Agárdy Gyula-dr. Lublóy László

Az előadások a következő témára: "Agárdy Gyula-dr. Lublóy László"— Előadás másolata:

1 Agárdy Gyula-dr. Lublóy László
MECHANIKA I. Agárdy Gyula-dr. Lublóy László 2005.

2 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐK FOGALMA, TULAJDONSÁGAI, HELYETTESÍTÉSI ÉS EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK ( HÉT)

3 AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Az ERŐ a testek egymásra hatásának mértéke.
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Az ERŐ a testek egymásra hatásának mértéke. az egymásra hatás lehet alakváltoztató hatás méretváltoztató hatás mozgásállapotváltoztató hatás Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: Következő dia: AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

4 AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Az ERŐ jellemzői: nagyság hatásvonal irány
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Az ERŐ jellemzői: nagyság hatásvonal irány támadáspont Mindezek alapján az ERŐ helyhez kötött vektormennyiségként kezelhető. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Következő dia: AZ ERŐ MEGADÁSA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

5 AZ ERŐ MEGADÁSA Számítás esetén: Szerkesztés esetén (csak síkban):
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ MEGADÁSA Számítás esetén: az erővektor 2 (térben 3) összetevője a hatásvonal egy pontjának két (térben 3) koordinátája Szerkesztés esetén (csak síkban): az erővektor nagysága és állásszöge a hatásvonal egyenesének egy pontja Az adatok egyértelműségéhez rögzített koordinátarendszer, ill. viszonyítási egyenes és szögforgásirány szükséges. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Következő dia: A KOORDINÁTA-RENDSZER Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

6 A KOORDINÁTARENDSZER a MECHANIKÁban alkalmazott koordinátarendszer Z Y
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A KOORDINÁTARENDSZER a MECHANIKÁban alkalmazott koordinátarendszer Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ MEGADÁSA Következő dia: AZ ERŐ JELÖLÉSE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK Y X Z az X-Y-Z koordinátatengelyeket úgy vesszük fel, hogy az egyik tengely pozitív ága felől nézve a második tengelyt a harmadik tengely állásába az óra járásával megegyező, pozitív derékszögű elfordítás vigye át az ilyen tulajdonságú koordinátarendszert ???? sodrásúnak nevezzük

7 AZ ERŐ JELÖLÉSE FX F FY FY=FY×i FX=FX×i i FX j FY aF X irányú vetület
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ JELÖLÉSE X irányú vetület Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A KOORDINÁTA-RENDSZER Következő dia: AZ ERŐK EGYEN-ÉRTÉKŰSÉGE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK i FX X j X irányú összetevő FX aF Y irányú vetület vektor Y irányú összetevő F FY FY hatásvonal Y FY=FY×i FX=FX×i

8 AZ ERŐK EGYENÉRTÉKŰSÉGE
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐK EGYENÉRTÉKŰSÉGE két, azonos hatást kifejtő erőcsoport EGYENÉRTÉKŰ (F1,F2,..Fi,..Fn)=(A,B,..V,W,Z) (F1,F2,..Fi,..Fn)=R (F1,F2,..Fi,..Fn)=(A,MA) (F1,F2,..Fi,..Fn)=(A,B,C) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ JELÖLÉSE Következő dia: AZ ERŐ HATÁSAI Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

9 AZ ERŐ HATÁSAI eltoló hatás eltoló ÉS elforgató hatás
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ HATÁSAI közös metszéspontú erők: eltoló hatás általános állású erők: eltoló ÉS elforgató hatás Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐK EGYEN-ÉRTÉKŰSÉGE Következő dia: AZ ERŐ NYOMATÉKA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

10 AZ ERŐ NYOMATÉKA MF(P)=-|F|×kF(P) F
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ NYOMATÉKA az F erő P pont körüli elforgató hatását az F erő P pontra vonat-kozó (forgató)nyomatékának nevezzük Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ HATÁSAI Következő dia: AZ ERŐ NYOMATÉKA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK X kF(P) P MF(P)=-|F|×kF(P) T aF F Y

