Amit a háromszögekről tudni kell

Amit a háromszögekről tudni kell
Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Tartalom 1.a. Bevezető Mit nevezünk háromszögnek Jelölések a háromszögben Háromszögek csoportosítása Vázlat: Háromszögek szerkesztése (kidolgozás alatt) Összefüggés a háromszög oldalai között Összefüggés a háromszög szögei között Összefüggés a háromszög oldali és szögei között b Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai Amit a háromszögekről tudni kell c Háromszögek egybevágósága Háromszögek hasonlósága (kidolgozás alatt) A háromszög területe Pitagorasz tétele Thalész tétele Feladatok (kidolgozás alatt) Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Bevezető A diák jelentős részben 24-es betű méretben készültek, így tanórai keretekben vetítéskor jól olvashatók. : az ikonra kattintva megkapod a kérdésre a választ. Mielőtt ezt megteszed, próbálj önállóan válaszolni! Tovább haladáshoz rájuk kattintani kell! : az ikonra vagy a lap bármelyik részére kattintva a diavetítés folytatódik. Amit a háromszögekről tudni kell : ikonra néha kétszer kell kattintanod. Vissza az alfejezet tartalmához Jelmagyarázat: Tartalomjegyzék Utolsó dia Következő Oktatófilm 1. dia Előző Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Mi a háromszög? Indításhoz kattints ide! A címbeli kérdésre a válasz egyszerűbb, mint gondolnád. Három oldalú sokszög. A háromszögekre vonatkozó alapvető tényeket már Euklidesz lefektette Elemek c. művének 1-4. könyvében Kr. előtt 300 körül. A háromszöget egyértelműen meghatározza: három oldala két oldala és az általuk közbezárt szöge Amit a háromszögekről tudni kell két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szöge egy oldala és a rajta fekvő két szöge a < c a c Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Jelölések a háromszögben Indításhoz kattints ide! Bármelyik csúcsot jelölhetem A-val. A A A A jelöléseket az óra (Nap) járásával ellentétesen kell folytatni. Amit a háromszögekről tudni kell B C A c b b a a c A B C A B C a c b Az A csúccsal szemben van az „a” oldal, és így tovább. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszögek csoportosítása Indításhoz kattints ide! Oldalak szerint Mindegyik oldala különböző. c b Tetszőleges háromszög vagy általános háromszög. a Két oldala egyenlő. b b Egyenlő szárú háromszög. Amit a háromszögekről tudni kell a Minden oldala egyenlő. a a Egyenlő oldalú háromszög vagy szabályos háromszög. a Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszögek csoportosítása Indításhoz kattints ide! 1.a. Szögek szerint Mindegyik szöge hegyes szög. Hegyes szögű háromszög. Van derékszöge. Derékszögű háromszög átfogó befogó A derékszöget alkotó oldalakat befogóknak hívjuk. Amit a háromszögekről tudni kell c A derékszöggel szembeni oldal az átfogó. befogó Van tompaszöge. Tompaszögű háromszög Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Összefüggések a háromszög szögei között A háromszög belső szögeinek összege 180º. α + β + γ = 180º Bizonyítás. A háromszög külső és mellette lévő belső szögének összege 180º. γ + γ’ = 180º α + α' = 180º β +β’ = 180º Bizonyítás. A háromszög külső szögeinek összege 360º. α' + β’ + γ’ = 360º Bizonyítás. Amit a háromszögekről tudni kell A háromszög külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szögének összegével. α' = β + γ Bizonyítás. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszög belső szögeinek összege 180º Indításhoz kattints ide! Húzzunk párhuzamost az A csúcson át az „a” oldallal! A Keletkezett két szög. β γ α Mit állapíthatunk meg ezekről a szögekről? c b Váltószögek Megfelelő szárak párhuzamosak és ellentétes irányúak. β γ Amit a háromszögekről tudni kell a A váltószögek egyenlők. Szintén váltószögek. Az „A” csúcsnál lévő szög egyenesszög. α + β + γ = 180º Ami a belső szögek összege. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszög belső és mellette lévő külső szögének összege 180º A belső szög és a mellette lévő külső szög mellékszög. A mellékszögek összege 180º. α' α α + α' = 180º c β +β’ = 180º b γ + γ’ = 180º Amit a háromszögekről tudni kell β γ γ' β' a Ezzel állításunkat bizonyítottuk. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszög külső szöge α' β' γ' A háromszög belső szögeinek mellékszögeit a háromszög külső szögeinek nevezzük. Mit nevezünk mellékszögeknek? Minden belső szög mellett két külső szöget kaphatunk. Ezek egyenlők, mert csúcsszögek. α' α Amit a háromszögekről tudni kell c b Mit nevezünk csúcsszögeknek? β γ γ' β' a γ' Külső szögek említésekor csak az egyikre gondolunk. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszög külső szögeinek összege 360º Írjuk fel a belső szögek és a mellettük lévő külső szögek összegeit! α + α' = 180º β +β’ = 180º α' α γ + γ’ = 180º c α + Adjuk össze az egyenleteket! α' β β’ γ + + γ’ = 540º + + b Miért volt hasznos ez a csoportosítás? A tagok felcserélhetők. 360º Amit a háromszögekről tudni kell β γ γ' β' a 180º Külön váltak a belső szögek és a külső szögek összegei Vonjunk ki az egyenlet mindkét oldalából 180º -ot! Ez nem más, mint a háromszög külső szögeinek összege, amit állítottunk. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszög külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szögének az összegével Nézzük, milyen összefüggéseket ismerünk! α' α Figyelmünket irányítsuk α’- re, β- ra és γ- ra! c b β γ γ' β' a Amit a háromszögekről tudni kell A háromszög belső szögeinek összege 180º A háromszög külső és mellette lévő belső szögének összege 180º. α + β + γ = 180º - α α + α' = 180º - α β + γ = 180º- α α' = 180º- α Keressük meg a két összefüggésben a közös elemeket! Végezzük el a következő átalakításokat! Jobb oldalak egyenlőségéből következik a bal oldalak egyenlősége α' = β + γ amit bizonyítani kellett. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Összefüggések a háromszög szögei és oldalai között Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor velük szemközti szögek is egyenlők Bizonyítás. Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor az ezekkel szemközti oldalak egyenlő hosszúak. A két állítás egybefonva: Egy háromszögben két oldal akkor és csak akkor egyenlő, ha a velük szemközti szögek nagysága megegyezik. Bizonyítás. Amit a háromszögekről tudni kell Háromszögben két oldal közül a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. Bizonyítás. Háromszögben két szög közül a nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Összefüggések a háromszög szögei és oldalai között
Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti szögek is egyenlők Akkor ez egyenlő szárú háromszög. Indításhoz kattints ide! A A két oldal egyenlőségéből kell kiindulni. Húzzuk be az „a” oldal (alap) felezőmerőlegesét! b b Tekintsük ennek a csúcs és az oldal közötti részét! Összefüggések a háromszög szögei és oldalai között β β B C F Két háromszöget kaptunk. a Mit tudunk róluk? Felező pont. Mindkettő közös oldala. Egybevágóak, mert oldalaik egyenlők. Ebből következik: megfelelő szögeik is egyenlők. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Összefüggések a háromszög szögei és oldalai között
Ha egy háromszögben két szög egyenlő, akkor a velük szemközti oldalak is egyenlők Indításhoz kattints ide! Tekintsük az ABC háromszöget, amelyben az ábrán látható szögek egyenlők! A Húzzuk be az A csúcsnál lévő szög szögfelezőjét! b b Két háromszöget kaptunk. Összefüggések a háromszög szögei és oldalai között β β B Mit tudunk róluk? C Egybevágóak, mert egy - egy oldaluk megegyezik. Továbbá megegyeznek szögeik Kettő egyenlőségéből a harmadik egyenlősége is következik. Az egybevágóságból adódik az oldalak egyenlősége. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Indításhoz kattints ide! A Tekintsük az ABC háromszöget, amelyben b > c. Bizonyítanunk kell, hogy ekkor β > γ. α c Matematikai jelekkel: ha b > c => β > γ. c b A c oldalt mérjük fel az A csúcsból a b oldalra. ε ε B’ β B σ γ C a Az ABB’ háromszög egyenlő szárú. Amit a háromszögekről tudni kell Így egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Az ε -ra két állítást is megfogalmazhatunk. β > ε β > ε ε > γ ε > γ ε a BB’C háromszög külső szöge, ε = γ +σ A két állítást dolgozzuk egybe! => β > γ Ezt kellett bizonyítanunk. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. Tekintsük az ABC háromszöget, amelyben β > γ. Indításhoz kattints ide! Bizonyítanunk kell, hogy ekkor b > c. A α Matematikai jelekkel: ha β > γ => b > c. c b Indirekt úton bizonyítunk. β Tegyük fel, hogy b > c. B γ C a Ebből következik: Amit a háromszögekről tudni kell b = c vagy b < c Ebből az következik, hogy Ebből az következik, amit már szintén bizonyítottunk,hogy β = γ Ezt már bizonyítottuk. Ez ellentmond a kiindulási feltételnek. β < γ Ez ellentmond a kiindulási feltételnek. Tehát: b ≠ c. Tehát b < c b ≠ c és b < c, nem marad más hátra, mint b > c. Ezt kellett bizonyítanunk. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai Köré írható kör középpontja, sugara Beírható kör középpontja, sugara Magasságvonala, magassága, magasságpontja Súlyvonala, súlypontja Amit a háromszögekről tudni kell Középvonala Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszög köré írható kör középpontja és sugara Indításhoz kattints ide! A háromszög köré írható kör. Valóban írtunk kört a háromszög köré. Amit a háromszögekről tudni kell De nem ezt értjük háromszög köré írható körön. Hanem! Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszög köré írható kör középpontja és sugara Indításhoz kattints ide! A háromszög köré írható kör esetében a háromszög csúcsai a köríven vannak, így a háromszög oldalai a kör húrjai. C . Hol van a kör középpontja? r . A középponttól a csúcsok egyenlő (sugárnyi) távolságra vannak. r ? . r O A Minek nevezzük azon pontok halmazát, amelyek egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak? . B Amit a háromszögekről tudni kell Ez a szakasz felezőmerőleges. Az O pont rajta van az AB oldal felezőmerőlegesén. Rajta van továbbá a BC oldal felezőmerőlegesén is. Természetesen az AC oldal felezőmerőlegesén is. A háromszög köré írható kör középpontja oldal felezőmerőlegeseinek metszéspontja. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszögbe írható kör középpontja, sugara Indításhoz kattints ide! A háromszögbe írható kör. Valóban írtunk kört a háromszögbe. Amit a háromszögekről tudni kell De nem ezt értjük háromszögbe írható körön. Hanem!? Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszögbe írható kör középpontja, sugara Indításhoz kattints ide! A háromszögbe írható kör esetében a háromszög oldalai a kör érintői. . E2 Mit tanultunk a kör és érintőjéről? E3 . r O Hol van a kör középpontja? r A középpont az oldalaktól egyenlő (sugárnyi) távolságra van. r . Minek nevezzük azon pontok halmazát, amelyek egy szög két szárától egyenlő távolságra vannak? E1 Amit a háromszögekről tudni kell Az O pont a háromszög szögfelezőinek metszéspontja. A háromszög köré írható kör középpontja oldal felezőmerőlegeseinek metszéspontja. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Magasságvonala, magassága, magasságpontja Indításhoz kattints ide! Magasságvonal a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges egyenes. A Magasság a magasságvonalnak a csúcs és az oldal közötti része. . mb Jelölésük: ma mb mc . b c mc Magasságpont a magasságvonalnak metszéspontja. Amit a háromszögekről tudni kell M . ma B a C Miért kifogásolhatók a következő meghatározások? Magasságvonal a csúcsból a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenes. Magasságpont a magasságok metszéspontja. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Magasságvonala, magassága, magasságpontja Indításhoz kattints ide! Nézzük a magasságpont helyzetét derékszögű háromszög esetén! A A magasságpont a derékszög csúcsában van. . c b mb ma Amit a háromszögekről tudni kell . . mc B a M C Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Magasságvonala, magassága, magasságpontja Indításhoz kattints ide! Nézzük a magasságpont helyzetét tompaszögű háromszög esetén! Meg kell hosszabbítani az a oldalt. Nem lehet az A csúcsból az a oldalra merőleges egyenest bocsátani. Nem lehet a C csúcsból a c oldalra merőleges egyenest bocsátani. Meg kell hosszabbítani az c oldalt is. A . b ma c ? mb . ? ? C B a Amit a háromszögekről tudni kell mc . A magasságpont a háromszögön kívül van. M Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Magasságvonala, magassága, magasságpontja Összegzés Hegyesszögű háromszög esetén a magasságpont a háromszögön belül van. Derékszögű háromszög esetén a magasságpont a derékszög csúcsában van. Amit a háromszögekről tudni kell Tompaszögű háromszög esetén a magasságpont a háromszögön kívül van. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Indításhoz kattints ide! Súlyvonalai, súlypontja A háromszög súlyvonala az a szakasz, amely a csúcspontját a szemben lévő oldal felezőpontjával köti össze. Van még két csúcs! A Elnevezések: sa sb sc Fc sa Amit a háromszögekről tudni kell Fb S c sb b sc B a Fa C Súlypont a súlyvonalak metszéspontja. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszög súlyvonalai és súlypontja
A súlypont a súlyvonalat harmadolja. Két rész jut a csúcs és a súlypont közé, egy rész az oldal és a súlypont közé. 1.a. Indításhoz kattints ide! Harmadolja másképpen megfogalmazva: 2 : 1 arányban osztja. Vázlat: A sa sa sb sc Fc b Fb sc S A háromszög súlyvonalai és súlypontja c c c b sb Elnevezések: B a Fa C Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Indításhoz kattints ide! Súlyvonal súlypont a mindennapokban Ez nem egy repülő. Amit a háromszögekről tudni kell Súlypont a súlyvonalak metszéspontja. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszög nevezetes pontja és vonalai
