Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Számítástechnika matematikai alapjai Kiss Szilvia Készítette: Kiss Szilvia ZKMSZ informatika szakmacsoport.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Számítástechnika matematikai alapjai Kiss Szilvia Készítette: Kiss Szilvia ZKMSZ informatika szakmacsoport."— Előadás másolata:

1

2 Számítástechnika matematikai alapjai Kiss Szilvia Készítette: Kiss Szilvia ZKMSZ informatika szakmacsoport

3 2 Informatika Az informatika az információ megszerzésével, feldolgozásával, tárolásával, továbbításával foglalkozó tudományág.

4 3 Informatika Információhoz kommunikáció során juthatunk. A kommunikáció információelméleti modellje:

5 4 Információ Az érzékszerveinken keresztül megszerzett új ismereteket információnak nevezzük. Milyen érzékszerveink segítségével juthatunk információhoz? Melyik két érzékszervünkkel szerezzük az új ismeretek nagy részét?

6 5 Az információ érzékelése Közvetlen érzékelés kódolatlan képinformációk pl. … kódolatlan hanginformációk pl. … egyéb információk pl. … Kódolt érzékelés kódolt képinformációk írott információ pl. … speciális jelek (pl. zászlójelek, karjelzések) kódolt hanginformációk szóbeli információ pl. … zenei információ (pl. kürtjelek)

7 6 Jel A jelek az információ hordozására alkalmas szimbólumok. Például: magyar abc betűi, karjelzések, térképeken alkalmazott jelek, közlekedési táblák. A jel érzékszerveinkkel vagy műszereinkkel felfogható (mérhető) jelenség, amelynek jelentése van, ezt a jelentést valamilyen egyezmény, szabály rögzíti.

8 7 Alapvető jeltípusok A jeleket informatikai szempontból két nagy csoportba sorolhatjuk: Analógnak nevezzük azt a jelet, amelynek az értelmezési tartománya is, az értékkészlete is folytonos, a jel minden időpillanatra értelmezett. Analóg jelek

9 8 Alapvető jeltípusok Most is süt a nap Ilyen erősen süt, csak most éppen nem figyelünk rá Napsütés: Analóg jel, mert bármikor bármilyen erősen süthet Megfigyelve, feljegyezve: Nem analóg, mert csak adott időpillanatokban figyeljük meg, és (most) csak rácspontokon ábrázolhatjuk az erősségét Ilyen erősen süt, csak most sem nem figyelünk rá

10 9 Alapvető jeltípusok A jeleket informatikai szempontból két nagy csoportba sorolhatjuk: A digitális jel mind értelmezési tartományában, mind pedig értékkészletében diszkrét. Diszkrét jelek

11 10 Különböző adatok is hordozhatnak azonos információt. (január) (1) Adat Az adat az információ megjelenített, rögzített formája. Azonos adatok is hordozhatnak különböző információt

12 11 Jelek a számítógépben Mágneses Fény Elektromos

13 12 A számítógépben általában kétállapotú jelekkel segítségével próbáljuk az információt tárolni. A hétköznapi információkat (szöveges, képi, hang) általában számítógépen is tudjuk tárolni. Eleinte számítógépen csak számot, szöveget, és logikai adatokat tároltak. Adatok a számítógépben

14 13 Az adat megjelenési formái Szám (numerikus adat): 1,2,3,4,…,9 Szöveg (alfanumerikus adat):  betűk: A, a, B, b,...  számok: 1,2,3,4,…,9 (A numerikus adatokkal ellentétben számítási műveletekre nem alkalmasak.)  írásjelek:., ; - ? ! …  műveleti jelek: + - / * ^ …  speciális $ # &... Logikai adat: az állítások tartalmának megfelelően kétféle lehet, igaz (true), vagy hamis (false)

15 14 Információ – adat – jel A jel az információ hordozója, az adat az információ tárolására szolgáló halmaz, míg az információ számunkra új ismeretet jelöl, azaz új hír, közlés vagy tájékoztatás.

