – 1 ≈ –7,5%; εH = 354,55/351,33 – 1 ≈ 0,9%

Példák (V.) Megoldás (negyedéves annuitás): Megoldás (pénzáram időzítése): P = 75 = 150/1,2tF  tF = log(150/75) / log1,2 ≈ 3,8 év = 3,8*12 = 45,6 hónap Megoldás (negyedéves annuitás): rnegyedéves = (1 + 20%)1/4 ≈ 4,66% 5 év = 5*4 = 20 negyedév P = 10*(1/0,0466 – 1/0,0466*1/(1 + 0,0466)20) ≈ 128,3