Dinamikus rendszerek modellezése. Rendszerelvű/rendszerelméleti megközelítés Dinamikus rendszerek elmélete - Alapfogalmak.

Az előadások a következő témára: "Dinamikus rendszerek modellezése. Rendszerelvű/rendszerelméleti megközelítés Dinamikus rendszerek elmélete - Alapfogalmak."— Előadás másolata:

1 Dinamikus rendszerek modellezése

2 Rendszerelvű/rendszerelméleti megközelítés Dinamikus rendszerek elmélete - Alapfogalmak

3 RENDSZER = Elemek együttese, melyeket kölcsönös függőség kapcsol össze. Cirkuláris okság: egy elem hat a többire Hierarchikus struktúra: rész/alrendszerek Nonszummativitás: a részek összesége nem az egész (szinergia: 2+2=5; diszfunkció: 2+2=3) Homeosztázis: törekvés az állandóságra Autoregularitás: önszabályozó funkciók Ekvifinalitás: több út, azonos cél Morfogenezis: képesség a változásra, alkalmazkodásra Karl Ludwig von Bertalanffy (1901-1972)

4  Ockham (Occam) borotvája  lex parsimoniae = takarékosság (tömörség) elve  „Pluralitas non est ponenda sine necessitate”  A sokaság szükségtelenül nem tételezendő  általában az egyszerűbb megoldás a helyes William Ockham (kb. 1285–1348) angol nemzetiségű ferences rendi szerzetes

5  Neumann János a modellekről: „… a tudomány nem magyarázni próbál, alig próbál interpretálni – a tudomány főként modelleket állít fel. A modellen olyan matematikai konstrukciót értünk, amely – bizonyos szóbeli értelmezést hozzáadva – leírja a megfigyelt jelenségeket. Az ilyen matematikai konstrukciókat kizárólag és pontosan az igazolja, hogy működnek.” Budapest, 1903. december 28. – Washington, 1957. február 8., magyar származású matematikus

6 Valóság (probléma)Köztes (…) modellMatematikai modell (megoldás) egyszerűsödés, elhanyagolások interpretáció

7  modell  a modell hasonló a modellezetthez, vagyis az modell, ami a modellezettel hasonlósági relációban van  eszmeileg elképzelt vagy anyagilag realizált rendszer, amely visszatükrözve vagy reprodukálva a kutatás objektumát képes helyettesíteni  hasonlóság  szerkezeti (vagy strukturális)  működési (vagy funkcionális) és  formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság

8 Rendszerek felosztása a IIASA szerint  Közgazdasági rendszerek:  nemzetközi kereskedelem és gazdaság,  nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás,  ágazati és ipari tervezés.  Emberi és társadalmi rendszerek:  népesség,  városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés,  lakáshelyzet,  oktatás, képzés,  egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása),  társadalmi és jóléti szolgáltatások,  munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások,  igazságszolgáltatás. IIASA: International Institute for Applied Systems Analysis, http://www.iiasa.ac.at

9  Erőforrások és környezeti rendszerek:  ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat,  vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat,  éghajlat,  környezet,  ökológia,  mezőgazdaság, beleértve az erdőgazdaságot és állattenyésztést.  Ipari rendszerek:  kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat),  tervezés és irányítás,  termelés és elosztás,  energiaágazat,  petrolkémia,  elektronika,  szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép),  élelmiszerelosztás,  textil - és ruházati ipar,  nukleáris energia.

10  Biológiai rendszerek:  elemi biológiai rendszerek,  humán biológia és pszichológia,  bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése.  Információs és számítógép rendszerek:  távközlési és számítógépes hálózatok,  információtárolás és - visszakeresés,  számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás,  vezetési információs rendszerek.  Külön csoport az ún. integrált rendszerek:  mezőgazdaság - élelmiszer - népesség,  energia - környezet - ipar,  ipar - környezet - egészségügy,  területi ipari komplexumok,  globális és regionális rendszerek.

11 Modell Hasonlóság szerkezeti működési formai Típus anyagi elektromos mechanikai termikus gondolati szimbolikus verbális ikonikus Rendszer pszichikai társadalmi termelési fizikai...

