A TŐKEKÖLTSÉG Tőkepiac: pénzt cserélünk pénzre  Pl. pénzt adok egy vállalatnak valamilyen jövőbeli (várható) kifizetésekért cserébe Az elcserélt pénzek különböznek  Időtáv  Kockázatosság Célunk e részben: a tőkepiaci árfolyamok modelljének (Capital Asset Pricing Model, CAPM) levezetése Modell – mennyire hűen írja le a valóságot?

Emlékezzünk: kockázat: valamitől való eltérés lehetősége Ha ugyanakkora valószínűséggel jó és rossz is lehet, akkor miért nem szeretjük? A várható érték és várható hasznosság különbözősége  Várható érték: matematikai, pénzbeli érték  De a pénzhez hasznosság tartozik, minket pedig ez érdekel, eszerint döntünk! Miért lesz más a hasznossági célfüggvény?  A csökkenő határhaszon elve → kockázatkerülés Kockázat és hasznosság

Kockázat és szubjektív valószínűség Van képletünk – ilyen egyszerű lenne a dolog? Mennyire ismerjük a valószínűségeket?  Pl. négyest dobunk vs. beruházás hozama 18% és 20% között lesz?  Nem ismerünk minden lehetséges kimenetelt és azok valószínűségeit → bizonytalanság  Ismerjük a lehetséges kimeneteleket és valószínűségeiket → kockázatosság Pénzügyekben leginkább bizonytalanság, de képletünk csak kockázatos helyzetre alkalmas „Kipótoljuk” a hiányzó valószínűségeket  Statisztika (relatív gyakoriság, múlt) → objektív valószínűség  Szubjektív becslés → szubjektív valószínűség Mennyire használható? – Pl. a múltból a jövőre?

A hozam és a kockázat összekapcsolása (I.) A kockázat matematikai megragadása: szórás Sok, egymástól független hatás (valószínűségi változó) eredője: normális eloszlás – ezt feltételezzük a pénzügyekben  Két paramétere: várható érték és szórás Ha a pénzáramok kockázatosak, akkor a hozamok is, ugyanolyan jellegű eloszlással Tegyük egy modellbe az eddigieket:  Várható hasznosság maximalizálása  Csökkenő határhasznosság  Várható hozam  Szórás  Normális eloszlás

A hozam és a kockázat összekapcsolása (II.) Azonos várható hasznosságú pénzösszegek (egy adott, kockázatkerülő befektetőre)

A hozam és a kockázat összekapcsolása (III.) A közömbösségi görbe

A hozam és a kockázat összekapcsolása (IV.) Várható hozam – szórás preferencia-térkép két kockázatkerülő befektetőre

A hozam és a kockázat összekapcsolása (V.) Többféle befektető lehetséges: kockázatkerülő (a), kockázatközömbös (b), kockázatkedvelő (c)

Várható hozam – szórás kapcsolat analitikusan: A: kockázatkerülési együttható A kockázatot a matematikai szórással azonosítjuk A hozamokat normális eloszlásúnak feltételezzük Kockázatkerülést tételezünk fel A hozam és a kockázat összekapcsolása (VI.)

Neumann–Morgenstern-féle hasznosságfüggvény Empirikus előállítása: Példa:  Ft hasznossága legyen -100 és 0 Ft-é pedig 0  Jelenleg 0 Ft-unk van  Milyen p valószínűséggel mennénk még éppen bele egy olyan játékba, hogy p: nyerek 1000 Ft-ot, (1-p): vesztek 1000 Ft-ot (0~A(1000,-1000,p))  U(0)=p*U(1000) + (1-p)*U(-1000)  Legyen p=0,6 ekkor: Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (I.)

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (II.) Végül empirikusan pl. ilyen függvény áll elő: Fontos: ez csakis egy adott emberre jellemző, ráadásul közvetlenül nem is összemérhető másokéval, a függvényértékek önmagukban semmit nem mondanak

Tegyük fel, hogy ismerjük valaki hasznosságfüggvényét, ami az alábbi: Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (III.) Induló vagyona legyen 10 ezer$

Nézzünk meg egy döntési helyzetet! 50% valószínűséggel nyerhet vagy veszíthet 5 ezer $-t  Várható nyeremény: 0  Jelenlegi hasznossági szint: 2,30  Várható hasznosság a befektetés esetén:  Várhatóan hasznosságvesztéssel jár, nem fektet be Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (IV.)

Kiszámítható, hogy a 2,16 hasznosságértékhez 8,67 ezer $ vagyon tartozik A befektetés tehát felfogható 10 – 8,67 = 1,33 ezer $ biztos elvesztésének Ez a -1,33 ezer $ a befektetés biztos egyenértékese (certainty equivalent, CE) Definíciószerűen: az az összeg, amely ugyanazt a hasznosságváltozást eredményezi biztosan, amit a kockázatos befektetés várhatóan Adott emberre vonatkozik Akkor fektet be, ha CE>0 Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (V.)