11 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ NYOMATÉKA az F erő P pontra vonatkozó nyo-matékát összetevői nyomaték-összegeként is számíthatjuk Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ NYOMATÉKA Következő dia: A STATIKA 1. AXIÓMÁJA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK FX FY YT Y X XT XP YP P T MF(P)=-|F|×kF(P) MF(P)=-FX×(XT-XP)+FY×(XT-XP) kF(P) F aF

12 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A STATIKA 1. AXIÓMÁJA KÉT ERŐ AKKOR ÉS CSAK AKKOR VAN EGYENSÚLYBAN, HA HATÁSVONALUK KÖZÖS, VEKTORUK ELLENTETT Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ NYOMATÉKA Következő dia: A STATIKA 2. AXIÓMÁJA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK (F1,F2)=0 F1 F2 F1 F2

13 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A STATIKA 2. AXIÓMÁJA HÁROM ERŐ AKKOR ÉS CSAK AKKOR VAN EGYENSÚLYBAN, HA HATÁSVONALAIK KÖZÖS METSZÉSPONTÚAK, VEKTO-RAIKBÓL PEDIG ZÁRT, NYÍL-FOLYTONOS VEKTORHÁROM-SZÖG KÉPEZHETŐ Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A STATIKA 1. AXIÓMÁJA Következő dia: A STATIKA 3. AXIÓMÁJA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK (F1,F2,F2)=0 F1 F2 F3

14 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A STATIKA 3. AXIÓMÁJA EGY ERŐRENDSZER HATÁ-SA NEM VÁLTOZIK, HA ÖN-MAGÁBAN EGYENSÚLYBAN LÉVŐ ERŐCSOPORTOT ADUNK HOZZÁ, VAGY VESZÜNK EL BELŐLE. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A STATIKA 2. AXIÓMÁJA Következő dia: A STATIKA 4. AXIÓMÁJA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK [(F),(Q)]=R (Q)= (F)=R (F)=R (Q)=0 [(F),(Q)]=R

15 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A STATIKA 4. AXIÓMÁJA KÉT TEST EGYMÁSRA HATÁSAKOR A KÉT TEST ÁLTAL EGYMÁSRA KIFEJTETT ERŐ EGYMÁS ELLENTETTJE LESZ Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A STATIKA 3. AXIÓMÁJA Következő dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK F12 1 F21 2 1 2 F21 F12

16 KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|<|F2|
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|<|F2| Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A STATIKA 4. AXIÓMÁJA Következő dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK a két erő nyomatékösszege az eredő hatásvonalára zérus R=F1+F2 MR(R)=0=-F1×kF1(R)+F2×kF2(R) F1×kF1(R)=F2×kF2(R) kF2(R) F2 F1 kF1(R) = kF1(R) kF2(R) F1 R F2 az erőknek az eredőtől mért távolsága erőnagyságokkal fordított arányban áll

17 KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|<|F2|
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|<|F2| a két erő nyomatékösszege az eredő hatásvonalára zérus Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK R=F1-F2 MR(R)=0=-F1×kF1(R)+F2×kF2(R) F1×kF1(R)=F2×kF2(R) kF2(R) F2 F1 kF1(R) = kF2(R) kF1(R) F1 F2 R az erőknek az eredőtől mért távolsága erőnagyságokkal fordított arányban áll

18 KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|=|F2|
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|=|F2| eredő erő a vetületazonosság miatt nem lehet, a nyomaték viszont minden pontra azonos Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK P k kF2(P) (F1,F2)=R R=F1-F2=0 SMF1,F2(P)=+F1×(k+kF2(P))-F2×kF2(P) SMF1,F2(P)=+F1×k+F1×kF2(P)-F2×kF2(P) |F1|=|F2|=FF1×kF2(P)-F2×kF2(P)=0 SMF1,F2(P)=+F×k

19 KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE (szerkesztés)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE (szerkesztés) a vektorokat a hatásvonalakra rajzolva, S és S’ segéderőkkel Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia: ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK (S,F1,F2,S’)=R a harmadik axióma szerint: (R1,R2)=R (S,F1)=R1 (F2,S’)=R2 (S,S’)=0 F1 S R R1 R2 F2 S’

