Kristályok szimmetriái

Mexico Naica barlang

Szerkezetek: RÁCS

Szerkezetek: RÁCSRECIPROK RÁCS

Szerkezetek: RÁCSRECIPROK RÁCS

RÁCSRECIPROK RÁCS Wigner-Seitz cella A reciprok rács Wigner-Seitz celláját Brillouin-zónának nevezik Brillouin zóna

Kristályok szimmetriái Szimmetriaoperációk:pontcsoport, tércsoport pont  pont transzformáció távolságok, szögek nem változnak (merev ) Schoenflies jelölés forgatás Nemzetközi jelölés főtengelyre merőleges síkra tükrözés főtengelyt tartalmazó síkra tükrözésforgatva tükrözés legalább egy pont helyben marad (nincs transzlációs szimmetria felhasználva) Pontcsoport műveletek Rendelkezik az S 6 szimmetriával, ugyanakkor a C 6 és a  h nem tulajdonsága Szemléltetés (PF 3 Cl 2 molekula) főtengely ‘ tengely szimmomorf műveletek ?

Kristály – diszkrét transzlációs szimmetria Bizonyítás : Tétel: a diszkrét transzlációs szimmetria csak n = 2,3,4 és 6 fogású forgási szimmetriát enged meg egész szám csúszva tükrözés csavarva forgatás olyan szimmetriaműveletek, melyek a rácsnak nem szimmetriái, de a végtelen kristálynak már igen (a transzformált bázis részben átfed önmagával) nem szimmomorf műveletek csúszósík a/2a/2a/2a/2 a/4 forgástengely eltolás frakcionális rácsvektorral, majd tükrözés eltolás frakcionális rácsvektorral, majd forgatás Tércsoport műveletek: a kristály összes szimmetriaműveletei (tartalmazzák a pontcsoport elemeit is)

Maurits Cornilius Escher (1898,1972)

M.C. Escher: Fish/Duck/Lizard (1948) 2π/3

Kristálytani definiciók (3 dimenzióban) Kristály: diszkrét transzlációs szimmetriát mutató szilárd test Kristályrács: a tér egy pontjából a szimmetriaműveletekkel generált pontok halmaza (matematikai absztrakció) Kristályrendszer: eltolás + 1 definiáló szimmetria Bázis: a legkisebb atomcsoport, amin a szimmetria- műveletek végrehajtásával a kristály előállítható tükrözés derékszögű kristályrendszer 73 szimmomorf tércsoport nem szimmomorf tércsoport 230 Tércsoport: az összes szimmetriműveletek halmaza (ennek „része” a pontcsoport) Bravais rácsok: a kristályrendszer elemei – osztályzás szögek és élhosszak szerint (azonos kristályrendszerben is lehetnek eltérő Bravais rácsok) A gömbszimmetrikus bázis tércsoport szimmetriái.

Kétdimenziós kristályrendszerek ferdeszögű Nem jelent megszorítást Definiáló szimmetria Bravai rács (5 db)Kristályrendszer (4 db) Két-dimenzióban mivel a + b is rácsvektor hexagonálisnégyzetes tükörsík derékszögű primitív centrált n páros  primitív n páratlan  centrált Bravais cella nem elemi cella, de tükrözi a kristály szimmetriáját

Kétdimenziós tércsoportok bázis pontcsoport 2 dimenziós kristály szimmetriái Bravais rácstércsoport (nem 5x10, hanem csak 17) derékszögű P1 a bázis elrontja a rács szimmetriáját P1m primitív + 1 tükörszimmetria centrált + 1 tükörszimmetria C1m P2mm C2mm primitív + 2 tükörszimmetria centrált + 2 tükörszimmetria ferdeszögű P1 csak transzlációs P2 C 2 szimmetria derékszögű primitív centrált 1 tükörsík 2 tükörsík 1 tükörsík 2 tükörsík kristályrendszer 4db Bravais rács 5 db tércsoport 17 db Bázis szimmetriái nincs tükörszimmetria van tükörszimmetria

3 dimenziós kristályrácsok Triklin Definiáló szimmetria Bravais rács (14 db) Kristályrendszer (7 db) inverzió vagyMonoklin vagyOrtorombos vagyTetragonális Köbös Hexagonális vagy Trigonális vagy bccfcc

Aquamarine Be 3 Al 2 Si 6 O 8

Dravite (Tourmaline) NaMg 3 Al 6 Si 6 O 18 (BO) 3 (OH) 4 Sodium Magnesium Boro-Aluminium Silicate

Al 86 Mn 14 Kvázikristály

Ötfogású szimmetria? A diszkrét transzlációs szimmetria csak 2,3,4 és 6-fogású forgási szimmetriát enged meg! Penrose-lefedés a sík lefedése két rombusszal (területarány 1.618… irracionális) Nem tesz eleget a diszkrét transzlációs szimmetriának, hanem csak „kváziperiódikus” Kvázikristályok Al 86 Mn 14 ötvözet Röntgen diffrakciós felvétele n, m, p, q, r nem vehet fel tetszőleges egész szám értéket (az e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 vektorok nem lineárisan függetlenek) ötfogású lokális szimmetria nem periodikus térkitöltés a lefedés iránymegőrző

Nem kristályos anyagok szórása homogén anyagra Radiális eloszlásfüggvény, (definició) hány atom található r távolságon belül r dr Párkorrelációs függvény, (definició) Homogén anyag Kristály első szomszéd második szomszéd harmadik szomszéd távolsága i-edik szomszédok száma

Nem kristályos anyagok szórása r Párkorrelációs függvény, (definició) Homogén anyag Kristály g(r) r amorf anyag fémüveg folyadék Radiális eloszlásfüggvény, (definició): atomok száma található r távolságon belül

Szóráskísérlet Fourier transzformálva A szórt intenzítás a párkorrelációs függvény Fourier-transzformáltja! A jelölés bevezetésével g(r) r Matematikai leírás: