6. A MOLEKULÁK REZGŐ MOZGÁSA

Az előadások a következő témára: "6. A MOLEKULÁK REZGŐ MOZGÁSA"— Előadás másolata:

1 6. A MOLEKULÁK REZGŐ MOZGÁSA

2 6.1. A két tömegpontból álló harmonikus oszcillátor

3 Modell: harmonikus oszcillátor
Atommagokból álló pontrendszer, amely oszcillátor (minden tömegpontja az összes többihez rugóval kapcsolódik, megmozdítva rezeg) harmonikus (a rezgés során a tömegpontok kitérése arányos a rájuk ható erőkkel)

4 Legegyszerűbb modell: a két tömegpontból álló harmonikus oszcillátor
Rezgésének jellemzői: - erő - potenciális energia - rezgési frekvencia

5 Erő Hooke-törvény: de : egyensúlyi távolság d : aktuális távolság
k : a rugó állandó q : megnyúlás negatív előjel: a megnyúlás és az erő egymással ellentétes irányú

6 Potenciális energia

7 A rezgési frekvencia levezethető, hogy : saját frekvencia
: redukált tömeg

8 6.2. A kétatomos rezgő molekula Schrödinger-egyenlete

9 Kinetikus energia Mivel a mozgás csak egy irányba történik (jelöljük q-val!)

10 Potenciális energia

11 Az oszcillátor Schrödinger-egyenlete
A differenciálegyenlet megoldható!

12 A saját érték V : rezgési kvantumszám, lehetséges értékei: 0, 1, 2, …
: az oszcillátor saját frekvenciája

13 Energiaszintek Ev

14 Energiaszintek Ev A rezgési energiaszintek ekvidisztánsak, azaz egyenlő távolságra vannak egymástól. Ha v = 0, akkor is van rezgési energia: „zérusponti rezgési energia”.

15 Sajátfüggvények Kétatomos harmonikus oszcillátor potenciálgörbéje

16 Kiválasztási szabályok

17 Kiválasztási szabályok

18 Kiválasztási szabályok
Bármelyik állapotból történik az átmenet, az abszorpciós frekvencia ugyanaz. Megegyezik az oszcillátor saját frekvenciájával.

19 A közelítések tökéletlenek 1.
A kétatomos molekulák rezgőmozgása nem teljesen harmonikus. Ezek a frekvenciák nem esnek teljesen egybe, egy picit eltérnek egymástól. Szobahőmérsékletű gázoknál (pl. CO, HCl) a molekulák túlnyomó többsége alapállapotban van, az észlelt átmenetek 0 1-nél vannak.

20 A közelítések tökéletlenek 2.
A rezgő mozgást nem lehet teljesen szeparálni a forgó mozgástól. Foton elnyelésénél a rezgési és forgási energia is változik. Rezgési-forgási átmenetek kiválasztási szabálya: (a forgási kvantumszám!)

21 A HCl-gáz rezgési-forgási spektruma
P-ág : Q-ág: R-ág:

22 6.3. Az N pontból álló harmonikus oszcillátor rezgőmozgása

23 Modell: harmonikus oszcillátor
3 vagy több tömegpont minden tömegpont az összes többivel össze van kötve rugóval megmozdítás után harmonikus rezgést végez

24 Normál rezgések A többpontos oszcillátor rezgőmozgása bonyolult.
Felbontható 3N-6 normál rezgésre. (N a tömegpontok száma) Egy normálrezgésben az összes pont azonos frekvenciával rezeg azonos fázisban rezeg

25 Belső koordináták A rezgő mozgás tárgyalható Descartes-koordinátákban. Molekulákra szemléletesebb belső koordinátákat használni. Belső koordináták száma: 3N-6.

26 Belső koordináták kötés-nyúlás

27 Belső koordináták kötés-nyúlás kötésszög tágulása

28 Belső koordináták kötés-nyúlás kötésszög tágulása torzió

29 Belső koordináták kötés-nyúlás kötésszög tágulása torzió
kötés kihajlása síkból

30 Az N tömegpontból álló oszcillátor rezgőmozgásának számítása
Normálkoordináta -analízis Eredmények normálregések frekvenciája normálrezgések alakja (a belső koordináták járulékai) Kiindulási adatok tömegpontok tömege tömegpontok helykoordinátái erőállandók

31 Erőállandók A pontrendszer potenciális energiájának megváltozása, ha a belső koordinátáknak megfelelő infinitézimális kimozdulás hatására. A kétpontos oszcillátor rugóállandójának általánosítása 1. differenciálás 2. differenciálás

32 6.4 A többatomos molekulák rezgésének Schrödinger-egyenlete

33 Minden normálrezgésre felírható egy Schrödinger-egyenlet.
Az i-ik normálrezgésre: Hasonlít a 2 atomos molekula egyenletére Qi a „normálkoordináta”, az atomok mozgása az i-ik normálrezgésben. Megoldható!

34 A teljes molekula Schrödinger egyenlete
az egyes normálrezgésekre felírt egyenletek összege Megoldható!

35 Megoldások Sajátérték: Sajátfüggvény: saját fgv. is kijön

36 Megoldás az összes normál rezgésre
Sajátérték: Sajátfüggvény: : produktum, a tényezők szorzatára utal

37 Megoldás az összes normál rezgésre
Sajátérték: Sajátfüggvény: : produktum, a tényezők szorzatára utal megadja az atomok tartózkodási valószínűségét a tér különböző pontjaiban, az adott rezgési állapotban. függvények tükrözik a molekula szimmetriáját, azaz valamelyik szimmetria speciesbe sorolhatók.

38 Kiválasztási szabályok
egy foton elnyelésével csak 1 normálrezgés gerjeszthető b.) a molekulának nem kell permanens dipólusmomentummal rendelkeznie! (E nélkül is lehet észlelni rezgési átmeneteket, pl. szén-tetraklorid, benzol) c) A átmeneti momentum elemzésével kimutatható, hogy azok a normál rezgések gerjeszthetők, amelyek ugyanabban a szimmetria speciesbe esnek, mint Tx, Ty vagy Tz.

39 A C2v csoport karaktertáblázata

40 Példa: formaldehid molekula normálrezgései

41 Rezgési frekvenciák [cm-1]
n e n ie n ie n gy n gy n gy

42 6.5 Infravörös színképek

43 Rezgési átmenetek: Az infravörös tartományba esnek l=2-100 mm. Spektrum ábrázolása: Vízszintes tengelyen l helyett hulllámszám (n* [cm-1]) Értéke cm-1 Függőleges tengelyen intenzitás abszorbancia transzmittancia Minta: gáz, folyadék, oldat, szilárd anyag.

44 Metángáz infravörös színképének részlete

45 Ammóniagáz infravörös színképe

46 Kristályos acetanilid infravörös színképe KBr pasztillában

47 6.6 Fourier transzformációs infravörös spektroszkópia

48 A Fourier-transzformáció (matematikai összefoglaló)
Fourier-transzformáció továbbiakban FT. Két függvényt kapcsol össze, amelyek független változóinak dimenziói egymással reciprok viszonyban vannak. Például: idő-frekvencia Inverz FT: visszaállítja az eredeti függvényt.

49 Legegyszerűbb változat: Fourier-sor
Példa: sin függvény. Időtartományban: Frekvenciatartományban: Egyetlen frekvencia jellemzi: no=1/T és egyetlen amplitúdó, A.

50 Legegyszerűbb változat: Fourier-sor
Időtartományban: Példa: cos függvény. Frekvenciatartományban: Egyetlen frekvencia jellemzi: no=1/T és egyetlen amplitúdó, B.

51 Periodikus függvények Fourier sora
Mindegyik periodikus függvény felírható sin és cos függvényekből álló sorként. Szimmetrikus (páros) periodikus függvények sora: Antiszimmetrikus (páratlan) periodikus függvények sora: Aszimmetrikus(sem páros, sem páratlan) periodikus függvények sora:

52 Együtthatók: no = a T periódusidő reciproka. A Fourier-sor tagjainak periódusideje T, T/2, T/3 stb. (felhangok)

53 Fourier-sor felírása Euler-formulával
C(k) a komplex együttható: f(k): fázisszög

54 Példa: függvény Időtartományban: Frekvenciatartományban:

55 Példa: függvény Frekvenciatartományban:
Ha T nő , no =1/T csökken, a vonalak sűrűsödnek. Határesetben a függvény nem periodikus, no = 0, a vonalak végtelen sűrűn helyezkednek el, azaz folytonos függvényt adnak. Az összegzést integrálás váltja fel.

56 Inverz Fourier-transzformáció
(Frekvenciatartományból időtartományba transzformálás)

57 Fourier-transzformáció
(Időtartományból frekvenciatartományba transzformálás)

58 6.7 A Fourier-transzformációs spektrométerek

59 Michaelson-interferométer

60

61 Interferogram: Spektrum:

62 Acetongőzről készült interferogram

63 A Fourier-transzformációval kapott spektrum

64 A spektrum a háttérrel történő osztás után

65