20 (F,M)=R F=R ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE kF(R)=M/F MF(R)+M=MR(R)=0
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE F M R kF(R) F=R MF(R)+M=MR(R)=0 MF(R)=-F×kF(R)=M kF(R)=M/F (F,M)=R egy erőhöz erőpárt adva az erő úgy tolódik el párhuzamosan, hogy a nyomatéknövekmény az erőpárt pótolja Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia: ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK az erőpárnak nincs erővetülete

21 S*=R ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE R (F,M)=R M=(S,S*) (F,S,S*)=R (F,S)=0 F S*
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE az erőpárt két erővel helyettesítve (F,M)=R az S segéderőt az F hatásvonalán, vele ellentett vektorral vesszük fel. (az 1. axióma szerint) M=(S,S*) (F,S,S*)=R (F,S)=0 S*=R Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Következő dia: AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK F M R kF(R) S S*

22 AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Ha egy F erőt egy A pontba akarunk áthe-lyezni, akkor az erő forgató hatását külön erőpárral kell pótolnunk. Ezt a műveletet az erő pontra redukálásának nevezzük. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Következő dia: HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK MA=(F×kF(A) F=(A,MA) A M F kF(R) A=F

23 HELYETTESÍTÉSI FELADATOK
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Egy (merev) testre az erők eltoló és elfordító, az erőpárok csak elfordító hatást fejtenek ki. Ennek alapján a csak erőpárokból álló erőrendszer eredője csak erőpár lehet a hatásvonalaikkal egyetlen pontra illeszkedő erők esetében az eredő erő hatásvonala is erre a pontra illeszkedik az eltoló hatásaikban (azonos irányú vetületeikben) zérust adó erőrendszerek eredőjének az eltoló hatás irányában álló tengelyre vett vetülete zérus a mind eltoló hatásaikban, mind pedig elfordító hatásaikban zérust adó erőrendszer eredője zéruserő, azaz az erőrendszer egyensúlyban van. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Következő dia: EREDŐ-MEGHATÁROZÁS Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

24 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK EREDŐMEGHATÁROZÁS az eredő vetületeit az erők vetület-összegei adják Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Következő dia: EREDŐ-MEGHATÁROZÁS Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK Y P X F1 F3 F2 F4 F5 kF1P kRP kF2P kF3P kF4P kF5P R az eredő helyét a nyomatékok azonossága alapján kapjuk

25 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK EREDŐMEGHATÁROZÁS a hatásvonalak X tengelymetszékeinek felhasználá-sával a nyomatéki egyenlet egyszerűbben írható fel Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: EREDŐ-MEGHATÁROZÁS Következő dia: KÖTÉLSOKSZÖGSZERKESZTÉS Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK Y X O F1 F3 F2 F4 F5 XF1 XR XF2 XF3 XF4 XF5 F1X F3X F5X RX F1Y F3Y F5Y RY R

26 KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉS
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉS az eredő helye kötélsokszögszerkesztéssel is előállítható Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: EREDŐ-MEGHATÁROZÁS Következő dia: KÖTÉLSOKSZÖGSZERKESZTÉS Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK (F1,F2,F3,F4,F5)=R + (S,F1,F2,F3,F4,F5,S’)=R (S,S’)=0 F1 F2 F3 F4 F5 R vektoridom-sugarak S0 S2 S3 S4 S5 S1 W PÓLUS S1=(S0,F1) S2=(S1,F2) S3=(S2,F3) S4=(S3,F4) S5=(S4,F5) kötéloldalak F1 F3 F2 F4 F5 S1 S2 S3 S4 S5 S0 S’0 R A VEKTOROK ÁBRÁJA A HATÁSVONALAK ÁBRÁJA S5=(S0,F1,F2,F3,F4,F5)(S5,S’0)=R