A háromszög középvonala, középvonal-háromszög Indításhoz kattints ide! A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. A A középvonalak által alkotott háromszög a középvonal-háromszög. Ezt még kétszer megismételhetjük. Súlypont a súlyvonalak metszéspontja. sb b S Fc Fb sa sa A háromszög nevezetes pontja és vonalai c B a Fa C Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Thalész tétele Indításhoz kattints ide! Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk, amelynek átfogója a kör átmérője. Minek nevezzük azon pontok halmazát, amelyek egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak? A kört Thalesz körnek hívjuk. C3 C2 . . C1 . Amit a háromszögekről tudni kell A B O . C4 Termézetesen az AC oldal felezőmerőlegesén is. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Thalész tételének bizonyítása Indításhoz kattints ide! Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk, amelynek átfogója a kör átmérője. C . A háromszög csúcspontjai a kör középpontjától egyenlő (sugárnyi) távolságra vannak. α β r Keletkezett két háromszög. α β A Amit a háromszögekről tudni kell B Milyen háromszögek ezek? r O r Egyenlő szárú háromszögeket kaptunk. Az alapon fekvő szögek egyenlők. Az ABC háromszög belső szögeinek összege: α +β + α + β = 180º Ebből következik: 90º 90º Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Indításhoz kattints ide! Pitagorasz tétele A derékszögű háromszögnél az egyik befogó négyzete meg a másik befogó négyzete, egyenlő az átfogó négyzetével. Nézzünk egy derékszögű háromszöget! Jelenítsük meg az oldalak négyzeteit! Derékszöghöz a jelölés, mint rántott húshoz a panír. + = Amit a háromszögekről tudni kell c2 a2 b2 Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Pitagorasz tételének bizonyítása
A bizonyítás lényege: egyenlő területekből egyenlő területeket kivonva egyenlő területeket kapunk. Vegyünk két egyenlő területű négyzetet! Pitagorasz tétele A megmaradt területek egyenlők, amit bizonyítani kellett. Mozgassuk a négyzeteket! Indításhoz kattints ide! Vegyünk el mindkét „nagy” négyzetből egyenlő területeket! Húzzuk be az átlókat! A keletkezett háromszögek egybevágóak. Az oldalaik hossza a + b legyen! Bizonyítandó: a b a2 + b2 = c2 a b c2 c2 a2 a2 Pitagorasz tételének bizonyítása a b b2 b2 b a Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszögek egybevágósága
A háromszöget egyértelműen meghatározza: Két háromszög egybevágó, ha Indításhoz kattints ide! oldalaik páronként egyenlők három oldala két-két oldaluk és a közbezárt szögük egyenlő két oldala és az általuk közbezárt szöge c b b A háromszögeket egyértelműen meghatározó esetek alapján megfogalmazhatjuk az egybevágóságuk alapeseteit is. a = a’ γ a = a’ a b = b’ b = b’ a c = c’ c’ γ = γ’ b’ b’ γ' a’ a’ megegyeznek egy-egy oldalukban és a rajta fekvő két-két szögükben egy oldala és a rajta fekvő két szöge megegyeznek két-két oldalukban és a nagyobbikkal szemben fekvő szögükben. két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szöge Háromszögek egybevágósága a = a’ α γ a = a’ b b = b’ β γ = γ’ α = α’ a α' a β = β’ b’ γ' a > b β' a’ a’ Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszögek egybevágósága, összefoglalva
Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. Indításhoz kattints ide! 1.a. a = a’ c’ c b b = b’ b’ c = c’ a a’ Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. a = a’ b b’ γ b = b’ a γ = γ’ a’ γ' Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. c a = a’ Háromszögek egybevágósága, összefoglalva β γ γ' a’ γ = γ’ β' a β = β’ Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. α γ = γ’ b a = a’ α' b’ b = b’ α = α’ a a > b Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszögek területe Indításhoz kattints ide! 1.a. Először nézzük a hegyes szögű háromszöget! Egészítsük ki a háromszöget téglalappá! Mindegyik oldala különböző. Nézzük miből rakhatjuk ki a téglalapot! a ma Ami a téglalapban kétszer, az a háromszögben egyszer szerepel. A téglalap területe: a·ma Amit a háromszögekről tudni kell a A háromszög területe ennek a fele: Oldalak szerint Ne felejtsd el! A magassághoz úgy tartozik hozzá a derékszög, mint rántott húshoz a panír. Húzzuk be a hozzátartozó magasságot! Válasszuk ki az egyik oldalát! c b A háromszög területét úgy számítjuk ki, hogy az oldalt szorozzuk a hozzátartozó magassággal és osztjuk 2-vel. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

