Válaszok Prof. Fodor János bírálatára

Ezúton is köszönöm Prof. Dr Ezúton is köszönöm Prof. Dr. Fodor Jánosnak a doktori disszertációm bírálatával kapcsolatos gondos és alapos munkáját. Az opponensi véleményben megfogalmazott kérdésekre és felvetésekre adott válaszaim a következők.

„Mit is állít pontosan a Theorem 1. 6. ” Az 1. 6 Tétel a 2 „Mit is állít pontosan a Theorem 1.6?” Az 1.6 Tétel a 2. oldalon levő 5 feltételének megfelelő operátor a c(x,y) (illetve d(x,y)) operátorok generátor függvényeinek alakjára vonatkozik. A tétel megfogalmazásában a feltétel valóban nem szerepel.

„A 19. oldal tetején szereplő különböző, de ugyanúgy -val jelölt függvények csak igen kivételes esetben negációk a disszertáció értelmében (bármelyik akkor és csak akkor involutív, ha K=1).” A megfogalmazás itt nem jó. A példák azért kerültek említésre, mert az 1.4 fejezet eredménye kevés az involutívság meglétéhez. Tehát a felsorolt példák éppen ellenpéldák lennének, és az indokolja a következő fejezet tételeit. Az 1.5-1.6 fejezetben adjuk meg a negáció általános alakját, ahol az involúció már teljesül. Az 1.7 fejezetben pedig az involutív negáció konstrukciójára adunk példát.

„A legfontosabb észrevétel: egy uninorma pontosan akkor reprezentálható, ha az egy aggregatív operátor (Theorem 2.23). Nem lett volna szükség ennek bizonyítására, mivel az az opponens egy 1997-es cikkében (lásd. Bibliography [53]) már megjelent.”   A 2.23 Tétel kimondása és bizonyítása az opponens érdeme. Ebben a témában a szerzőtársammal közösen írt elfogadás alatt álló cikk része az értekezésnek. Figyelmetlenség okozta, hogy nem vettük észre az azonosságot. Szeretném megjegyezni, hogy az opponens észrevétele alapján a közlésre benyújtott cikket korrigáltuk és ezt a bizonyítást elhagytuk, hivatkozva az opponens eredményére.  

  „Miért definiálja újra a "multiplicative pliant system" fogalmát (Definition 2.41, v.ö. Definition 1.29)?”   A multiplicative pliant rendszert egyrészt a több negációval létező DeMorgan azonosság biztosítja (1. fejezet), másrészt a konjunktív és diszjunktív operátorokból származtatott Pan operátorok azonossága. Meglepő módon a két tétel eredménye ugyanaz. Így ez alapján is definiálható lenne a pliant rendszer, ezért maradt az értekezésben. Összefoglalva: a két definíció azonos és valóban, a második elhagyható.

„A 30. oldalon szereplő 1. axióma kapcsán azt írja a szerző, hogy „The aggregation of totally polar values can be interpreted in various way.” Én úgy tudom, hogy – az asszociativitás miatt - csak kétféleképpen: a(0,1)=a(1,0)=0 vagy a(0,1)=a(1,0)=1.”   A bírálónak igaza van, mert bár az aggregative operátornak {0,1} és {1,0} pontokban szakadása van, az asszociativitás megőrzése mellett az aggregáció ezen pontokban csak úgy értelmezhető, ha 0 vagy 1 értéket vesz fel. A tétel megtalálható a Forod, Yager és Rybalov Structure of Uninorms cikkében.  

„Miért csak a Definition 2 „Miért csak a Definition 2.19-ben vezeti be az aggregatív operátor fogalmát, amikor a korábbi 2.1 szakasz erről szól?”   Az értekezés ezen fejezetének bevezető részében a korábbi eredmények ismertetése történt, az aggregáció pontos definíciójának megadása nélkül. A következő fejezet az aggregáció uninorma és Pan operátorokkal való kapcsolatáról szól, ezért szükség volt a pontos megfogalmazásra. Valóban, a bevezető részben kellett volna a pontos definíciót megadni.  

