Pázmány Péter Katolikus Egyetem ITK Központi Alapok Program

Szakköri feladatok II. Kombinatorika Gráfok Tassy Gergely Veres Péter Gimnázium Budapest

Célok, feladattípusok  „korosztályfüggetlenség” (felső tagozat - egyetem)  a próbálkozástól az általánosításig  felfedeztetés, kísérletezés (szakkörön / otthon)  egy-egy probléma továbbgondolása  néhány klasszikus feladat  a tananyagon túlmutató témák, érdekességek  hasznos trükkök, szép ötletek  versenyfeladatok, nehezebb feladatok

Kombinatorika „klasszikus” 1. Hányféleképpen olvasható ki az alábbi ábráról a PAPRIKAJANCSI szó, ha mindig a bal felső sarokból kell indulnunk, és minden lé­pésünk csak jobbra vagy lefelé történhet?

Kombinatorika „klasszikus” megoldás: „beírós” módszer 2. megoldás: az általánosítás felé 7 jobbra és 5 lefelé lépés

Kombinatorika „klasszikus” 2. Hányféle módon lehet felmenni egy 25 lépcsőfokból álló lépcsőn, ha mindig csak 2-t vagy 3-at léphetünk felfelé? (Két feljutás különböző, ha van legalább egy olyan lépcsőfok, amelyre az egyik feljutásban rálépünk, de a másikban nem.) Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015; haladók, II. kategória, 1. forduló

Kombinatorika „klasszikus” megoldás: rekurzió (a i = i-edik lépcsőfokra hányféleképpen juthatunk fel) 2. megoldás: a-szor lépünk 2-t, b-szer 3-at

Kombinatorika „a tananyagon túl” 1. Egy cukrászdában 15-féle sütemény kapható, mindegyikből kellően sok. Szeretnénk 10 db süte­ ményt venni úgy, hogy ne legyen mind csupa különböző. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? Megoldás: „összes – rossz”

Kombinatorika „a tananyagon túl” 2. Hányféleképpen írhatjuk fel a 2015-öt néhány (egy vagy több) pozitív egész szám összegeként, ha az összeadandók sorrendje is számít? 1. megoldás: próbáljuk meg kisebb számokra sejtés: k felírása 2 k-1 -féleképpen 2. megoldás: 2015 cm hosszú szalag + olló 2014 helyen vághatunk, így lehetőség

Kombinatorika „a tananyagon túl” ember színházba ment, ahol mindegyikük leadta a kabátját a ruhatárba (a kabátok mind külön­ bözőek). A szórakozott ruhatáros összecserélte a kiadott sorszámokat, és az előadás végén úgy ad­ta vissza a kabátokat (minden embernek egyet-egyet), hogy senki sem a saját kabátját kapta vissza. Hányféle különböző módon kaphatták vissza a kabátokat? (A visszaadás sorrendje nem számít.)

Kombinatorika „a tananyagon túl” 3. Ötletes szita-módszer: (A i : azon szétosztások, ahol az i-edik ember a sajátját kapja)

Kombinatorika felépítés: Catalan-számok 1. Nyolc ember sorban áll a mozi jegypénztárában. A jegy 1000 Ft-ba kerül, a kasszában kezdetben nincsen váltópénz. Négy ember 1000 Ft-ossal, négy ember 2000 Ft-ossal fizet – ez utóbbiaknak csak akkor tud a pénztáros visszaadni, ha kellő számú 1000 Ft-ossal fizettek már. Hányféle sor­rendben vehetnek jegyet az emberek úgy, hogy mindenki tudjon fizetni? (Az embereket nem kü­lönböztetjük meg.) Megoldás: 14 eset, egyesével összeszámolható

Kombinatorika felépítés: Catalan-számok 2. Hányféleképpen helyezhetünk el 5 zárójelpárt a szorzatban úgy, hogy a műveletek elvégzésekor mindig egy zárójelen belüli két tényezőt kell összeszoroznunk? Például: Hányféleképpen lehet egy konvex hatszöget egy- mást nem metsző átlóival háromszögekre bontani?

Kombinatorika „nehéz” 1. Határozzuk meg zárt alakban a következő kifejezés értékét: Megoldás: kettős leszámlálás: n piros és n kék golyóból kell kiválasztani n darabot

Kombinatorika „nehéz” 2. Adott a következő halmaz: Ebből szeretnénk kiválasztani Annának egy A és Beának egy B nem üres részhalmazt úgy, hogy ezeknek ne legyen közös eleme. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? 1. megoldás:

Kombinatorika „nehéz” megoldás: minden elem 3 helyre mehet (A, B, egyik sem) lehetőség, ebből rossz: A, B valamelyike üres A üres: B üres: mindkettő üres: 1

Gráfok „klasszikus” 1. Lerajzolhatók-e az alábbi ábrák egy vonallal, a ceruzánk felemelése nélkül úgy, hogy minden vo­ nalon pontosan egyszer haladhatunk át?