12 Modell funkció probléma megoldó leíró előíró szemléltető struktúra ikonikus analóg szimbolikus szempont (hasonlóság) formai szerkezeti működési jelleg kvalitatív (minőségi) gondolati verbális kvantitatív (mennyiségi) heurisztikus szimulációs sztochasztikus folyamat statikus dinamikus

13  Feladat akkor, ha ismert  a meglévő állapot, annak ellentmondásai,  az igények és a lehetőségek közötti feszültség, (általában) a célállapot és  (algoritmizált) a teljes megoldási út.  Probléma akkor, ha nincs (teljes) ismeretünk  a meglévő helyzetről és/vagy  a megoldás útjáról és/vagy  a célállapotról.

14 FeladatYTXPélda Direkt?ismertadottMérés, minősítés Indirektelőírtadott?Tervezés, fejlesztés Induktívismert? Kutatás, irányítástechnika X: a rendszer (modell) bemenete Y: a rendszer (modell) kimenete T: a rendszer viselkedése

15 Probléma felismerése megfogal- mazás kiindulási állapot saját tapasztalat szükséges ismeretek átvett ismeretek ismeretlen részek ismert részek feltételek végállapot elemzés biztos! bizonytalan! kísérlet terv és lényegkiemelés végrehajtás

16  Analitikus módszer  a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,  a matematikai modell megalkotása,  a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára,  a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése,  a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása,  a megoldás ellenőrzése.

17  Numerikus módszer  a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,  a matematikai modell megalkotása,  a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás),  a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása,  a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása,  a megoldás ellenőrzése.

18  Kísérleti módszer  a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,  a matematikai modell megalkotása,  a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasz-tása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében,  a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása,  a kísérletek lefolytatása és értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása,  a megoldás ellenőrzése.

19 lépésAnalitikusKísérletiNumerikus 1A feladat verbális megfogalmazása 2A matematikai modell megalkotása 3 Transzformáció megoldásra alkalmas formára Hasonlósági transzformáció Diszkretizálás 4 A megoldás egymás utáni lépéseinek rögzítése A kísérleti terv összeállítása Algoritmus és blokkséma 5 A megoldást jelentő összefüggés meghatározása Kísérletek és azok értékelése Gépi program futtatása, eredménye 6A megoldás ellenőrzése

20 Parciális modellezés – integrált rendszerek  részrendszerekre és  részfolyamatokra bontás  modellrendszer alkotás teljes rendszer 1. részfolyamat elem 2. részfolyamatelem 1. szint2. szint 3. szint

21 Társadalmi-gazdasági folyamatok modelljei

22  Csak parciális modellek léteznek  részrendszerek: regionális modellek (térbeli szétválasztás)  részfolyamatok: jelenségek, folyamatok (funkcionális szétválasztás)  Megoldási elvek és módszerek  analitikus módszer csak korlátozottan használható  dinamikus kapcsolat a részek között  jól definiált input/output változók  számítógépi (numerikus) módszerek

23  Matematikai leírás  differenciális mérlegegyenlet  kapcsolt differenciálegyenlet-rendszer  Megoldási módszer  egyszerű modellek: analitikus  összetett modellek: numerikus (szoftver) Általános mérlegegyenlet: x i : extenzív jellemző Q: forrás erőssége, I: nyelő erőssége, t: idő

24 Alapvető modellezési eszközök és módszerek Áramfüggvények példák: extenzív áram: termékek és szolgáltatások int. kül.: ár vez. tényező: szállítási költség, adók

25 Alapvető modellezési eszközök és módszerek Növekedési függvények (korlátlan) példák: extenzív mennyiség: népesség, GDP növekedési ráta: növekedési ütem, szül.-hal. ráta

26 Egyértelműségi feltételek valós jellemzőmatematikai leképezés vizsgált terület határai  értelmezési tartomány korlátok  értékkészlet kiinduló adatok  kezdeti feltételek jellemző tulajdonság  együtthatók belső összefüggések  együtthatók közötti fgv-ek

27 Korlátlan növekedés Globális (időbeli) mérlegegyenlet: Q=g∙x i, ahol g a növekedési ráta 1/idő g>0: növekedés g=0: stagnálás g<0: fogyás

