Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG- SZÁMÍTÁS Az anyagrészek feldolgozása feleltető rendszer felhasználásával Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium,

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG- SZÁMÍTÁS Az anyagrészek feldolgozása feleltető rendszer felhasználásával Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium,"— Előadás másolata:

1 STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG- SZÁMÍTÁS Az anyagrészek feldolgozása feleltető rendszer felhasználásával Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

2 STATISZTIKA Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

3 Egy év közötti fiatalok egy csoportját vizsgáló kérdőíven többek között az alábbi kérdésekre várnak választ: 1.) Neme (fiú, lány):… 2.) Kora:… 3.) Melyik kerületben lakik:… 4.) Hány órát tölt naponta TV-nézéssel:… Melyek a minősítéses ismérvek? A megfelelő sorszámok folyamatos, egymás utáni beírásával válaszolj! Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

4 A cukorgyárban az egyik minőségellenőr azt vizsgálja, hogy mennyi cukrot töltenek a gépek a zacskóba. Ebben az esetben mi a statisztikai sokaság?  A: a cukorral töltött zacskók  B: az egyes zacskókban lévő cukor mennyisége  C: zacskónkénti cukormennyiség Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

5 A cukorgyárban az egyik minőségellenőr azt vizsgálja, hogy mennyi cukrot töltenek a gépek a zacskóba. Ebben az esetben mi az ismérv?  A: a cukorral töltött zacskók  B: az egyes zacskókban lévő cukor mennyisége  C: zacskónkénti cukormennyiség Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

6 A cukorgyárban az egyik minőségellenőr azt vizsgálja, hogy mennyi cukrot töltenek a gépek a zacskóba. Ebben az esetben mi az adat ?  A: a cukorral töltött zacskók  B: az egyes zacskókban lévő cukor mennyisége  C: zacskónkénti cukormennyiség Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

7 Az es szezonban a Menősuli kosárlabda csapatának 14 tagja volt. A játékosok magassága a következő volt: Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, MA178 cm TB183 cm AM208 cm RB188 cm KG203 cm RP216 cm DC196 cm HH190 cm SB201 cm DH201 cm DV196 cm LE208 cm MB163 cm LJ201 cm Az adatokat foglaljuk 10 cm-enkénti osztályközös táblázatba.

8 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, MA178 cm TB183 cm AM208 cm RB188 cm KG203 cm RP216 cm DC196 cm HH190 cm SB201 cm DH201 cm DV196 cm LE208 cm MB163 cm LJ201 cm cm cm cm cm cm cm Folyamatosan egymás után írva add meg a táblázatba írandó értékeket!

9 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, MA178 cm TB183 cm AM208 cm RB188 cm KG203 cm RP216 cm DC196 cm HH190 cm SB201 cm DH201 cm DV196 cm LE208 cm MB163 cm LJ201 cm cm cm cm cm cm cm A helyes értékek tehát:

10 Egy tizedesre kerekítve határozd meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá- nyokba cm-ig?  cm:  cm:  cm:  cm:  cm:  cm: Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

11 Egy tizedesre kerekítve határozzuk meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá- nyokba cm-ig?  cm: 7,1 %  cm: 7,1 %  cm:  cm:  cm:  cm: 7,1 % Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

12 Egy tizedesre kerekítve határozzuk meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá- nyokba cm-ig?  cm: 7,1 %  cm: 7,1 %  cm:14,3 %  cm:  cm:  cm: 7,1 % Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

13 Egy tizedesre kerekítve határozzuk meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá- nyokba cm-ig?  cm: 7,1 %  cm: 7,1 %  cm:14,3 %  cm:21,4 %  cm:  cm: 7,1 % Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

14 Egy tizedesre kerekítve határozzuk meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá- nyokba.  cm: 7,1 %  cm: 7,1 %  cm:14,3 %  cm:21,4 %  cm:42,9 %  cm: 7,1 % Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

15 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, OSZLOPDIAGRAM

16 HISZTOGRAM Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

17 KÖRDIAGRAM Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Melyiken jeleníti meg helyesen a táblázat adatait?

18 KÖRDIAGRAM Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Elvben mindkettő jó, ám a „B” esetben a térbeliség miatt a középponti szögek torzulnak, így az arányok nem jól olvashatók le róla!

19 SZALAGDIAGRAM Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, korcsoport össz esen népesség (1000 fő) %-os megoszlás8,713,316,312,91612,610,27,52,40,1

20 Készítsünk vonaldiagramot a következő táblázat adataiból: hónap Jan.Febr.Márc.Ápr.Máj.Jún.Júl.Aug.Szept. Okt.Nov.Dec. °C ,516 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

21 Készítsünk vonaldiagramot a következő táblázat adataiból: hónap Jan.Febr.Márc.Ápr.Máj.Jún.Júl.Aug.Szept. Okt.Nov.Dec. °C ,516 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

22 STATISZTIKAI KÖZEPEK Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Egy élelmiszer áruház szeretné felmérni, hogy négyesével, hatosával vagy nyolcasával érdemes-e az ásványvizes palackokat csomagolni. Ezért egy héten keresztül figyelték, hogy hány palack ásványvizet vesznek. Ezt a gyakorisági táblázatot kapták: Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság

23 STATISZTIKAI KÖZEPEK Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Melyik a leggyakoribb tehát? (azaz mennyi a módusz értéke?)

