Számítógéppel támogatott problémamegoldás

Az előadások a következő témára: "Számítógéppel támogatott problémamegoldás"— Előadás másolata:

1 Számítógéppel támogatott problémamegoldás
Mire használhatjuk gépünket a tanítás folyamán (és mire nem)?

2 Alkalmazások: Internet – böngészés
(Speciálisan – kapcsolattartás) Multimédia (prof. felhasználói szoftverek) Amatőr programok (célfeladatok)

3 A repertoár átalakulása (?)
Hagyományos eljárások, eszközök megszűnése (gyökvonás, logaritmus, szögfüggvények) Új lehetőségek a PC-k megjelenésével: magasabbfokú vagy transzcendens egyenletek függvények vizsgálata (numerikus) analízis valószínűségszámítás, statisztika általában szimulációk stb.

4 Amatőr programok Amatőr és profi programok összehasonlítása
Iskolában: PC felhasználói ismeretek A programozás középiskolai tanítása ? Érvek: algoritmikus gondolkodásmód fejlesztése kevés (?) előismeret egyszerű célfeladatok megoldása (pl. matematika) műveltségi keret tágítása

5 Tárgyalt problémák - aritmetika
Születésnap-paradoxon Prímek száma (Euklidesz IX.20.) Hézagtétel Prímalgoritmus keresése Prímszám-polinom Diofantikus egyenlet számjegyekre

6 Sejtés és bizonyítás 8. Független vezér- és bástyaelhelyezések
9. Sierpinski-feladat Kitűzött feladatok: 10. Számjegyek négyzetösszegének ciklusa 11. Bolgár szoliter

7 1. Születésnap-paradoxon
Feladat: Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy 35 ember születésnapja az év 35 különböző napjára esik (366 nappal számoljunk)!

8 Születésnap-paradoxon (2)
Megoldás: Annak valószínűsége, hogy N ember mindegyike N különböző napon született, közelítőleg: OGYKMB.EXE

9 Születésnap-paradoxon (3)
A számítógép szerepe: nagyszámú, algoritmizált műveletsor gyors elvégzése Alulcsordulás (és túlcsordulás) jelensége A gépi számábrázolás problémái A problémák elvi jellege

10 2. Prímek száma Már Euklidesz megmutatta, hogy a prímek száma végtelen (Elemek, IX. könyv 20. tétel). Gyakori helytelen gondolatmenet a következő: „Indirekt tegyük fel, hogy véges sok prím van: p1, p2, p3, … , pn. Az Sn = p1p2p3 … pn + 1 szám a korábbi p1, p2, p3, … , pn tényezők egyikével sem osztható, tehát Sn újabb prím. Ellentmondást kaptunk, ebből következik, hogy végtelen sok prímszám van.”

11 Prímek száma (2) Megoldás:
A hibát ott követik el a tanulók, hogy bár Sn nem osztható a p1, p2, p3, … , pn prímekkel, de ebből még nem következik, hogy prím lenne. Elképzelhető az is, hogy Sn két (vagy több) olyan prímszám szorzata, amelyek pn-nél nagyobbak. A feladat ilyen tulajdonságú Sn keresése.

12 Prímek száma (3) OGYSZELM.EXE Mire használtuk a gépet?
Mire nem használhattuk a gépet?

13 3. Hézagtétel Feladat: Adjunk meg olyan természetes számot, amely után 8, illetve 15 szomszédos összetett szám következik! (KöMaL F.243.) Módosítás: Keressük meg a fenti tulajdonságú legkisebb természetes számokat!

14 Hézagtétel – észrevételek (1)
A feladat állítása szerint vannak olyan „szomszédos” prímek, amelyek távolsága 9, illetve 16. Ha találunk 8 szomszédos összetett számot, akkor találunk 9-et is (bővítés); elég a páros prímtávolságokat vizsgálni.

15 Hézagtétel – megoldások (2)
A 9! + 1 szám megfelelő: a 23456789 + 2, 23456789 + 3, … , 23456789 + 9 számok egyike sem lehet prím. Ügyesebb megoldás: 2357 + 2, 2357 + 3, … , 235 (212-től 219-ig; sőt még jó a 220 is.) Kérdés: vajon ez a legkisebb sorozat? OGYSZELM.EXE

16 4. Prímalgoritmus keresése
Írjuk fel a táblára: 43, 45, 47, 49, 51, 53, … karikázzuk be a 43-at, töröljük le a következő számot, 45-öt; karikázzuk be a következő számot, a 47-et, s töröljük le a következő két számot (49, 51); karikázzuk be a következő 53-at, s töröljük le a következő három számot (55, 57, 59); folytassuk az eljárást (mindig eggyel több számot törlünk le).

17 Prímalgoritmus keresése (2)
Melyik az így kapott első 30 szám? Fogalmazzunk meg egy sejtést!

18 Prímalgoritmus elemzése (3)
Megoldás: A kapott számok a következők: 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, … , 971. Sejtés: ezek mind prímek (sőt a továbbiak is: 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, …)

19 Prímalgoritmus – zárt alak (4)
Az n. bekarikázott szám zárt alakban: an = ·2 + 3·2 + 4·2 + … + n·2 = ·( … + n) = n2 + n + 41. A képlet már n = 0-tól prímeket ad. P(n) = n2 + n + 41 ún. prímszám-polinom.

20 Prímalgoritmus – kérdések (5)
Igaz-e, hogy az n2 + n + 41 képlet n = 0, 1, 2, … értékekre mindig prímet ad? Ha nem, adjunk meg ellenpéldát adó n értéket! Adjunk meg n  0-tól vagy n  40-től különböző n ellenpéldákat! Melyik a legkisebb n ellenpélda? Hányszor kapunk prímszámot a 0  n  99 esetekben?

21 Prímalgoritmus – válaszok (6)
OGYSZELM.EXE Válaszok: 4. A 0  n  99 intervallumban P(n) = n2 + n esetben prímszám.

22 5. Diofantikus egyenlet Feladat: Határozzuk meg azokat a természetes számokat, amelyek eggyel nagyobbak a számjegyeik kétszeres szorzatánál!

23 Egyenlet megoldása (1) Megoldási lépések:
Kétjegyű ab természetes számokra: 10a + b = 2ab + 1, innen (2a – 1)(b – 5) = 4. 2a – 1 páratlan, tehát egyetlen megoldás van: ab = 19 Háromjegyű abc számokra bonyolultabb az egyenlet: 100a + 10b + c = 2abc + 1.

24 Egyenlet megoldása (2) Érdemes programot írni, amely a feltételt n jegyű számokra vizsgálja meg. OGYSZJ.EXE Problémák: A program megírása n jegyű számokra; szükséges tudni, legfeljebb mekkora lehet n értéke. (!) (Egyáltalán van-e felső korlát n-re?)

25 Egyenlet megoldása (3) Becslés: an10n + an-110n-1 + … + a a0 = 2anan-1…a1a0 + 1. Bal oldalon az első tag kivételével a többit elhagyjuk; a jobb oldalon an kivételével a többi számjegy helyére 9-est írunk. an10n  2an9n + 1, innen közelítőleg:

26 Egyenlet megoldása (4) Ez csak n  6 esetén teljesül (vagyis n legfeljebb hétjegyű lehet). Mire használtuk a gépet? egzisztencia és konstrukció előtérben a matematikai gondolkodásmód Mire nem tudtuk használni a gépet?

27 6. Független figuraelhelyezések
Független bástyaelhelyezések Független vezérelhelyezések Független bástyaelhelyezések főátló-korlátozással (n = 5 eset) OGYKMB.EXE Sejtés a 3. feladatra?

28 Figuraelhelyezések (2)
Futási eredmények a 3. feladatra: n = , 2, 3, 4, 5, 6, E(n) = 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854 Sejtés: E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)) Bizonyítás: A, B, C, D, E és a, b, c, d, e párosítással:

29 Figuraelhelyezések (3)
1. a – B és b – A: E(n – 2) A B C D E a X b c … ... d e

30 Figuraelhelyezések (4)
2. a–B és b – nem A: E(n – 1) A B C D E a X b … ... c d e

31 Figuraelhelyezések (5)
Tehát: ha a – B, akkor E(n – 1) + E(n – 2) számú elhelyezés van. Az a – C, a – D , … szimmetria miatt összesen: E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)). A rekurzió megoldása:

32 9. Sierpinski-feladat Feladat: Milyen n pozitív egész számokra osztható n-nel a K = 2n + 1 kifejezés? OGYSZELM.EXE Eredmény: ha n < 100, n = 1, 3, 9, 27. Sejtés: n = 3k.

33 Sierpinski-feladat (1)
Bizonyítás: k-ra vonatkozó teljes indukcióval. A sejtés tehát igaz: ha n = 3k, akkor az oszthatóság teljesül. De: mi a helyzet egyéb n-ekre?

34 Sierpinski-feladat (2)
Észrevétel: az 1, 3, 9 számokra teljesül az n  2n + 1 indukciós lépés is. Újabb sejtés: ha n-nel osztható a 2n + 1 kifejezés (2n + 1 = kn), akkor 2n + 1-gyel is osztható 2kn + 1. A sejtés teljes indukcióval bizonyítható; így a 9 osztja összefüggésből 513 osztja is teljesül.

35 Sierpinski-feladat (3)
Mi a helyzet egyéb n-ekre? OGYSZELM.EXE