27 KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉS
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉS a szerkesztésben az erők sorrendje (konzekvensen) felcserélhető Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLSOKSZÖGSZERKESZTÉS Következő dia: AZ EREDŐ ESETEI Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK (F3,F1,F5,F2,F4)=R+ (S,F3,F1,F5,F2,F4,S’)=R (S,S’)=0 A VEKTOROK ÁBRÁJA F1 F3 F2 F4 F5 R kötéloldalak S0 S2 S1 S3 S4 S5 S1=(S0,F3) S2=(S1,F1) S3=(S2,F5) S4=(S3,F2) S5=(S4,F4) vektoridom-sugarak W PÓLUS S5=(S0,F1,F2,F3,F4,F5)(S5,S’0)=R A HATÁSVONALAK ÁBRÁJA F1 F2 F3 F4 F5 R S0 S2 S3 S4 S5 S1

28 AZ EREDŐ ESETEI EREDŐ SZÁMÍTÁS SZERKESZTÉS általános erő SFiX≠0 ÉS
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ EREDŐ ESETEI EREDŐ SZÁMÍTÁS SZERKESZTÉS általános erő SFiX≠0 ÉS SFiY≠0 a vektorsokszög nyitott X irányú erő SFiY=0 a vektorsokszög nyitott (a kezdő- és a végpont Y ordinátája azonos) Y irányú erő SFiX=0 ÉS a vektorsokszög nyitott (a kezdő- és a végpont X ordinátája azonos) erőpár SFiY=0 ÉS SMitetszőleges pontra≠0 a vektorsokszög zárt, de a kötélsokszög nyitott zéruserő (egyensúly) SMitetszőleges pontra=0 a vektorsokszög zárt, és a kötélsokszög zárt Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLSOKSZÖGSZERKESZTÉS Következő dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

29 HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) AX, AY és B számítá-sához a három statikai egyenlet elegendő Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ EREDŐ ESETEI Következő dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK F1 F3 F2 F4 F5 Y X F2 F4 A b aB F1X F3X F5X F1Y F3Y F5Y BX BY B AX AY XA XF1 XF2 XF3 XF4 XF5 XB

30 HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) az egyenletből a B erő nagysága és irányítása közvetlenül számítható Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK a vetületi egyenletekben az A erőnek csak egy-egy összetevője szerepel F1 F3 F2 F4 F5 Y X F2 F4 A b aB F1X F3X F5X F1Y F3Y F5Y BX BY B AX AY XA XF1 XF2 XF3 XF4 XF5 XB

31 HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) A kötélsokszögben minden erőhatásvonalon két kötéloldal metsződik. Az A erő hatásvonalának csak egyetlen pontja ismert, ezért a szerkesztést ezen a ponton kell kezdeni. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK W PÓLUS A F1 F2 F3 F4 F5 S0 S2 S3 S4 S5 S1 Száró B A kötélsokszög tulajdonságai alapján meg-határozott záróoldal a vektorábrában kijelöli az A és B vektor közös pontját. (F1,F2,F3,F4,F5,)=(A,B) Száró F1 F3 F2 F4 F5 S0 S2 S3 S4 S5 S1 A b

32 HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) A vektorábrában az A és B erők helyzete is felcserélhető, de a szer-kesztést mindig az A erőhöz csatlakozó kötéloldallal kell kezdeni. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK W PÓLUS Száró F1 F2 F3 F4 F5 S0 S2 S3 S4 S5 S1 A B (F1,F2,F3,F4,F5,)=(B,A) S0 S2 S3 S4 S5 S1 F1 F3 F2 F4 F5 Száró A b

33 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel) A hatásvonalak ismeretében az erők előjeles nagyságának meghatározására a három statikai egyenlet elegendő. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK AY BY CY AX BX CX X Y D kA(D) kB(D) kR(D) c b a R a b c A B C R RX RY SFiX=RY=AX+BX+CX SFiX=RY=AY+BY+CY SMi(D)=MR(D)=MA(D)+MB(D)+MC(D) R=(A,B,C)