16 15 Az ember a tízes számrendszert, a számítógép a - technikailag legegyszerűbben megvalósítható ‑ kettes számrendszert használja. A számítógép-ember kommunikációban az ‑ egyszerűbb felírhatóság kedvéért ‑ a tizenhatos számrendszer alkalmazott. Így az adatábrázolás előtt ismerkedjünk meg a számrendszerekkel. Adatábrázolás

17 16 Ennek alapján rögzítsünk néhány számrendszerrel kapcsolatos alapfogalmat:  Alapszám: Az egyes helyértékeken szerepelhető különböző együtthatók száma. A tízes számrendszer esetén: 10  Helyérték: Az alapszám egészkitevős hatványai. A tízes számrendszer esetén: 10 0, 10 1, 10 2, 10 3 …  Együttható: Az egyes helyértékeken szereplő szorzók. A tízes számrendszer esetén: 0,1,2...9  A szám értékének meghatározása: Szám =  (együttható * helyérték) Pl: 2* * *10 + 7*1 = 2657 Tízes (decimális) számrendszer

18 17 A számítógépben egy bináris helyértéket bitnek nevezünk, melynek állapota ‑ a bináris számrendszer együtthatói alapján ‑ 0 vagy 1 lehet. A bináris számrendszerben is ‑ hasonlóan minden más számrendszerhez ‑ helyértékek vannak, melyek a kettő hatványai szerint jobbról balra növekednek. Alapszám: 2 Együtthatók: 0,1 Kettes (bináris) számrendszer

19 18 Alapszám: 16 Együtthatók: 0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F Az együtthatók nem adhatók meg minden esetben a tízes számrendszerben alkalmazott számokkal, szükség volt a 9 utáni számokhoz egy-egy jelet hozzárendelni. Ezek a következők: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 Pl.: 1* * * *1 =4335 Tizenhatos (hexadecimális) szr

20 19 Az átváltáskor az együtthatókkal (0,1) szorozzuk az adott helyértékeket. Például: (2) = =1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 = = = 204 (10) Szr-ek közti átváltás a) Átváltás binárisból decimálisba

21 20 Az átváltáskor az együtthatókkal (0, 1, 2... A, B, C, D, E, F ) szorozzuk az adott helyértékeket, majd összeadjuk őket. Például: 10AC (16) = 1 * * A * C * 16 0 = = = 4268 (10) b) Átváltás hexadecimálisból decimálisba Szr-ek közti átváltás

22 21 Egy hexadecimális számjeggyel négy bináris érték adható meg, így a bináris számjegyeket jobbról négyes csoportokra osztjuk, utána külön-külön hexadecimális számra váltjuk, majd az így kapott eredményt sorban egymás mellé írjuk. Ha a balról a legelső csoportban nincs 4 db bináris szám, akkor azok elé annyi 0-t írunk, hogy azok is egy teljes csoportot alkossanak. Például: c) Átváltás binárisból hexadecimálisba Szr-ek közti átváltás

23 22 Az elv a következő: minden hexadecimális számjegyből egy bináris számnégyest készítünk, és az így kapott eredményt sorban egymás mellé írjuk. Például: d) Átváltás hexadecimálisból binárisba Szr-ek közti átváltás

24 23 e) Átváltás decimálisból binárisba A decimális bináris átalakítást speciális formában, "maradékos osztás elve" alapján végezzük. Pl.: A bináris számot úgy kapjuk, hogy a maradékokat alulról felfelé összeolvassuk: 204 (10) = (2) Szr-ek közti átváltás

25 24 Az összeadás műveleti szabályai: = = = = = 11 Példa a bináris összeadásra a decimális megfelelőjével történő ellenőrzéssel: a) Bináris összeadás Műveletvégzés a kettes számrendszerben

26 25 A számítógép tervezésekor arra törekedtek, hogy minél kevesebb műveletet kelljen ismernie a számítógép központi egységének. Az összes műveletet az összeadásra vezették vissza. Az összeadással elvégzett kivonás elött a negatív számokat speciális formára, komplemenssé kell alakítani. Példaként nézzük meg a  168 (10) -as, azaz a (2) szám átalakítását. b) Bináris kivonás Műveletvégzés a kettes számrendszerben

27 26 b) Bináris kivonás Az egyes komplemens képzésekor problémaként vetődik fel, hogy így a nullára két kód is van: (2) = " +0 „ (2) = "  0 " Erre megoldást kínál a kettes komplemens képzés. Műveletvégzés a kettes számrendszerben

28 27 b) Bináris kivonás Műveletvégzés a kettes számrendszerben

29 28 Ezek után nézzünk konkrét példát a bináris kivonásra. Végezzük el a következő műveletet: 184 (10) – 100 (10) Műveletvégzés a kettes számrendszerben

30 29 Műveletvégzés a kettes számrendszerben A számítástechnikában előre rögzítenünk kell a számok ábrázolásának hosszát. A 184 (10) nyolc bináris számjegy hosszúságú, ezért ezt a hosszúságot rögzítettük. Így a –100 bináris alakját is egy 0-val kiegészítve 8 jegyből állóra alakítottuk.

