Numerikus differenciálás és integrálás

Az előadások a következő témára: "Numerikus differenciálás és integrálás"— Előadás másolata:

1 Numerikus differenciálás és integrálás
y y f ’(x) f(x) f(x)  f(x) x x x1 x1 x2 Gräff József

2 Tartalomjegyzék Numerikus differenciálás módszerei
Első és második differencia hányados A módszer tulajdonságai Differenciál egyenlet átírási módja Numerikus integrálás módszerei Egylépéses formulák Többlépéses formulák Runge-Kutta módszer

3 Numerikus differenciálás
Adott egy f(x) valós függvény, melynek szeretnénk adott pontjaiban a függvény érintőit meghatározni numerikusan. Ha f(x) differenciálható, akkor differenciálhányadosa közelítőleg előállítható a függvény értékek lineáris kombinációjaként. Ez akár differenciál egyenleteket numerikus megoldásához is felhasználható.

4 Differenciálás Legyen az f(x) függvény diszkrét pontokban adott:
yi = f(xi) Ahol: xi azok a diszkrét pontok, ahol a függvény értékét keressük, erre igaz, hogy xi+1 = xi+h h a lépésköz yi a függvény értékek a diszkrét pontokban

5 Első derivált kiszámítása
Matematikailag levezethető az alábbi összefüggések: A közelítési hiba nagyságrendje: f ’(xi) Jelentése: Az i-edik helyen úgy közelítjük meg a függvény meredekségét, hogy felírjuk xi-1 és xi+1 helyen levő függvény értékek által alkotott húr meredekségét. y f(x) yi+1 yi-1 y’ h h x xi-1 xi xi+1

6 Második derivált meghatározása
Matematikailag levezethető az alábbi összefüggések: A közelítési hiba nagyságrendje: Jelentése: Az i-edik helyen úgy közelítjük meg a függvény meredekségét, hogy felírjuk xi-1 és xi+1 helyen levő függvény értékek által alkotott húr meredekségét. y f(x) yi+1 yi-1 h x xi-1 xi xi+1 h h

7 A módszer tulajdonságai
Könnyű, egyszerű képletek Az f(x) függvény pontjait ismerni kell A differenciálás a mérési hibákat, hirtelen ugrásokat nagyon felnagyítja, stabilitási problémák adódnak Szimulációhoz nagyon kicsi lépésköz kell

8 Differenciál egyenlet átírása
Tekintsük az alábbi, klasszikus másodrendű differenciál egyenletet: Az egyenlet a differencia hányadosok segítségével így alakul: Ahhoz, hogy a következő, tehát x(ti+1) értéket megkapjuk, ki kell fejezni a fenti egyenletből (egyszerűsítések után):

9 A D.E. kezdőértékei Adottnak tekintjük a következő kezdeti értékeket:
Viszont x1-re is szükségünk van, ezért azt kénytelenek vagyunk a kezdeti feltételekből kikövetkeztetni: x x’0 x1 = x0+x’0*h Ha ez megvan, akkor iterációval x2-től kiszámítható minden x érték x0 t h