„A Definition 2.41 kapcsán felmerül a kérdés: van nem multiplikatív (pl. additív) „pliant system” is?”   Additív pliant definiálható, ami a „nilpotens” operátorokhoz rendelhető. Mivel a generátor függvény konstans szorzó erejéig meghatározott, így elérhető, hogy  fc:[0,1][0,1] fd:[0,1][0,1]  Additív pliant rendszerről akkor beszélünk, ha fc(x) + fd(x) = 1. Az értekezés azonban nem foglalkozik ezen operátor osztály vizsgálatával.  

„Mi a különbség a Corollary 2.34 és a Theorem 2.43 között?”   Corollary 2.34. a disztributivitást a logikai operátor és a hozzátartozó aggregációs operátorra vonatkozólag mondja ki, míg a 2.43 Tétel pedig a pliant operátorokra vonatkozólag. Ez utóbbi speciális esete 2.34-nek, ezért valóban elhagyható. A 2.43-at az indokolja, hogy a pliant rendszerben a disztributivitás mindkét logikai operátorra automatikusan teljesül.

„A szerző nem definiálja, hogy mit ért „mean operator” alatt „A szerző nem definiálja, hogy mit ért „mean operator” alatt. A Theorem 3.9 alapján úgy tűnik, hogy az Aczél-féle kvázi-lineáris közepeket.”   Valóban, a mean operátor is Aczél-féle kvázi lineáris közép. A definíció valóban hiányzik.

„We can recognize that two types of weighted procedure are.” „A súlyokra vonatkozó axiómák alapján a szerző megállapítja (64.oldal közepe), hogy „We can recognize that two types of weighted procedure are.” Kérdésem: hova sorolná például a súlyozott maximum (maxi=1n (min(wi, xi)), wi ≥ 0, max wi=1) aggregációt? Ez egyáltalán közép a disszertáció értelmében?” A többtényezős döntéseknél (pl. AHP) az értekezésben tárgyalt két súlyozási eljárást alkalmazzák. E két példa alapján határoztam meg a 3.2.5 alatti absztrakt tulajdonságokat. Az értekezés ezen részének célja a súlyozási transzformáció alakjának szükséges és elegendő feltételének meghatározása. A 64. oldal közepén az állítások a példákra vonatkoznak (és nem általános érvényűek). Megjegyzem, hogy az értekezés értelmében a súlyozott maximum nem felel meg a súlyozási transzformációnak.

„Mi a szerepe és az üzenete a 3.2.12 és a 3.2.13 szakaszoknak?”   Az operátor generátor függvénnyel való reprezentációja mindig megadja a helyes súlyozást. A 3.2.14 ennek nem felel meg, mégis (pl. a pszichológia területén) találkozhatunk ezzel a rossz képlettel. A gyakorlatban a fordított súlyozásra gyakran van szükség. A 3.2.13 egy javaslat, amit sikeresen lehet alkalmazni. A 3.2.12 és 3.2.13 bekezdések az értekezés szempontjából valóban nem relevánsak és elhagyhatók.

„A szerzővel egyetértek: fuzzy implikációk esetén az „identity principle” valóban fontos. A mértékadó nemzetközi irodalom szerint ugyanakkor legalább ilyen fontos az, hogy az i(x,0) függvény erős negáció legyen. Ez a szerző által vizsgált környezetben soha nem teljesül.”   Az implikáció természetes bevezetése („nem x vagy y”) esetén az „identity principle” (egy akkor és csak akkor állítás) szigorú monoton növő operátorok esetén nem teljesül. Az értekezésben mégis ezt az utat választottam. A 4.3 és 4.5 tétel azt mondja ki, hogy 0 küszöb bevezetésével az identity principle „egyik” oldala érvényes és a 4.4 tétel szerint a másik oldala nem érvényes. A 4.1.2 fejezet pedig ennek a „fél-oldalas” teljesülés hasznosságát mutatom meg. Az észrevétel második részére a következő a válasz. Mivel Ezért i(x,0)=(x) teljesül. Az értekezés ezt az állítást nem tartalmazza.

„A Proposition 4.6 (a) része mit is állít pontosan?”   Sajnos gépelési hiba történt. i:[0,1)  [0,1] ≥ [0,1) Helyett i:[0,1]  [0,1]  [0,1] írandó.