34 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) A D pontra felírt nyomatéki egyenletben nem szere-pelnek a D ponton átmenő hatásvonalú erők. Ha a pontot két ismeretlen erő hatásvonalának metszés-pontjában vesszük fel, az egyenletben csak a har-madik erő az ismeretlen. Az ismeretlen erők hatás-vonalainak metszéspontját a harmadik erőhöz tarto-zó FŐPONTnak nevezzük. A főpontokra felírható három nyomatéki egyenletből az erőnagyságok közvetlenül számíthatók. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK SMi(OA)=MR(OA)=MA(OA)+MB(OA)+MC(OA) SMi(OB)=MR(OB)=MA(OB)+MB(OB)+MC(OB) SMi(OC)=MR(OC)=MA(OC)+MB(OC)+MC(OC) R=(A,B,C)

35 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) a főponti nyomatéki egyenletek: Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK SMi(OA)=MR(OA)= SMi(OB)=MR(OB)= SMi(OC)=MR(OC)= - R×kR(OA)=+A×kA(OA)=MA(OA) +R×kR(OB)= -B×kB(OB)=MB(OB) - R×kR(OC)= -C×kC(OC)=MC(OC) kR(OB) R a c OB OC OA kB(OB) kA(OA) kC(OC) kR(OC) kR(OA) A B C b a főpont a két másik erő hatásvo- nalának metszéspontja

36 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) Ha két ismeretlen erő párhuzamos, a harmadikhoz nem található főpont, viszont a párhuzamos erőkre merőleges vetületi egyenletből a harmadik erő közvetlenül számítható. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK tB R A B C a b c OC OA kA(OA) kC(OC) kR(OC) kR(OA) R=(A,B,C) SMi(OA) =MR(OA)=MA(OA) +MB(OA) +MC(OA) SFi,tB =RtB =AtB +BtB +CtB SMi(OC) =MR(OC)=MA(OC) +MB(OC) +MC(OC)

37 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) Ha mindhárom erő párhuzamos, és a helyettesítendő erő is párhu-zamos, akkor a rájuk merőleges tengelyre vett vetületi egyenlet „üres”, a három ismeretlenre csak két egyenletünk marad, a feladat határozatlan. A t R C B Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK t R A C B Ha mindhárom erő párhuzamos, de a helyettesítendő erő velük nem párhuzamos, akkor a he-lyettesítő erők a rájuk merőleges erőkomponens helyettesítésére nem képesek, a feladat megoldhatatlan.

38 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK R=(A,B,C) Q=(A,B) R=(Q,C) a c b R q C Q A B a hatásvonal-ábra a vektorábrák

39 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK R=(A,B,C) Q=(B,C) R=(Q,A) a c b R q a hatásvonal-ábra a vektorábrák A Q B C

40 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK R=(A,B,C) Q=(A,C) R=(Q,B) a B q R C R Q b c A

41 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, hasonlósági módszer)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, hasonlósági módszer) A CULMANN szerkesztés geometriai és vektorábrájában a hasonlóság kihasználásával is felírható az eredővel (közel) párhuzamos erő nagysága. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK A B C R Q K II. I. III. a c b q zR z1 z2 s a geometriai ábra a vektorábra

42 (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, hasonlósági módszer)
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, hasonlósági módszer) Ha két ismeretlen erő párhuzamos, a har-madik meghatározása a hasonlósági mód-szerrel (a metszékazonosságok miatt) igen egyszerű. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: NYOMATÉK SZERKESZ-TÉSSEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK B z2 z1 zR s a c b R

43 NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL a kötélsokszög segítségével az erőrendszer forgatónyomatéka is számítható Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: NYOMATÉK SZERKESZ-TÉSSEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK (F1,F2,F3,F4,F5)=R=A,MA F1 F2 F3 F4 F5 R=A S3 S0 S2 S4 S5 S1 H A R MA F1 F2 F3 F4 A F5 S4 kQA S1 S2 S3 S5 S0 W PÓLUS S’0 vRA kRA