24 STATISZTIKAI KÖZEPEK Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Mennyi a medián palackszám? (azaz mennyi a középső érték?)

25 STATISZTIKAI KÖZEPEK Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Átlagosan hány palackot vásárolt egy vevő? (azaz mennyi a számtani közép?) (egészre kerekítve add meg!)

26 STATISZTIKAI KÖZEPEK Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság A kapott eredmények tehát: Módusz: 5 palack Medián: 5 palack Számtani közép: 4 palack A táblázat és a kapott értékek alapján te hány darabot raknál egy csomagba ? A: 4 B:5 C:6

27 STATISZTIKAI KÖZEPEK Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Módusz: 5 palack Medián: 5 palack Számtani közép: 4 palack Nyilván a módusz a mérvadó, mert leggyakrabban egyszerre 5 db-ot vittek. Csakhogy technikai okokból páros sokat kell egybe csomagolni! A táblázat alapján ezért 6- ot érdemes egy csomagba tenni. 

28 SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Mennyi a terjedelem értéke?

29 SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Nem az ismérvre, hanem az adatokra vonatkozik ez a kérdés! Tehát a helyes válasz: 65-1=64

30 SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Mennyi az átlagos abszolút eltérés? (egy tizedes jegyre kerekítsd!)

31 SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Az egyes adatoknak a mediántól való eltérésével kellett számolni:

32 SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Mennyi a szórás értéke ? (3 tizedes jegyre kerekítsd!)

33 SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma Gyakoriság Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Ezt mindenképpen célszerű a számoló- gép statisztikus üzemmódba való állításával kiszámolni. Itt a számtani középtől való eltéréssel kell számolnunk!

34 FELADAT Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Egy autóakkumulátorokat gyártó vezető mérnöknek két gyártási eljárás közül kell választania. Egy-egy 8 elemű mintát vesz a különböző eljárással gyártott akkumuláto- rokból, és megvizsgálja élettartamukat (hónapban).

35 FELADAT Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, A eljárásnál B eljárásnál Melyik eljárást ajánlanánk a mérnöknek? Miért?

36 FELADAT Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, A eljárásnál B eljárásnál A: átlag=23 hónapszórás=1,87 hónap B: átlag=23 hónapszórás=3,08 hónap Átlagosan mindkettő ugyanannyi ideig jó, de az A esetben kisebb a szórás, tehát inkább azt válassza.

37 VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

38 VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Néhány fontos fogalom:  Véletlen esemény: például kockadobás vagy érmedobás esetén, hogy melyik oldalára érkezik, azaz mi lesz felül.  Valószínűség: mekkora egy véletlen esemény bekövetkezésének hajlandósága….. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

39 VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Néhány fontos fogalom:  Elemi esemény: például kocka dobá- soknál, hogy 1-est, 2-est,…, 6-ost dobunk; érmedobásnál fej vagy írás; stb  Biztos esemény: biztosan bekövetkező esemény („100%”).  Lehetetlen esemény: sohasem következhet be….. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

40 VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Néhány fontos fogalom:  Kedvező eset: egy általunk kiválasztott esemény bekövetkezése.  Két vagy több kocka illetve pénzérme a tapasztalat szerint sohasem tekinthető egyformának még akkor sem, ha látszólag azok! (ezt a számolásnál figyelembe kell venni!) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

41 VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Egy kocka feldobásakor az eredmény 1- es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös vagy 6-os dobás (elemi események). A tapasztalat szerint ezek elég sok kísérletet végezve egyforma számban következnek be, azaz mindegyiknek ugyanakkora az esélye (valószínűsége). Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

42 VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Ha egy kísérletben bármely elemi esemény egyforma valószínűséggel következik be, akkor egy (nem feltétlenül elemi) esemény valószínűsége (P): P= kedvező esetek száma összes eset száma Ezt nevezzük klasszikus (Laplace-féle) valószínűségi modellnek. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

43 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával páratlan számot dobunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

44 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával páratlan számot dobunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Mivel 1-től 6-ig 3 páratlan szám van, így a kedvező esetek száma 3, az összes eset 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,5

45 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával prímszámot dobunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

46 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával prímszámot dobunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Mivel 1-től 6-ig 3 prímszám van (vigyázat, az 1 nem prímszám!), így a kedvező esetek száma 3, az összes eset 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,5

47 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával 2-est vagy 5-öst dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

48 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával 2-est vagy 5-öst dobunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Mivel kedvező esetnek számít akár az egyiket, akár a másikat dobjuk, ezért a kedvező esetek száma 2. Az összes eset 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa, ami 2 tizedes jegyre kerekítve : P=0,33.