31 30 Műveletvégzés a kettes számrendszerben A végeredmény azonban ennél hosszabb számot eredményezett. Mivel az ábrázoláshoz továbbra is csak 8 jegynyi hely áll rendelkezésünkre, ezért az ún. túlcsordulás következett be, amely számjegyek “elvesztek”. Győződjünk meg róla, hogy így kaptuk meg a helyes eredményt.

32 31 a) Bit A bináris szám egy helyértékét bitnek nevezzük. A bit állapota ennek megfelelően 0 vagy 1 lehet. b) Byte 8 bit összekapcsolásával kialakított egység. c) Szó A processzor típusától függő érték. Jelenleg a 64 bites szervezésű processzorok az elterjedtek, így ezek esetében a 64 bitből kialakított egységet nevezzük szónak. Az adatábrázolás adategységei

33 32 Az eddigi ismereteink alapján tudjuk, hogy a tízes számrendszerben az 1Kilo az 1000-t jelenti. A bináris számrendszerben a helyértékek mások, így ebben az esetben az 1Kilo 1024-nek felel meg. Ennek megfelelően változik a Mega, illetve a Giga értéke is. Az adatábrázolás adategységei 1 Byte = 8 bit 1 KB = 1024 Byte= 8*1024 bit 1 MB = 1024 KB= 1024*1024 Byte = 8*1024*1024 bit 1 GB=1024 MB=1024*1024 KB =1024*1024*1024 Byte = 8*1024*1024*1024 bit

34 33 Pozitív és negatív egész számok ábrázolására. A negatív számokat a már ismertetett kettes komplemens szerint értelmezik a gépek. Törtrésszel rendelkező számokat is ábrázolhatunk, de ekkor a törtet jelző pont csak logikailag létezik, a számítógép nem "teszi ki", helyét nem változtatja. Nyomtatásnál az elhelyezéséről a programozónak kell gondoskodnia. a) Fixpontos ábrázolás Ez a számok műveletvégzésre alkalmas formában történő tárolására szolgál. A számok ábrázolása a számítógépben

35 34 a) Fixpontos ábrázolás A fixpontos számábrázolás hátrányai: az ábrázolható tartomány kicsi: 2 Byte-on a legnagyobb , a legkisebb a számok pontossága erősen korlátozott: ha egész számot ábrázol 7/4 =1 és a 4 /4=1 A számok ábrázolása a számítógépben

36 35 A fixpontos hátrányait kiküszöbölő, a számok hatványkitevős (matematikában használt normál alakhoz hasonlatos) felírásán alapuló számábrázolás. Például: (10) = * (2) = * (10) = * (2) = 0.11 * 2 -1 b) Lebegőpontos számábrázolás A számok ábrázolása a számítógépben

37 36 Általánosan felírva: A = M * p k A =az eredeti szám M =az együttható, ennek a tört része az ún. mantissza p =a hatvány alapja k =a hatvány kitevője, az ún. karakterisztika Ebből észre vehetjük, hogy néhány elem minden szám esetén ismétlődik, ezért ezeket a számítógépen nem kell külön ábrázolni. b) Lebegőpontos számábrázolás A számok ábrázolása a számítógépben

38 37 Például: 175 (10) = * (2) = * (10) = * (2) = 0.11 * 2 -1 b) Lebegőpontos számábrázolás A számok ábrázolása a számítógépben

39 38 A számokat 6 bájtos valós típusú mennyiségként ábrázoljuk b.) Lebegőpontos számábrázolás A mantissza egészrésze (23÷2= 11 marad: 1 ) (11÷2= 5 marad: 1 ) ( 5÷2= 2 marad: 1 ) ( 2÷2= 1 marad: 0 ) ( 1÷2= 0 marad: 1 )0 Pl.: A mantissza törtrésze 0, ,375 0, (0,1875×2= 0,375) 0, ,75 0,375 0 (0,375 ×2= 0,75) 0,75 1 1,5 0,75 1 (0,75 ×2= 1,5) 0,5 1 1,0 0,5 1 (0,5 ×2= 1,0)0 A számok ábrázolása a számítógépben

40 39 A számokat 6 bájtos valós típusú mennyiségként ábrázoljuk b.) Lebegőpontos számábrázolás A mantissza egészrésze= Pl.: A mantissza törtrésze=0011 Normálás 0.1xxxx A pontot 5 lépéssel balra tettük A számok ábrázolása a számítógépben

41 40 A mantissza előjele b.) Lebegőpontos számábrázolás Mivel itt mindig 1 állna, ezért ez a bitet ruházzuk fel a mantissza előjelének jelentésével Ha a mantissza negatív, akkor legyen 1 különben legyen 0 A számok ábrázolása a számítógépben