„Érdemes lett volna megjegyezni, hogy a Definition 4 „Érdemes lett volna megjegyezni, hogy a Definition 4.14- ben szereplő tranzitivitás nem a szokásos fogalom. Ez az irodalomban „weak stochastic transitivity” néven ismert.” A 4.14 valóban a weak stochastic transitivity néven ismert.

„Mi a szerepe a Definition 4.11-nek és a 4.16-nak? Hol jut szerephez a fogalom az értekezésben?” A 4.10 Tétel indokolja a 4.11 Definíciót. A 4.14 is megfogalmazható a 4.11 segítségével. A 4.16 képfeldolgozás területén került alkalmazásra. Az értekezés szempontjából a definíció valóban elhagyható.

„A nagy K a (4.3.6)-ban ugyanaz, mint a kis k (4.3.9)-ben?” Valóban, a 4.3.9-ben K-nak kellene szerepelnie.  

„A 92. oldal alján a Remark 5.1-ben az szerepel, hogy „… in fuzzy set theory the membership functions always define on R”. Nos, a tagsági függvény fogalma ennél jóval általánosabb. Legfeljebb gyakorlati problémákban szerepelnek „mindig” a valós számok ilyen speciális fuzzy részhalmazai (fuzzy mennyiségek, fuzzy számok).” Valóban, a fuzzy elméletben a tagsági függvény fogalom nagyon széleskörű. Értelmezés szerint létezik ennek: likelihood, random set, similarity, utility theory, measurement theory, stb. alapú értelmezése, és ennek meghatározása az értelmezéstől is függ. A Foundamentals of fuzzy set monográfia több mint 10 módszert ismertet a lehetséges meghatározásokra. Az értekezés egyik célja ennek a fogalomnak az operátorfüggő egyértelmű értelmezése. Valóban, a gyakorlatban R-en szokás értelmezni a halmazhoztartozási függvényt. (Véleményem szerint ugyanúgy, mint a valószínűségszámításban az események nagyon sokfélék lehetnek. A valószínűségi változó az  eseményeken értelmezett függvény, ami R-re képezi le az eseményeket és ez teszi lehetővé a valószínűségszámításban az algebrai műveletekkel való számolást.)

„Az 5.5 szakaszban szereplő (5.5.1) képlet micsoda? Egy állítás?” 5.5.1 és 5.5.2 állítás és 5.5. tétel tulajdonság listában lenne a helye. (Bizonyítása nyilvánvaló.)

„Mit jelent (5.5.2)-ben P(λ)(x,y)? Eddig nem szerepelt, és a List of symbol sem tartalmazza.” 5.6.2-ben van a P(λ)(x,y). (4 sorral lejjebb található.) Amennyiben 18 válasz pontnak megfelelő cserét végrehajtjuk, az értelmezés nehézsége megszűnik.

„Mit jelent a „pliant notation” kifejezés (5.5.3)-ban? Eddig ez sem szerepelt.” A pliant kifejezések írására kidolgoztam egy egyszerűsített, könnyen értelmezhető jelölés rendszert. Pl. az 5.5.1 képlet 5.5.3-mal ekvivalens. Az 5.5.3 sor véletlenül maradt az értekezésben.

  „Korábbi cikkeiben a szerző is a fuzziság (fuzziness) és nem a bizonytalanság (vagueness) mértékéről beszélt. Mi indokolja ezt a váltást, és mi a különbség a két fogalom között?” A vagueness measure bevezetését a fuzziness measure fogalom indokolta. A vagueness measure operátorfüggő és nem normalizált. A 6.6 Tétel tetszőleges logikai kifejezés bizonytalanság (vagueness) mértékének alsó és felső korlátját megadja. Normalizált mérték esetén a tétel kimondása nem lehetséges.

„A fejezetben közölt eredmények bármilyen számosságú alaphalmazon érvényesek?”   Diszkrét halmazon összegzést kell végezni, a valós számok felett integrálást (6.1.11)

„Van-e olyan fuzziság mérték, amelyik kielégíti a (P1)-(P6) tulajdonságok mindegyikét?” Amennyiben (P5)-ben a min és max szerepel, az entrópia alapú fuzziság mérték kielégíti (P1)-(P6) tulajdonságokat.