A háromszögek területe Indításhoz kattints ide! 1.a. Nézzük a derékszögű háromszöget! Egészítsük ki a háromszöget téglalappá! Nézzük miből rakhatjuk ki a téglalapot! Mindegyik oldala különböző. ma Két egybe vágó háromszögből. Ami a téglalapban kétszer, az a háromszögben egyszer szerepel. a a A téglalap területe: a·ma Amit a háromszögekről tudni kell Húzzuk be a hozzátartozó magasságot! Válasszuk ki az egyik oldalát! A háromszög területe ennek a fele: Oldalak szerint A háromszög területét úgy számítjuk ki, hogy az oldalt szorozzuk a hozzátartozó magassággal és osztjuk 2-vel. c b A derékszögű háromszögnek az „a”-val és ma –val jelölt oldalai a befogói. A derékszögű háromszög területét úgy is kiszámíthatjuk, hogy a befogók szorzatát osztjuk kettővel. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Háromszögek szerkesztésének alapesetei 1.a. A háromszöget egyértelműen meghatározza: három oldala két oldala és az általuk közbezárt szöge egy oldala és a rajta fekvő két szöge két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szöge b Amit a háromszögekről tudni kell c Ebből adódnak a szerkesztés alapesetei adott három oldala adott két oldala és az általuk közbezárt szöge adott egy oldala és a rajta fekvő két szöge adott két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szöge Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Adott három oldala 1.a. Adott három oldala Vázlat: b Amit a háromszögekről tudni kell c Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Összefüggés a háromszög oldalai között 1.a. Vázlat: b Amit a háromszögekről tudni kell c Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Adott két oldala és az általuk közbezárt szöge 1.a. Vázlat: b Amit a háromszögekről tudni kell c Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Adott egy oldala és a rajta fekvő két szöge 1.a. Vázlat: b Amit a háromszögekről tudni kell c Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Adott két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szöge 1.a. Vázlat: b Amit a háromszögekről tudni kell c Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Összefüggés a háromszög oldalai között 1.a. Rakj össze 12 cm-es, 5 cm-es és 4 cm-es szívószálakból háromszöget. Az előbbi probléma matematikai megfogalmazásban így hangzik: Vázlat: α Szerkessz háromszöget, ha oldalai 12cm, 5cm és 4cm hosszúak! c b β γ Amit a háromszögekről tudni kell c A háromszög-egyenlőtlenség: a Bármely kettő oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Hábel József Áprily Általános Iskola, Visegrád

Amit a háromszögekről tudni kell

Hasonló előadás

Az előadások a következő témára: "Amit a háromszögekről tudni kell"— Előadás másolata:

Hasonló előadás

Projectumról

Visszajelzés

Bejelentkezés

A társadalmi hálózaton keresztül belépni:

Amit a háromszögekről tudni kell

Hasonló előadás

Az előadások a következő témára: "Amit a háromszögekről tudni kell"— Előadás másolata:

Hasonló előadás

Projectumról

Visszajelzés