42 41 b.) Lebegőpontos számábrázolás A karakterisztikát az ábrázolt legkisebb szám abszolút értékével megnöveljük, azaz hozzá adunk |-128|=128-at, majd átváltjuk 2-es számrendszerbe. Tehát ha k=5, akkor k:=5+128=133 A karakterisztika (kitevő) előjele Ezt az alakot nevezzük 128-cal eltolt nullpontú ábrázolásnak A számok ábrázolása a számítógépben

43 42 b.) Lebegőpontos számábrázolás A karakterisztika (kitevő) előjele A karakterisztika (133÷2= 66 marad: 1) ( 66÷2= 33 marad: 0) ( 33÷2= 16 marad: 1) ( 16÷2= 8 marad: 0) ( 8÷2= 4 marad: 0) ( 4÷2= 2 marad: 0) ( 2÷2= 1 marad: 0) ( 1÷2= 0 marad: 1)0 k= A számok ábrázolása a számítógépben

44 43 A 6 bájtos normált ábrázolás eddigiek ismeretében: Ábrázolható tartomány: konvenció (megállapodás): 0:= {k=-128, mantissza=tetszőleges} A legkisebb pozitív valós szám: 0.5 * ≈2,938* A számok ábrázolása a számítógépben

45 44 A számítógép nem csak ‑ a számrendszereknél ismertetett ‑ matematikai műveletek, hanem logikai műveletek végrehajtására is képes. A logikában állítások vannak, melyek vagy igazak vagy hamisak. Ennek megfelelően a logikai adatok két értéket vehetnek fel: ha igaz, az értéke 1, ha hamis, az értéke 0. A logikai adatok ábrázolása általában 1Byte- on történik:  = logikai igaz  = logikai nem Ismerkedjünk meg néhány logikai művelettel: Logikai műveletek

46 45 a) Negálás (NOT) Olyan művelet, amely során az igazból hamisra, a hamisból igazra váltunk. Logikai műveletek

47 46 b) ÉS kapcsolat (AND) A művelet elvégzése után az eredmény akkor igaz, ha az A és B is igaz volt, miden más esetben hamis. Logikai műveletek A B A & B

48 47 c) VAGY kapcsolat (OR) Az eredmény akkor igaz, ha vagy az A vagy a B is igaz volt, beleértve azt is, amikor mindkettő igaz. Logikai műveletek A B A v B

49 48 d) KIZÁZÓ VAGY kapcsolat (XOR) Az eredmény kizárólag akkor igaz, ha vagy A vagy B igaz volt. Ez a kapcsolat kizárja azt az esetet, amikor mindkettő igaz. Logikai műveletek A B A  B

50 49 a) Összeadás (1 bites) Aritmetikai műveletek A + B A  B A & BBA &  Összeg Átvitel

51 50 b) Összeadás (Teljes összeadó) Aritmetikai műveletek &  & OR  AB Átvitel be Összeg Átvitel ki

52 51 Kódolás-dekódolás A kódolás olyan művelet, amely egy jelrendszer elemeihez egy másik jelrendszer elemeit előre meghatározott szabályok szerint (kódkulcs) hozzárendeli. A dekódolás a kódolás fordított művelete. Kód Információ Kódoló Dekódoló

53 52 Kódolás (szám.tech.) a) BCD kód (Binary Coded Decimal) Elsősorban a tízes számrendszerbeli számok ábrázolását segíti elő. Egy tízes számrendszerbeli helyérték ábrázolására 4 bitet használ

54 53 b) EBCDIC kód (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) A BCD kód kiterjesztett változata, amely már 8 bites, így 2 8 = 256 kódhoz rendelhetünk egy-egy karaktert. A nagy számítógépek kódrendszere. Például: Kódolás (szám.tech.)

55 54 c) ASCII kód (American Standard Code for Information Interchange) A mikroszámítógépek kódja, amely 8 bites, így szintén 256 kóddal rendelkezik. Az angol ábécé, decimális számjegyek, írásjelek, aritmetikai és logikai műveleti jelek, vezérlőjelek ábrázolása lehetséges. Emellett beállíthatók nemzeti karakterek is. Kódolás (szám.tech.)

56 55 Kódolás (szám.tech.)

57 56 Gyakorlás

58 57 Gyakorlás

59 58 Gyakorlás

60 59 Vége De kár!!! :)


Letölteni ppt "Számítástechnika matematikai alapjai Kiss Szilvia Készítette: Kiss Szilvia ZKMSZ informatika szakmacsoport."

Hasonló előadás


Google Hirdetések