28 Korlátlan növekedés (M ALTHUS -féle modell) Megoldás t xixi xi(t)xi(t) Thomas Robert Malthus (1766-1834), angol demográfus, matematikus, 1798

29 Népesedési (demográfiai) modell Verbális modell Differenciálegyenlettel (matematikai modell):

30 A világ népessége Népesség,milliárd fő 0 1 2 3 4 5 6 10,000 BC8000600040002000AD 110002000

31 A növekedési ráta időfüggő év 1960197019801990 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 0 Nettónövekedésiráta,%/a 20002010202020302040 0.2 0.4 0.6 0.8

32 Lineárisan extrapolált nettó növekedési ráta Nettó növekedési ráta Népesség

33 Exponenciálisan csökkenő nettó növ. ráta Nettó növekedési ráta Népesség

34 Növekedési korlát = eltartóképesség

35

36

37 Pierre François Verhulst (1804-1849) belga matematikus, 1838

38 Népesség Évenkénti növekedés

39 Általánosított logisztikus függvény (R ICHARD -féle függvény, növekedés modellezés) P min : alsó asszimptota C * : eltartóképesség, ha P min =0 g: növekedési ráta t: idő M: a max. növ. ideje, ha Q=v v: segédparaméter Q: segédparaméter, P(0) függvénye

40 A H UBBERT -féle elmélet: olajhozam-csúcs alkalmas a kimerülő erőforrások leírására Marion King Hubbert (1903-1989), közzététel: 1956

41 Hubbert eredeti diagramja 1956-ból M. King Hubbert (1903–89)

42 Norvégia olajkitermelése Világtrendek Forrás: World Energy Outlook 2013

43 Többciklusú Hubbert-model Forrás: Ibrahim Sami Nashawi, Adel Malallah, and Mohammed Al-Bisharah, Forecasting World Crude Oil Production Using Multicyclic Hubbert Model Energy Fuels 2010, 24, 1788–1800 Venezuela olajkitermelése STB=Standard Stock Barrels

44 Inflexió nélküli trendfüggvények

45 Inflexióval rendelkező életgörbe függvények Általánosított Verhulst-féle függvény: Pearl-Reed-féle függvény: Késleltetett logisztikus függvény: Gompertz-féle függvény: Életkorfüggő halálozási ráta Tumorsejtek burjánzása

46 Inflexióval rendelkező trendfüggvények

47 Két inflexióval rendelkező életgörbe függvények τ

48 Nagy időközű ciklikusság – Kondratyev-hullám Никола́й Дми́триевич Кондра́тьев, 1892-1938 Gazdasági szuperciklus Technológiai változások  gazdasági változások gőzgép Vasút, acélgyártás Elektromosság, nehézipar mobilizáció (olajipar) infokomm., elektronika Vitatott elmélet 30..70 éves ciklusidő robotika, egészségtud. 1829185719291971 2001

49 Forrás: http://www.safehaven.com/article/23510/kondratiev-is-alive-and-wellhttp://www.safehaven.com/article/23510/kondratiev-is-alive-and-well

50 Forrás: http://afterthemillennials.com/the-patterns-of-change/http://afterthemillennials.com/the-patterns-of-change/

51 Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred J. Lotka (1880–1949), 1910; Vito Volterra (1860–1940); 1926

52 Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred James LotkaVito Volterra

53 Populációdinamika – Lotka-Volterra

54 Egyedszám – idő ciklikus folyamatok leírására Egyedszám – egyedszám Fázisgörbe

55 Lotka-Volterra modell a valóságban Kanadai megfigyelések havasi nyúl -- hiúz

56 Lotka-Volterra modell a valóságban Forrás: http://www-rohan.sdsu.edu/~jmahaffy/courses/f09/math636/lectures/lotka/qualde2.htmlhttp://www-rohan.sdsu.edu/~jmahaffy/courses/f09/math636/lectures/lotka/qualde2.html

57 Kereskedelmi szoftverek: STELLA: http://www.iseesystems.com/http://www.iseesystems.com/ PowerSim Studio: http://www.powersim.com/http://www.powersim.com/ Oktatási célú (ingyenes) szoftverek: Vensim PLEVensim PLE (Personal Learning Edition) www.vensim.com Scilabwww.scilab.orgwww.scilab.org