Összetett kísérleti tervek és kiértékelésük Többszempontos varianciaanalízis-modellek (keresztosztályozások, blokkelrendezések)

Többszempontú analízisek Fix modellek –Pl. két szempontú osztályozás Tovább bontja a kezelések négyzetes összegét, megmagyarázva egyes kezelés-osztályokat Elrendezése (terv) A modell Feltételezések Hipotézisek

A négyzetes összeg és annak felbontása A minta elemek szórásának vizsgálata során először a négyzetes eltéréseket, majd az összegzett négyzetes eltéréseket vizsgáljuk. Az "átlagos" négyzetes eltérés a variancia, ennek négyzetgyöke a szórás (standard deviáció). A mintaelemekből számított teljes négyzetes összeg olyan N- 1 összeadandóból áll, amelyek egyes tagjai a szóródást létrehozó különféle tényezőkről, "okokról" tájékoztatnak. A négyzetes összeg particionálható, felbontható (additív) komponensekre. (Az átlagolt négyzetes összegek (variancia = szórásnégyzet) nem additívak, hanem súlyozottan átlagoltaknak minősíthetők.)

A négyzetes összeg összetevői egy szempont esetén Az A szempont szóródása A véletlen okozta szóródás

A négyzetes összeg összetevői Két szempont esetén Az A szempont szóródása A véletlen okozta szóródás A B szempont szóródása Az A x B szempontok kölcsönhatásának szóródása

A négyzetes összeg összetevői Három szempont esetén Az A szempont szóródása A véletlen okozta szóródás A B szempont szóródása A szempontok (A, B, C) kölcsönhatásainak szóródása A C szempont szóródása

ANOVA modellek Ahol: i, j, k, l jelöli azt hogy a többes előfordulásból melyikről beszélünk x ijkl, stb = Az egyes megfigyelések értéke (például x 2,5 a második csoportban az 5. megfigyelés M = nagyátlag A, B, C = a kezelések szempontjai, amin belül 2, vagy több kezelés lehet (i darab, j darab, k darab) A x B jelöli az A és B szempontba sorolt kezelések kölcsönhatásait  jelzi a véletlennek tulajdonítható, normál eloszlású szóródás változóját

Két szempontos ANOVA elrendezése (kezelések kiosztása) B szempont  A szempont  B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 A1A1 A 1 B 1 (n 11 ) A 1 B 2 (n 12 ) A 1 B 3 (n 13 ) A 1 B 4 (n 14 ) A2A2 A 2 B 1 (n 21 ) A 2 B 2 (n 22 ) A 2 B 3 (n 23 ) A 2 B 4 (n 24 ) A3A3 A 3 B 1 (n 31 ) A 3 B 2 (n 32 ) A 3 B 3 (n 33 ) A 3 B 4 (n 34 )

Példa: plazma kortikoszteron stresszben

Két szempontos ANOVA modellje x ij =Nagyátlag+A i +B j +(AxB) ij +  ij (ahol (AxB) ij az A i és B j kezelések interakciója) i-edik kezelési szint az A szempont szerint (összesen „a” db szint), j-edik kezelési szint a B szempont szerint (összesen „b” db szint), kezeléskombinációnként n ismétlés. Feltételezések 1. A mérések populációi normális eloszlásúak 2. A megfigyelések egymástól függetlenek. 3. A szórások nem különbözőek (homoscedascitás) A hibatagok egymástól függetlenek, és 0 várható értékű, azonos szórású normális eloszlásból származnak! Hipotézis(ek) A nullhipotézisek:Ho(A): A i =0 minden i-re Ho(B): B j =0 minden j-re Ho(AxB): (AxB) ij =0 minden i-re és j-re Az ellenhipotézisek a nullhip. tagadásai (<>0 legalább egy i-re vagy j-re). Itt a két szempontú kezelést egymástól függetlenül valósítjuk meg. Minden lehetséges kombinációt alkalmazunk.

ANOVA tábla Forrássz.fok(df)Négyzetes összeg varianciaFP A kezelésa-1Q A (SS A ) s 2 A (MS A ) s 2 A /s 2 b B kezelésb-1Q B (SS B ) s 2 B (MS B ) s 2 B /s2 b AxB interakció (a-1)*(b-1)Q AB (SS AB ) s 2 AB (MS AB )s 2 AB /s 2 b Mintákon belül ab(n-1)Q B (SS within ) s 2 b (MS within ) Összesabn-1Q ö (SS total ) S2öS2ö Négyzetes összeg= Sum of Squares (SS) Variancia=Mean Squares (MS), (SS within ) másképpen (SS error ), (MS within ) másképpen (MS error )

Randomizált blokk ANOVA elrendezés Valamilyen ismert tényező szerint homogén blokkokat képezünk, a blokkokon belül a kezeléseket (mindegyikből azonos számút) randomizáltan osztjuk el. Példa: 4 kezelés (A 1,..,A 4 ) elrendezése 3 blokkban (B 1, B 2, B 3 ), ahol minden blokkon belül több megfigyelést végzünk.

