Az Erős Perfekt Gráf Tétel László Lovász Microsoft Research lovasz@microsoft.com

G-ben nincs páratlan üreg vagy antiüreg. Berge sejtés: G perfekt gráf  G-ben nincs páratlan üreg vagy antiüreg. Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas 2002

Terv: Történet Miért érdekes? Hogyan bizonyitják?

Történet I. Zajos csatornák u n m w v összetéveszthető Ábécé: {u,v,w,m,n} Legnagyobb biztonságos részhalmaz: {u,m} független pontok max száma

De ha szavakat is megengedünk... biztonságos részhalmaz: {uu,nm,mv,wn,vw} G Shannon kapacitása:

Elegendő =-hez: G lefedhető (G) klikkel. Shannon 1956 Triviális: Milyen gráfokra áll (G)=(G)? Melyek a minimális gráfok, melyekre (G)>(G)? Elegendő =-hez: G lefedhető (G) klikkel.

Történet II: Min-max tételek gráfokra ftlen pontok max # lefedő pontok min # max klikk kromatikus szám ftlen élek max # lefedő élek min # élkromatikus szám max fok

König Dénes három tétele: G páros gráf: H páros gráf élgráfja:

Sok hasonló... Gallai Intervallum gráfokra: Intervallum gráfokra: Hajós Minden kör háromszögelt  Hajnal-Surányi Minden kör háromszögelt  Berge Összehasonlítási gráfokra: Dilworth Összehasonlítási gráfokra: Minden páratlan kör háromszögelt  Gallai

Történet III: Mi a közös? Berge 1959 - a feltétel öröklődik feszített részgráfra - a tételek párosával vannak perfekt gráf: Minden feszített H részgráfra (H)=(H) Gyenge perfekt gráf sejtés: a komplementer of a perfekt gráf is perfekt. Fulkerson 1970 LL 1971 páratlan üreg Erős perfekt gráf sejtés: G is perfekt  sem G sem a komplementere nem tartalmaz 3-nál hosszabb feszitett páratlan kört Chudnovsky Robertson Seymour Thomas 2003

Miért érdekes I. Hipergráfok feszített részgráf részhipergráf Mik a “páros” hipergráfok? Berge, Fournier, Las Vergnas, Erdős, Hajnal, L

Miért érdekes II. Antiblokkoló poliéderek (polaritás in a nemnegatív ortánsban) Fulkerson 1971 konvex sarok

A független ponthalmaz politop Csúcsok definiálják – hogyan írjuk le lapokkal (lineáris egyenlőtlenségekkel)?

Érvényes egyenlőtlenségek STAB(G)-re: Elegendő  G páros Elegendő  G perfekt Elegendő  G t-perfekt Chvátal

További átfogalmazások: G perfekt  G is perfekt 

Miért érdekes III. Geometriai reprezentáció és szemidefinit programozás Ortogonális reprezentáció:

TH(G)={profilok -re nézve} Geometriai reprezentáció profilja: Grötschel Lovász Schrijver TH(G)={profilok -re nézve} FSTAB(G) TH(G) STAB(G)

Lineáris függvény TH(G)-n polinom időben maximalizalható  “Gyenge” sejtés Lineáris függvény TH(G)-n polinom időben maximalizalható  szemidefinit programozás Perfekt gráfra (G), (G) polinom időben kiszámitható

Miért érdekes IV. Gráf entrópia Körner 1973 p: eloszlás V(G)-n

G ,,bonyolultságának’’ mértéke él: nem összetéveszthető (Kódoljuk a V(G)t-beli szavak többségét, nem összetéveszthető szavak kódja különböző.) G ,,bonyolultságának’’ mértéke

Csiszár, Körner, Lovász, Marton, Simonyi

Miért érdekes V. Nullstellensatz a köv. rendszer megoldhatalan (-ben) Nem sok haszna van...

az alábbi egyenletekből következik, hogy

G perfekt 

 x független ponthalmaz Miért érdekes VI. Levezetési szabályok  x független ponthalmaz incidencia vektora i j 1 2 5 4 3

Legfeljebb n lépésben, minden STAB(G)-re érvényes 3 2 1 4 Két masik levezetés: Legfeljebb n lépésben, minden STAB(G)-re érvényes lineáris egyenlőtlenség levezethető. LL-Schrijver

? ? ? (triviális) élfeltételek élfeltételek páratlan üreg feltételek LL-Schrijver élfeltételek+ páratlan üreg feltételek ? klikkfeltételek ? élfeltételek+ ∆-feltételek ? Minden levezethető feltétel tartója olyan részgráf, melyben legfeljebb egy fok >4. Lipták

Miért érdekes VII. Játékelmélet mag: ftlen + mindenhonnan elérhető ponthalmaz mag-feloldható: ha egy irányitásban  klikk tranzitív, akkor van mag Berge, Duchet G mag-feloldható  perfekt : Erős Perfekt Gráf Tétel : Boros, Gurvich

A bizonyításról Perfekt gráfok co-NP NP Megkonstruálható ``alapgráfokból’’ ``ragasztási szabályokkal’’ Nincs páratlan üreg vagy antiüreg Berge gráfok CRST-konstruálható

Alapgráfok: páros gráf; páros gráf komplementere; páros gráf élgráfja; páros gráf élgráfjának komplementere; kettőzött kettéhasadó gráf

Ragasztási szabályok: (valódi) 2-kötés; kiegyensúlyozott ferde partíció

?