49 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával legalább 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

50 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával legalább 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, A kedvező esetek száma 5 (csak az 1-es dobás nem jó), összes eset most is 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,83

51 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával legfeljebb 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

52 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával legfeljebb 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, A kedvező esetek száma 2, az összes eset 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,33

53 Dobjunk fel egymás után kétszer egy érmét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkettő írás lesz? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

54 Dobjunk fel egymás után kétszer egy érmét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkettő írás lesz? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Az elemi események:FF FI IF II A kedvező esetek száma tehát 1, az összes eset pedig 4. Ezért a keresett valószínűség : P=0,25

55 Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között pontosan 2 írás van? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

56 Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között pontosan 2 írás van? Az elemi események: IIIIIFIFIFIIIFFFIFFFIFFF A kedvező esetek száma tehát 3, az összes eset 8. A keresett valószínűség tehát P(A)=0,375 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

57 Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között pontosan 3 fej van? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

58 Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között pontosan 3 fej van? Az elemi események: IIIIIFIFIFIIIFFFIFFFIFFF A kedvező esetek száma tehát 1, az összes eset 8. A keresett valószínűség tehát P(B)=0,125 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

59 Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között legfeljebb 2 fej van? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

60 Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között legfeljebb 2 fej van? Az elemi események: IIIIIFIFIFIIIFFFIFFFIFFF Legfeljebb 2 fej: 0 vagy 1 vagy 2 fej. A kedvező esetek száma tehát 7. Az összes eset 8, tehát a keresett valószínűség:P(C)=0,875 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

61 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Vegyük észre, hogy az előző két esetben kapott valószínűségek összege éppen 1. A két esemény egymás komplementere: együtt éppen az összes elemi eseményt adják. Ezért úgy is számolhattunk volna, hogy P(C)=1 - P(B)

62 Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között a fejek száma egyenlő az írások számával? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

63 Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között a fejek száma egyenlő az írások számával? P=0, hiszen ez a lehetetlen esemény páratlan számú dobás esetén. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

64 Végezzünk egy szabályos dobókockával 1 0 dobásból álló dobássorozatot. a) Hányféle dobássorozatot kaphatunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

65 Végezzünk egy szabályos dobókockával 1 0 dobásból álló dobássorozatot. a) Hányféle dobássorozatot kaphatunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Mivel bármelyik dobás független a többitől, mindegyik dobás 6-féle lehet. Az össze lehetőség tehát 6 10 =

66 Végezzünk egy szabályos dobókockával 1 0 dobásból álló dobássorozatot. b ) Hány olyan dobássorozat lehet, ahol pontosan 1-szer dobunk 6-ost ? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

67 Végezzünk egy szabályos dobókockával 1 0 dobásból álló dobássorozatot. b ) Hány olyan dobássorozat lehet, ahol pontosan 1-szer dobunk 6-ost ? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, A 6-os dobás helyeféle lehet, miközben a többi helyen 5 9 féle dobás lehetséges. Tehet a keresett lehetőségek száma: 10* =

68 Végezzünk egy szabályos dobókockával 1 0 dobásból álló dobássorozatot. c) Mekkora annak az esélye, hogy pontosan egyszer dobunk 6-ost? (2 tizedes jegyre kerekítve add meg!) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

69 Végezzünk egy szabályos dobókockával 1 0 dobásból álló dobássorozatot. c) Mekkora annak az esélye, hogy pontosan egyszer dobunk 6-ost? (3 tizedes jegyre kerekítve add meg!) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, Az előzőek alapján a kedvező esetek száma , az összes eset A keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,323

70 Az 5 fekete és 1 piros golyót tartalmazó urnából 30-szor húzunk egy-egy golyót, azt mindig visszatéve. Mekkora az esélye annak, hogy pontosan 4-szer húztunk pirosat? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

71 Az 5 fekete és 1 piros golyót tartalmazó urnából 30-szor húzunk egy-egy golyót, azt mindig visszatéve. Mekkora az esélye annak, hogy pontosan 4-szer húztunk pirosat? 30 hely közül féleképpen választhat- juk ki azt a 4 helyet, ahol pirosat húztunk. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

72 Az 5 fekete és 1 piros golyót tartalmazó urnából 30-szor húzunk egy-egy golyót, azt mindig visszatéve. Mekkora az esélye annak, hogy pontosan 4-szer húztunk pirosat? A maradék 26 hely bármelyikén az 5 fekete golyó bármelyikét kihúzhatjuk, így ezek kihúzására 5 26 lehetőség van. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,

73 Az 5 fekete és 1 piros golyót tartalmazó urnából 30-szor húzunk egy-egy golyót, azt mindig visszatéve. Mekkora az esélye annak, hogy pontosan 4-szer húztunk pirosat? A kedvező esetek száma tehát az előzőek szorzata. Ezt kell osztanunk az összes esettel, ami 6 30 Így a keresett valószínűség kb. 0,1847 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest,


Letölteni ppt "STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG- SZÁMÍTÁS Az anyagrészek feldolgozása feleltető rendszer felhasználásával Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium,"

Hasonló előadás


Google Hirdetések