Randomizált blokk elrendezés Jelölés: Blokk=B, véletlen változó, ami szóródást okoz az elemzésben A modell Az x ij megfigyelés additív összetevői: X ij =Nagyátlag+A i +Blokk j +(AxBlokk) ij +  ij (ahol AxBlokk az A i és B j interakciója) Feltételezések 1.A mérések populációi normális eloszlásúak 2.… Hipotézis(ek) Ugyanazok, mint … (Elvi kérdés: a blokkhatás érdekel-e bennünket?)

Egy szempontos, randomizált blokk ANOVA: "Rejtett" két szempontú ANOVA „a” darab kezelés, „b” darab randomizált blokkban vizsgálva, kezelésenként és blokkonként (cellánként) n darab megfigyeléssel..

Egy szempontos ANOVA randomizált blokkban Értelmezés, az interakció kezelése –Az analízis célja az A kezelés vizsgálata, azon belül, szignifikáns F érték esetében a többszörös összehasonlítás. –Az esetleges interakció problémás, mert akkor jó az ilyen elrendezés, ha a blokkokban csoportosított tulajdonság nincs interakcióban a kezelésekkel. Interakció észlelésekor annak okát fel kell deríteni, és az adatokat a teljesen randomizált, nem blokk elrendezés szerint értékelni. Javaslatok, ajánlások –Az elemzés során, ha az interakció nem szignifikáns, akkor annak szabadságfokát és négyzetes összegét a véletlennek tulajdonítható particióba vonhatjuk be (angolul pool, pooling), ezzel is javitjuk a véletlen ingadozás becslését. A STATISTICA program erre ad lehetőséget.

Ismétlés nélküli 2 szempontú ANOVA (cellánként 1 megfigyelés)

Faktoriális ANOVA Célja –Számos faktor hatásainak és interakciójának szimultán vizsgálata. A legegyszerübb elrendezésben k darab faktort, mindegyiket 2 szinten vizsgálunk Feltételezések –Az x ijkl megfigyelés additív összetevői: –Pl. k=3 esetén: x ijkl =Nagyátlag+A i +B j +C i +(AxB) ij +(AxC) ik +(BxC) jk +(AxBxC) ijk +  ijkl (ahol AxB stb. a faktorok interakciója) Feltételek: A megfigyelések egymástól függetlenek, a mérések populációi normális eloszlásúak stb. Hipotézisek –A nullhipotézisek: a vizsgált faktor szintjeinek hatásában nincs különbség, illetve a vizsgált kölcsönhatás nem lép fel (A i =0 stb.) –Az alternativ hipotézis ezek tagadásai („van (kölcsön)hatás”). Megjegyzések –Sok mérés kell hozzá. Minél több a faktor, annál nehezebb az egyöntetûség biztosítása. –Többszintû interakciók vannak a kísérleti elrendezésben, ezek néha nehezen értelmezhetők.

Háromszempontos ANOVA tábla - A,B és C jelzi a 3 szempontot, - „a”, „b” és „c” darab kezeléssel, - n megfigyeléssel kezelésenként (cellánkénti elemszám, a példában mindenütt azonos…). Négyzetes összeg= Sum of Squares (SS) Variancia=Mean Squares(MS)

"Repeated measures" ANOVA (within subjects SS) Az önkontrollos kisérletezésnek esete is ide tartozik, amikor minden egyes kisérleti alanyon több mérést végeznek, és a kisérleti kezelések (szempontok) egy része az egyes alanyokon végzett több mérésre vonatkozik. A randomizált blokk elrendezés is egy ide tartozó sajátos eset: a megfeleltetés a blokkon belüli, a blokkok véletlentől függenek Keveredhet a az alanyok közötti és az alanyokon/blokkon belüli kezelés Fontos, hogy az ebbe a csoportba tartozó (akárhány szempontos) elrendezések nem kezelhetők úgy, mintha az egyes mért változók egymással nem lennének kapcsolatban. Nem függetlenek a megfigyelések. A mért változók közötti összefüggések lehetősége miatt külön eljáráscsoport alkalmazandó, vagy olyan általános ANOVA modellt megvalósító program, amely a repeated measures szempontokat tartalmazó feladatokat a ANOVA/MANOVA (multivariate analysis of variance) eljárással oldja meg.