Gráfok „klasszikus” 1. Megoldás: az első igen, például: A – B – C – D – E – A – D – B – E A második nem, mert a hatszög minden csúcsából 5 (páratlan) él indul ki, de a lerajzolás kezdő- és végpontját leszámítva (ha ezek különbözők) minden további pontot páros alkalommal kellene érinteni. Általánosítás: Euler-körséta (létezés feltétele)

Gráfok „klasszikus” 2. Legyen G egy tetszőleges 6 pontú egyszerű gráf. Igaz-e, hogy G vagy G komplementere biztosan tartalmaz háromszöget? Kürschák József Matematikai Tanulóverseny Átfogalmazás: Egy 6 pontú teljes gráf minden élét pirosra vagy kékre színeztük. Igaz-e, hogy biztosan tartalmaz a gráf olyan háromszöget, amelynek minden olda­la azonos színű?

Gráfok „klasszikus” 2. Megoldás: az A csúcsból 5 él indul ki, van közöttük 3 egyforma, pl. AB, AC, AD pirosak ha B, C, D között megy piros él: piros háromszög (pl. A-B-C-A) ha B, C, D között nem megy piros él: kék háromszög (B-C-D-B) Általánosítás: Ramsey-témakör Pl. 17 pont, 3 színnel, lesz egyszínű háromszög

Gráfok „a tananyagon túl” 1. Bizonyítsuk be, hogy egy összefüggő gráfban mindig van olyan pont, amelynek elhagyása esetén is összefüggő marad a gráf. Megoldás: a gráf vagy eleve fa, vagy elhagyhatók belőle úgy élek, hogy (a gráf minden pontját tartalmazó) fát kapjunk [feszítőfa]. Az így kapott fában van elsőfokú pont, ezt elhagyva összefüggő marad a gráf.

Gráfok „a tananyagon túl” 2. Egy fában csak két különböző fokszám fordul elő: az egyik fajta 9-szer, a másik 92-szer. Mi a szóban forgó két fokszám? BME zárthelyi feladat Megoldás: 100 él, a fokszámok összege 200 a két fokszám 1 és a a nem egész a = 12 (kell még: van ilyen fa)

Gráfok „a tananyagon túl” 3. Egy internetszolgáltatónak öt város között négy egyenes vezetékszakaszból álló hálózatot kell kiépítenie úgy, hogy az elektromos jel a vezetékeken bármelyik városból bármelyik városba eljus­son (a vezetékszakaszok mindig két várost kötnek össze). A városok elhelyezkedése olyan, hogy semelyik három nem esik egy egyenesbe. Hány különböző hálózat építhető, ha a szigetelt vezeté­kek keresztezhetik egymást? Zrínyi Ilona Matematikaverseny 2007; 7. osztály

Gráfok „a tananyagon túl” 3. Megoldás: 5 különböző pont összekötése fává 5 eset5! / 2 = 60 eset5! / 2 = 60 eset Összesen 125 lehetőség. Általánosítsunk 5 helyett n városra! Sejtés: n város esetén n n-2 lehetőség (Cayley-tétel, szénhidrogén-láncok)

Gráfok „nehéz” 1. Felsorolhatóak-e az n-hosszú 0-1 sorozatok úgy, hogy mind a 2 n elemet pontosan egyszer írjuk le, és bármely elem utolsó n-1 karaktere megegyezzen a következő elem első n-1 karakterével? Megoldás: Igen, ehhez 2 n-1 csúcsú irányított gráf pl. n=5: sorozatnak megfelel a 0110 csúcsból az 1101 csúcsba mutató él A gráfban létezik irányított Euler-séta (összefüggő, minden csúcsnál 2 beél és 2 kiél)

Gráfok „nehéz” 2. Egy 3×3-as sakktábla négy sarkában két világos és két sötét huszár (ló) áll úgy, hogy az azonos színű huszárok átellenes mezőkön tartózkodnak. A huszárokkal a sakkban megszokott módon lép­ hetünk, úgy, hogy egy mezőn sosem állhat egyszerre egynél több figura. Elérhető-e ilyen módon az, hogy a huszárok ismét a tábla négy sarkában álljanak, de az átellenes sarkokban különböző szí­nű huszárok tartózkodjanak? (nincs szó a feladatban gráfról!)

Gráfok „nehéz” 2. Megoldás: készítsünk gráfot a feladatból!

Gráfok „nehéz” 2. A bal oldaliból nem lehet eljutni a jobb oldaliba világos-sötét-világos-sötétsötét-sötét-világos-világos Tehát nem lehetséges a kívánt helycsere.

Gráfok „nehéz” 3. A törpék 100 fős falujában influenzajárvány ütötte fel a fejét. Az első napra néhány törpe megbetegedett. A betegség egy napig tart, a következő napon a törpe immunis (tehát nem fertőződik meg), a harmadik naptól kezdve pedig újra egészséges (de innentől újra megfertőződhet). Minden nap minden egészséges törpe meglátogatja minden beteg barátját (a barátság kölcsönös), és elkapja a betegséget (ezáltal ő a következő napon beteg lesz). Bizonyítsuk be, hogy véges sok nap elteltével minden törpe egészséges lesz.

Köszönöm a figyelmet!