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (VI.) Nézzük ugyanezt a befektetést, csak most a nyerés esélye 80%, a vesztésé 20%! A matematikai várható érték E(X) = 3 ezer A biztos egyenértékes CE = 2,06 ezer Várható hasznosság szempontjából tehát megegyező a biztos 2,06 ezer és a kockázatos 3 ezer A kettő különbsége 0,94 ezer, ez a kockázati prémium (risk premium, RP), amit a kockázat vállalásáért kompenzációként vár el a befektető:

A preferencia-térképen ábrázolva: Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (VII.) Ahol CE(r i ) kockázatmentes hozam-egyenértékes, RP(r i ) kockázati hozamprémium, másként E(r i ) – CE(r i )

Hatékony portfóliók tartása (I.) Láttuk: egy befektetésnek van valamilyen várható hozama és kockázata Csökkenthető-e a kockázat úgy, hogy a várható hozam nem változik?  Ha igen, és költségmentesen, akkor nyilván élni fogok ezzel a lehetősséggel Modern portfólióelmélet (Modern Portfolio Theory, MPT)  Harry Markowitz, ’50-es évek, később Nobel-díj Portfólió: befektetésekből álló „csomag”

Hatékony portfóliók tartása (II.) Kombináljuk a különféle befektetési lehetőségeket! Diverzifikáció: a tőkénk megosztása több befektetési lehetőség között (~portfólió kialakítása) A portfólió nem szimplán csak az egyedi befektetések összessége  A várható hozama nem, viszont a szórása függ az egyes elemek sztochasztikus kapcsolataitól! Normális eloszlás, E(r i ), σ(r i )

Egy n elemből álló P portfólióra a várható érték: Hatékony portfóliók tartása (III.) A portfólió szórása:

Nézzük meg n=2-re: És n=3-ra is: Hatékony portfóliók tartása (IV.)

Hatékony portfóliók tartása (V.) Tetszőleges n elemű portfólió – mi van, ha minden korreláció 1 (teljes függőség van)? A portfólió szórása ekkor tehát az elemek szórásainak súlyozott átlaga

Hatékony portfóliók tartása (VI.) Ugyanez, csak n db egyformán „átlagos” szórású elemre: Természetesen ugyanazt kaptuk, mint előbb

Hatékony portfóliók tartása (VII.) Nézzük, mi van, ha minden korreláció 0! Ötlet: írjunk itt is minden szórás helyébe „átlagost”!

Hatékony portfóliók tartása (VIII.) Mi van akkor, ha n → ∞ ?

Hatékony portfóliók tartása (IX.) Ha van negatív korrelációjú tag, akkor kevesebb elemszám esetén is nulla lehet a portfólió szórása  Akár már két elem is elegendő lehet Ha minden tag 0 és 1 közötti korrelációjú, akkor csökken a szórás, de nem nulláig Ha mindenféle korreláció előfordul, akkor lehet nulla, de ha többségében pozitív kapcsolat, akkor valamilyen pozitív értékig csökken csak (a szórás negatív nem lehet!) Általános szabály: ha nincs teljes függőség, akkor nagyobb elemszám → kisebb szórás, és minél kisebb korrelációk, annál „gyorsabban” Cél: úgy kombinálni a befektetési lehetőségeket, hogy minél nagyobb várható hozamhoz minél kisebb szórás

Hatékony portfóliók tartása (X.) Példa: RészvényDanubius (i)Pannonplast (j) Várható hozam (%)2,53,3 Szórás (%)11,417,1

Hatékony portfóliók tartása (XI.) Ábrázoljuk a lehetséges portfóliókat különféle korrelációk esetén: A korrelációk persze a valóságban adottak…

Hatékony portfóliók tartása (XII.) Nézzük meg a három különböző elemből összeállítható portfóliókat (feltüntetve a páronként lehetséges portfó- liókat is): Látható, hogy a három befektetési lehetőség- gel együtt érhető el a legnagyobb szórás- csökkenés…

Hatékony portfóliók tartása (XIII.) Nézzük meg a „világ összes” kockázatos befektetési lehetőségét: Feltételezések: 1) nincsenek szélsőséges hozam-szórás párok, 2) egy adott kockázati szint alatt nincs lehetőség, 3) a szórás nem csökkenthető nulláig Hatékony portfóliók Az adott befektetőnek a B pont maximalizálja a hasznosságát

Hatékony portfóliók tartása (XIV.) Hatékony portfólió: adott várható hozamnál a legkisebb kockázatot, ill. adott kockázatnál a legnagyobb várható hozamot adja (nem diverzifikálható tovább) A kockázat alakulása a diverzifikáltság mértékével:

Hatékony portfóliók tartása (XV.) A különböző preferenciájú befektetők választása: A kockázatkerülési együtthatójuktól függ, hogy melyik hatékony portfóliót választják

Hatékony portfóliók tartása (XVI.) A Markowitz-féle modell problémái  Egy befektetésnek az összes többi befektetéssel való korrelációs kapcsolatát ismerni kell  A tartott hatékony portfóliók befektetőnként eltérőek → egy-egy befektetés ténylegesen érzékelt kockázata befektetőnként eltérő A modell gyakorlati alkalmazása szinte reménytelen