„Mi indokolja azt, hogy az értekezésben használt szaknyelvi szókincs és jelölésrendszer is teljesen eltér a nemzetközileg elfogadott standardoktól? Ez – ha valaki nem a legelejétől olvassa az értekezést, hanem csak néhány tételre kíváncsi – félreértésre adhat okot. Bizonyos szakaszokban ugyanakkor visszatér a nemzetközileg elfogadott terminológia használatához.” A pliant rendszer kidolgozását a fuzzy kutatások indukálták, és a fuzzy területén felmerült kérdések megválaszolását egy egységes rendszer keretein belül célozták meg. A fuzzy operátorok elmélete az elmúlt évtizedekben hatalmas fejlődésen ment keresztül. (Az utóbbi évben két nagy monográfia is megjelent: Grabish, Marichal, Mesiar, Pap: Aggregtion function, Cambridge és Beliakov, Pradera, Calvo: Aggregation Functions: A guide for practitioners, Springer.) A konjunktív és diszjunktív operátorok általánosításaként a t-normák és co-normák fogalma vált dominánsá. Az értekezés nem ezen általános műveletekkel foglalkozik és nem további általánosításokra törekszik, hanem a specializáció irányát választja. A szigorú monoton növő archimédeszi család elemei közül választja ki a pliant rendszert. A fuzzy halmazok elméletének területén a kutatók számára valóban érdemes lett volna mindig a kialakult terminológiát és jelölést használni: tehát konjunkciós operátor helyett szigorú monoton archimédeszi t-normát írni, c(x,y) helyett t(x-y)-t (vagy ┬(x,y)-t) írni. Ezen kívül d(x,y) helyett s(x,y)-t (vagy ┴(x,y)-t) valamint (x) helyett N(x)-et lehetett volna írni a negációra. Továbbá terminológia szempontból pedig mindig erős negációt használni negáció helyett. (Az involutív negáció az erős negáció. A pliant rendszer negációja pedig mindig involutív.) Célszerű lett volna az értekezés elején egy külön fejezetben a pliant fogalmak definícióját előre megadni és a szokásostól eltérő terminológiát, jelölésrendszert használni. Most az értekezésben mindig a megfelelő témakörnél szerepelnek a terminológia megfogalmazások és jelölések. A nemzetközi terminológiát az értekezés valóban csak akkor használja, amikor erre a fuzzy területen elért eredményekhez való viszonyt kell tisztázni.

„A Preface utolsó előtti mondata szerint az 1-7 fejezetek minden eredménye a szerzőé. Kérdésem: például A Theorem 1.2 is? Sokkal óvatosabban és egyértelműbben célszerű ilyen kijelentéseket tenni. Másrészt mások eredményeit a témában nem jártas olvasók számára is minden kétséget kizáróan azonosíthatóvá kellett volna tenni.” Sajnálatos módon az értekezésben szereplő több mint 100 tétel és lemma közül az 1.2 és a 2.23 nem a saját eredményem.

„Az értekezés sok fejezete úgy indul, mintha nem lennének az abban tárgyalt témának irodalmi előzményei, egyetlen forrásra sincs hivatkozás – bár e források a felhasznált irodalom között fel vannak tüntetve. Az irodalmi előzményekkel tartalmilag is illett volna alaposabban összevetni a szerző megközelítéseit, eredményeit.” Az irodalmi előzményeket a pliant koncepció kialakítása szempontjából tárgyaltam. A nagy és hatalmasra duzzadt fuzzy kutatásokra való részletes reflexió az értekezés hosszát is jelentősen megnövelte volna, illetve a saját eredményeim mellett jelentős számú más eredménynek is meg kellett volna jelennie, így az előzmények részletes tárgyalásától eltekintettem. Valóban, egyes fejezetek esetén minimális irodalmi utalás található (például a distending függvény vagy az ekvivalencia reláció tárgyalásánál), de a fuzziság mérték, az általánosított operátor osztály (7. fejezet), illetve a pliant döntési fákról szóló fejezetekben azonban jelentős a hivatkozások száma. Az irodalomjegyzékben felsorolt hivatkozások szinte kivétel nélkül az értekezésben megtalálhatók.

Még egyszer szeretném megköszönni Dr Még egyszer szeretném megköszönni Dr. Fodor János professzor úrnak értékes észrevételeit, amelyek további tudományos tevékenységei során hasznosítani fogok.