Gazdaságstatisztika Gazdaságstatisztika Korreláció- és regressziószámítás II.

Gazdaságstatisztika Hol járunk? 2

Gazdaságstatisztika 3 A kétváltozós lineáris regressziós modell paramétereinek intervallumbecslése

Gazdaságstatisztika 4 A lineáris regressziós modell eredményeinek ellenőrzése: hipotézisvizsgálatok

Gazdaságstatisztika 5 A paraméterek szeparált tesztelése

Gazdaságstatisztika 6 A paraméterek szeparált tesztelése

Gazdaságstatisztika 7 A paraméterek együttes tesztelése

Gazdaságstatisztika 8 A paraméterek együttes tesztelése

Gazdaságstatisztika 9 Példa

10 Példa: grafikus ábrázolás

Gazdaságstatisztika A paraméterek becslései: Az alapterületek átlagos nagysága a minta alapján: Az eladási árak átlagos nagysága a minta alapján: 11 Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése

Gazdaságstatisztika 12 Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése Lakás sorszáma Eladási árAlapterületdydy dxdx dxdydxdy dx2dx2 124,883-25,0-77,21926,75957, ,8-72,21137,85210,2 340,6117-9,2-43,2395,71864,7 440,8120-9,0-40,2360,21614,6 545,8177-4,016,8-66,7282,9 647,6164-2,23,8-8,314,6 750,21860,425,811,3666,6 852,11922,331,874,31012,4 956,31916,530,8201,4949,8 1074,923325,172,81830,45302,5 1180,321130,550,81551,82582,5 Össz.547, ,825457,6 Átlag 49,8160,2

Gazdaságstatisztika A táblázatban szereplő értékek alapján: A regressziós egyenes egyenlete: A paraméterek közül a meredekségi paraméter jelentése az, hogy négyzetméterenként átlagosan 0,291 mFt-tal ( Ft-tal) nő az eladási ár. A tengelymetszet-paraméter jelentése az, hogy modellünk szerint a 0 négyzetméteres lakások ára 3,18 millió Ft. E paraméter kapcsán fontos kiemelni, hogy nem lehet neki minden esetben tárgyi jelentést tulajdonítani! 13 Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése

Gazdaságstatisztika A rugalmassági együttható:  Ez minden x esetében más és más értéket ad. Ha rögzítjük az x értékét valamilyen szinten (pl. 60 négyzetméterben), akkor az elaszticitás egy konkrét értékét kapjuk eredményként Elaszticitás x=60 esetén:  Ez azt jelenti, hogy ha a 60 négyzetméteres szintről kiindulva 1%- kal növeljük a területet, akkor az eladási ár átlagosan 0,84 6%-kal nő. 14 Példa: rugalmassági együttható

Gazdaságstatisztika Az elemzés következő lépése, hogy kiszámítjuk a regressziós egyenes pontjainak értékét, majd a megfigyelt és a becsült értékek különbözeteként a reziduumokat. 15 Példa: regressziós egyenes pontjainak és a reziduumok meghatározása Lakás sorszáma Eladási árAlapterületdydy dxdx dxdydxdy dx2dx2 dy2dy2 ŷŷ eiei 124,883-25,0-77,21926,75957,0623,227,3 2, ,8-72,21137,85210,2248,528,8 -5,2 340,6117-9,2-43,2395,71864,784,037,2 -3,4 440,8120-9,0-40,2360,21614,680,338,1 -2,7 545,8177-4,016,8-66,7282,915,754,7 8,9 647,6164-2,23,8-8,314,64,750,9 3,3 750,21860,425,811,3666,60,257,3 7,1 852,11922,331,874,31012,45,559,1 7,0 956,31916,530,8201,4949,842,758,8 2,5 1074,923325,172,81830,45302,5631,871,0 -3,9 1180,321130,550,81551,82582,5932,564,6 -15,7 Össz.547, ,825457,62669,1 Átlag 49,8160,2

Gazdaságstatisztika Az empirikus lineáris korrelációs együttható. Az eredmény azt mutatja, hogy a vizsgált két változó között meglehetősen szoros, pozitív irányú kapcsolat tapasztalható. A korrelációs együttható értéke közel áll a +1-hez, ami arra utal, hogy a regressziós egyenes jól illeszkedik a megfigyelési pontokhoz. 16 Példa: empirikus lineáris korrelációs együttható számítása

Gazdaságstatisztika SST=2669,1SSR=2155,6SSE=509,5 (Az értékek eltérései a korábbi egy tizedesre történő kerekítésekből adódnak.) 17 Példa: A teljes eltérésnégyzet-összeg felbontása Lakás sorszáma Eladási árAlapterületdy2dy2 ŷiŷi eiei y ̂ i - y ̅ (y ̂ i - y ̅ ) 2 ei2ei2 124,883623,227,3 2,5-22,4503,16, ,528,8 -5,2-21,0440,027,2 340,611784,037,2 -3,4-12,5157,211,4 440,812080,338,1 -2,7-11,7136,07,3 545,817715,754,7 8,94,924,279,0 647,61644,750,9 3,31,11,310,9 750,21860,257,3 7,17,556,950,5 852,11925,559,1 7,09,386,348,3 956,319142,758,8 2,59,081,06,1 1074, ,871,0 -3,921,2450,315,3 1180, ,564,6 -15,714,8219,6247,1 Össz.547, ,1 0,02155,8509,5 Átlag 49,8160,2

Gazdaságstatisztika A regressziós becslés során elkövetett hiba:  Ez önmagában azt jelenti, hogy az egyes lakások ára átlagosan mintegy 7,5mFt-tal tér el attól, amit a regressziós modellel becsülni tudnánk. A paraméterek standard hibái: Ha megbízhatóságot 95%-os szinten rögzítjük, akkor, a keresett konfidencia intervallumok: 18 Példa: a regressziós függvény paramétereinek intervallumbecslése

Gazdaságstatisztika 19 Példa: a regressziós függvény paramétereinek szeparált tesztelése

Gazdaságstatisztika 20 Példa: a regressziós függvény paramétereinek szeparált tesztelése

Gazdaságstatisztika 21 Példa: a regressziós függvény paramétereinek együttes tesztelése A variancia forrása NégyzetösszegSzabadságfok Átlagos négyzetösszeg F RegresszióSSR=2155,81 MaradékSSE=509,5n-2=11-2=9 TeljesSST=2665,3n-1=10

Gazdaságstatisztika Gazdaságstatisztika NÉHÁNY GONDOLAT A NEM LINEÁRIS REGRESSZIÓRÓL

Gazdaságstatisztika 23 Kétváltozós, nem lineáris regresszió

Gazdaságstatisztika 24 Kétváltozós, nem lineáris regresszió

Gazdaságstatisztika Gazdaságstatisztika GYAKORLÓ FELADATOK A KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS TÉMAKÖRÉBŐL

Gazdaságstatisztika 1. Feladat Egy vállalat havi árbevétele (x) és havi üzleti eredménye (y) közötti kapcsolat egy 10 elemű minta alapján az y = -9+0,1x lineáris regressziós függvénnyel írható le. A mintában az árbevétel korrigált empirikus szórása 9,8 millió Ft, az üzleti eredményé 1,1 millió Ft.  a.) Értelmezze a regressziós egyenes meredekségét!  b.) Határozza meg az árbevétel és az üzleti eredmény közötti determinációs együtthatót, és értelmezze az eredményt! 26

Gazdaságstatisztika 1. Feladat - megoldás  a.) A regressziós egyenes: y = -9+0,1x. Ennek meredeksége 0,1. Ez azt jeleneti, hogy az árbevétel egységnyi növekedése az üzleti eredmény átlagosan 0,1 egységnyi növekedését vonja maga után.  b.) Az árbevétel (x) és az üzleti eredmény (y) közötti determinációs együttható meghatározása Egyrészt a determinációs együttható: Másrészt a regressziós egyenes meredeksége: Ez utóbbi két összefüggésből a determinációs együttható: 27

Gazdaságstatisztika 1. Feladat - megoldás A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: A determinációs együttható: A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) teljes változékonyságát mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x) a regresszión keresztül. Esetünkben ez azt jelenti, hogy az üzleti eredmény változékonyságát 79,37%-ban magyarázza az árbevétel. 28

Gazdaságstatisztika 2. Feladat Teherhajók tömege (x) és kirakodási idejük (y) között a tapasztalati lineáris korrelációs együttható értéke egy 10 elemű minta alapján 0,87. A mintában a hajótömegek korrigált tapasztalati szórása 7,2 tonna, a kirakodási időé 2,1 óra.  a.) Hány %-ban magyarázza a kirakodási idő varianciáját a teherhajók tömege?  b.) Adja meg a kirakodási idő és a hajótömeg közötti regressziós egyenes meredekségét! 29

Gazdaságstatisztika 2. Feladat - megoldás  a.) A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) teljes változékonyságát mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x) a regresszión keresztül. Esetünkben a korrelációs együttható értéke 0,87. Ennek négyzete 0,7569 a determinációs együttható értéke, azaz a kirakodási idő varianciájának 75,69%-át magyarázza a teherhajók tömege.  b.) A regressziós egyenes meredekségének meghatározása: Egyrészt a regressziós egyenes meredeksége: Másrészt a korrelációs együttható: Ez utóbbi két összefüggésből a regressziós egyenes meredeksége: 30

Gazdaságstatisztika 2. Feladat - megoldás A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: A regressziós egyenes meredekségéről tudjuk, hogy A teherhajók tömegének 1 egységnyi növekedése a kirakodási idő átlagosan 0,254 egységnyi növekedését eredményezi. 31