44 NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL a hasonló háromszögek rész-erőcsoportok nyomatékmeghatározására is alkalmasak Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: NYOMATÉK SZERKESZ-TÉSSEL Következő dia: LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK F1 F2 F3 F4 F5 R S3 S0 S2 S4 S5 S1 H2-4 R2-4 (F2,F3,F4,)=(A2-4,MA,2-4) R2-4 kR2-4A A2-4 MA,2-4 vR2-4A S4 F1 F3 F2 F4 F5 S1 S2 S3 S5 S0 S’0 A

45 LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK a vonalmenti megoszló teher eredője a terhelési ábra területével, hatásvonala a terhelési ábra súlyvonalával egyezik meg. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: NYOMATÉK SZERKESZ-TÉSSEL Következő dia: VETÜLETI INTENZITÁSOK Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK R XR Z (q)=R q(X) X A X+DX X B

46 VETÜLETI INTENZITÁSOK
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK VETÜLETI INTENZITÁSOK merőleges megoszló teher esetén a vetületi intenzitások az eredeti teherintenzitással megegyező értékűek Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK Következő dia: INTENZITÁS-VETÜLETEK Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK qZx ds dR dRX dRZ a dZ dX q qXz dRX=dR×sina dRZ=dR×cosa dR=q×ds a dR=(dRX,dRZ) qXz=dRX/dZ=dR×sina/(ds×sina) qZx=dRZ/dX=dR×cosa/(ds×cosa) qXz=dR/ds=q qZx=dR/ds=q

47 INTENZITÁSVETÜLETEK dR=q×ds q=dR/ds dR=(dRX,dRZ) qXs=dR×sina/ds=q×sina
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK INTENZITÁSVETÜLETEK merőleges megoszló teher hatása a ferde hosszon mért intenzitásvetületekkel is meghatározható Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: VETÜLETI INTENZITÁSOK Következő dia: MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK dRX=dR×sina dRZ=dR×cosa qZs qXs qZs×ds=dRZ a dZ dX dR=q×ds q=dR/ds ds dR=(dRX,dRZ) qXs×ds=dRX qXs=dR×sina/ds=q×sina qZs=dR×cosa/ds=q×cosa

48 MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER a felületre merőleges megoszló teher (pl. víznyomás) a vetületi intenzitások összefüggése alapján komponenseivel vehető figyelembe Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: INTENZITÁS-VETÜLETEK Következő dia: KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK a vízszintes komponens a mélység lineáris függvé-nye, eredője háromszög (trapéz) ábrából számítható a függőleges komponens (is) a mélység lineáris függvénye, eredője a függőleges vetületi hosszak ábrájából számítható h×g×r h×g×r

49 KÖTÉLGÖRBE Rbal Rbal R R SA SA SK SK MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK
A párhuzamos megoszló teher hatására a végtelen hajlékony, súlytalan kötélben ébredő kötélerő grafikus meghatározása a megoszló teherre rajzolt kötélgörbe és vektorábra segítségével lehetséges. Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER Következő dia: KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK Rbal SA A Rbal K B R SA SK SK R a kötélerő vízszintes összetevője minden keresztmetszetben azonos

50 R KÖTÉLGÖRBE H ai+1-ai ai ai+1 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK
tg(ai)=(DZ/DX)i tg(ai+1)=(DZ/DX)i+1 Zi Zi+1 Z=Z(X) q=q(X) X Z Qi=q(Xi)×DX L egy lamella részeredőjének geometriai összefüggései Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLGÖRBE Következő dia: KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK W R H ai+1 ai ai+1-ai Qi=H×tg(ai+1)-H×tg(ai)= =-H×Dtg(ai)

51 KÖTÉLGÖRBE határátmenetben: MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK
A kötélgörbe Z(X) függvénye a geometriai összefüggések alapján írható fel Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLGÖRBE Következő dia: KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK R SK SA Rbal R SK Rbal A K B SA határátmenetben:

52 EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK Az egyensúlyozási feladatok mindegyike a helyettesítési feladatokra vezethető vissza: Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLGÖRBE Következő dia: Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK (F)=R [(F),Q]=0 (F)=(A,MA) [(F),QA,MQA]=0 (F)=(A,B) [(F),QA,QB]=0 (F)=(A,B,C) [(F),QA,QB,QC]=0