Mechanika Műszaki fizika alapjai Dr. Giczi Ferenc Széchenyi István Egyetem, Fizika és Kémia Tanszék Győr, Egyetem tér 1.

Relativisztikus mechanika A mechanika feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvények felállítása. Galilei (1564 - 1642) Newton (1642 - 1727) Klasszikus mechanika Megjegyzés: A 19. században elterjedt volt az a felfogás, hogy bármely fizikai jelenséget mechanikai jelenségekre lehet visszavezetni. Kvantummechanika Relativisztikus mechanika

A mechanika felosztása KINEMATIKA (mozgástan) KINETIKA (erőtan) Statika Dinamika

Anyagi pont, tömegpont Probléma Egy test mozgását akkor ismerjük teljesen, ha minden pontjának helyzetét, bármely időpillanatban meg tudjuk adni. Megoldás Gyakran a test méretei olyan kicsinyek a számításba jövő távolságokhoz képest, hogy a testet „pontszerűnek” tekintjük. A tömegpont olyan idealizált test, amelynek kiterjedése nincsen, de TÖMEGE VAN. Megjegyzés: Az anyagi pont modellje azonban sokszor csak durva közelítésre vezet.

A mechanika felosztása Anyagi pont mechanikája Pontrendszerek mechanikája Merevtestek mechanikája Deformálható testek mechanikája

A tömegpont kinematikája Fizika villamosmérnököknek A tömegpont kinematikája Dr. Giczi Ferenc Széchenyi István Egyetem, Fizika és Kémia Tanszék Győr, Egyetem tér 1.

Vonatkoztatási pont (rendszer) Bármely anyagi test helyzete, helyzetváltoztatása viszonylagos, relatív. Választunk egy pontot, amihez a test helyzetét vagy mozgását viszonyítjuk (vonatkoztatási pont) z2 P ( a vizsgált test helyzete) r (helyvektor) r O (vonatkoztatási pont)

A vonatkoztatási rendszerhez koordináta-rendszert rögzítünk. Célkitűzés A vizsgált test pontjainak helyzetét számszerű adatokkal szeretnénk jellemezni. Megoldás Fel kell vennünk a vonatkoztatási rendszerben, olyan pontokat, vonalakat, vagy felületeket, amelyektől a vizsgált test pontjainak távolságát számítjuk. A vonatkoztatási rendszerhez koordináta-rendszert rögzítünk. Koordináta-rendszer

Koordináta rendszer O r r(x,y,z)

Az anyagi pont mozgása P1 s (megtett út) r1 r = r2-r1 (elmozdulás vektor) r2 P2 O

Az anyagi pont mozgása O Ezek a kinematikai mozgásegyenletek meghatározzák a mozgó pont által leírt görbét, a pont pályáját. Megjegyzés: A pont pályája lehet térgörbe, síkgörbe, vagy egyenes.

Egyenes vonalú, egyenletes mozgás Az anyagi pont egyenes vonalú pályán állandóan ugyanabban az irányban halad és egyenlő időközök alatt egyenlő utakat tesz meg. v arányossági tényező a test sebessége Hol van a test a vonatkoztatási ponthoz képest?

Egyenes vonalú, egyenletes mozgás

Az átlagos sebesség és az átlagsebesség közötti különbség r1 r2 r = r2-r1 (elmozdulás vektor) P1 P2 s (megtett út) átlagsebesség

Gyakorló feladat AB távolságot egy gépkocsi 40 km/h sebességgel futja be. Visszafelé a sebessége 60 km/h. Mekkora az átlagsebessége és az átlagos sebessége az ABA út befutása során?

Gyakorló feladat Két repülőgép azonos magasságban, egymásra merőleges egyenes pályán, egyenletes sebességgel repül pályáik metszéspontja felé, amelytől kezdetben 3 km, illetve 2,5 km-re voltak. A gépek sebessége 800, ill. 600 km/h. Mennyi idő múlva lesznek egymáshoz legközelebb a gépek? Mekkora a köztük mérhető legkisebb távolság? (gyakorlaton oldjuk meg)

Légüres térben minden test egyformán esik. Szabadesés, Gyorsulás Légüres térben minden test egyformán esik. Hogyan függ a szabadon eső test útja az időtől? f=1 Hz Megfigyelés Kísérlet

Szabadesés s(m) t(s)

A szabadon eső test útja arányos az idő négyzetével. Szabadesés s(m) t(s) t2 s/t2 0,2 0,1855 0,0344 5,8122 0,4 0,2749 0,0756 5,2931 0,6 0,3418 0,1168 5,1358 0,8 0,3975 0,1580 5,0631 1 0,4465 0,1994 5,0160 1,2 0,4898 0,2399 5,0020 1,4 0,5302 0,2811 4,9802 k=4,864 m/s2 A szabadon eső test útja arányos az idő négyzetével. k=4,905 m/s2

A szabadon eső test sebessége folyamatosan változik. A sebességfogalom általánosítása. Számítsuk ki egy szabadon eső test átlagsebességét az esés kezdetétől számított 4. másodpercben! (k=4,905 m/s2)

A szabadon eső test sebessége folyamatosan változik. Számítsuk ki egy szabadon eső test átlagsebességét az esés kezdetétől számított t=3 másodperc utáni t=0,1 másodpercben! (k=4,905 m/s2)

A szabadon eső test sebessége A sebességfogalom általánosítása. Ha a test a t időpillanatot követő t időközben a s útszakaszt teszi meg, akkor a test átlagsebessége a t-től t+ t-ig terjedő időközben: Ha t→0, akkor vátl. →2kt A szabadon eső test pillanatnyi sebessége a t időpillanatban: azaz az idővel arányosan növekszik.

A szabadon eső test gyorsulása (Milyen gyorsan nő a szabadon eső test sebessége?) Számítsuk ki egy szabadon eső test sebességváltozásának a gyorsaságát az esés kezdetétől számított 1., 2., 3. és 4. másodpercben!

A szabadon eső test gyorsulása A sebesség időbeli változását jellemezhetjük a t idő alatti v sebességváltozás és t hányadosával. A szabadon eső test gyorsulása időben állandó. Ezt a gyorsulást nehézségi gyorsulásnak nevezzük. (a mi szélességi körünkön és a tengerszinten)

A szabadesés törvényei A t idő alatt megtett út: A sebesség a t időpontban: A gyorsulás: s út megtételéhez szükséges idő ….. s magasságból földre érő test végsebessége …. A mozgás kinematikai mozgásegyenlete a függ a koordinátarendszer választástól.

Gyakorló feladat Szabadon eső test sebessége egy pontban 2 m/s, egy másik pontban 4 m/s. Mekkora a két pont távolsága?

Egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás törvényei A t idő alatt megtett út: A sebesség a t időpontban: A gyorsulás: A mozgás kinematikai mozgásegyenlete a függ a koordinátarendszer választástól.

Gyakorló feladat Egy gépkocsi álló helyzetből 15 s alatt egyenletesen gyorsult fel 108 km/h sebességre. Mekkora volt a gépkocsi gyorsulása? Mekkora úton gyorsult fel a gépkocsi?

Egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás általános esete

Gyakorló feladat Egyenes vonalú pályán állandó gyorsulással mozgó test sebessége 216 m út megtétele után a kezdeti érték ötszörösére nőtt, s eközben 12 s idő telt el. Mekkora volt a test kezdősebessége? Mekkora volt a test gyorsulása?

Függőleges hajítások Mekkora kezdősebességgel dobták fel függőlegesen a földről azt a testet, amely 4 s múlva ér vissza a földre?

A sebesség tetszés szerinti egyenes vonalú mozgásoknál A pályát x-tengelynek választva a pontszerű test mozgását az x=x(t) függvény írja le. Ha t→0, akkor vátl. egy meghatározott határértékhez közeledik, amely már csak az időnek a függvénye.

A sebesség tetszés szerinti egyenes vonalú mozgásoknál A szóban forgó határérték az x=f(t) görbe t abszcisszájú pontjához tartozó érintő iránytangense, amelyet a matematikában az x=f(t) függvény t szerinti differenciálhányadosának, vagy deriváltjának nevezik, és dx/dt-vel vagy f’(t)-szel jelölik.

Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha…

Mekkora a test sebessége t=2s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2s-nál, ha…

Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha…

Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha…

Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha…

Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha…

Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha…

Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha…

Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha… Deriválási szabályok Mekkora a test sebessége t=2 s-nál, ha…

Deriválási szabályok a Segédletben

A gyorsulás tetszés szerinti egyenes vonalú mozgásoknál Átlagos gyorsulás Ha t→0, akkor ax,átl. egy meghatározott határértékhez, a pillanatnyi gyorsuláshoz közeledik. Egyenes vonalú mozgásoknál a gyorsulás a mozgó pont vx sebességének idő szerinti differenciálhányadosa, vagy az x koordináta idő szerinti második differenciálhányadosa.

Összefoglalva

Gyakorló feladat Egy test kitérés-idő függvénye SI egységekben x(t)= t4-3·t2+1. Mekkora a gyorsulása a t=3s időpontban?

A v(t) grafikon alatti területről A sebesség-idő grafikon és a t tengely közti terület a t1 ill. t2 időpontok között megegyezik a t1,t2 intervallum alatti elmozdulással.

Gyakorló feladat Egy test egyenes mentén mozog és sebessége v(t)=6t-2. Mekkora az elmozdulása 0 és 3 s között?

A v(t) grafikon alatti területről A sebesség-idő grafikon és a t tengely közti terület a t1 ill. t2 időpontok között megegyezik a t1,t2 intervallum alatti elmozdulással.

A sebesség általános definíciója Az anyagi pont helyét megadhatjuk a vonatkoztatási pontból az anyagi ponthoz húzott r helyvektorral, így annak mozgását leírhatjuk az r=r(t) függvénnyel. A test pillanatnyi sebessége a helyvektor idő szerinti differenciálhányadosa. A sebesség iránya mindig a pálya érintőjének iránya.

A gyorsulás általános definíciója Általában a mozgó test sebessége mind nagyság, mind irány szerint változik az idővel. A gyorsulásvektor a sebességvektor idő szerinti differenciálhányadosa. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás kivételével minden mozgás gyorsuló mozgás.

Az anyagi pont mozgása Az anyagi pont legáltalánosabb mozgása felbontható három egyenes vonalú mozgásra, az anyagi pont koordinátatengelyekre való vetületeinek mozgására.

Konkrét számításoknál általában a vektorkomponensekkel dolgozunk. Az anyagi pont mozgása Konkrét számításoknál általában a vektorkomponensekkel dolgozunk.

A vízszintes hajítás

A vízszintes hajítás A vízszintesen hajított test mozgása összetehető egy vízszintes egyenes menti egyenletes mozgásból és egy függőleges irányú szabadesésből.

A vízszintes hajítás A vízszintesen hajított test mozgása összetehető egy vízszintes egyenes menti egyenletes mozgásból és egy függőleges irányú szabadesésből.

Gyakorló feladat Mekkora kezdősebességgel kell egy testet 1,8 m magasságban vízszintesen elhajítani, hogy a test 6 m távolságban érjen talajt? Mekkora a becsapódási sebesség és milyen szöget zár be a vízszintessel?

A ferde hajítás A pálya egyenlete

A ferde hajítás Az emelkedés ideje A hajítás magassága A hajítás időtartama A hajítás távolsága

- Átlag +

Gyakorló feladat 20 m magas ház tetejéről 12 m/s nagyságú sebességgel 300-os szögben elhajítunk egy testet. Mennyi idő múlva és a háztól milyen messze éri el a talajt?

A kör középpontja felé irányul. Egyenletes körmozgás Az anyagi pont a körpályán egyenlő időközök alatt egyenlő utakat tesz meg. iránya változik Gyorsulás: Centripetális gyorsulás A kör középpontja felé irányul.

 szögsebesség a helyvektor időegységre eső elfordulása Egyenletes körmozgás Síkbeli polárkoordinátákkal  szögsebesség a helyvektor időegységre eső elfordulása

Egyenletes körmozgás Kerületi sebesség

Egyenletes körmozgás Keringési idő Fordulatszám, frekvencia Körfrekvencia Centripetális gyorsulás

Gyakorló feladat Egy centrifugában az anyagminta percenként 300-as fordulatszámmal 25 cm sugarú körpályán mozog. Mekkora a kerületi sebesség? A gyorsulás hányszorosa a nehézségi gyorsulásnak?

Egyenletesen gyorsuló mozgás Egyenletesen gyorsuló körmozgás

Általános egyenes vonalú mozgás Általános körmozgás

Milyen mozgást láthatunk?