Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet

Az alakzatok szimmetriájától a geometriai transzformációkig 1. Bevezetés Az alakzatok szimmetriájától a geometriai transzformációkig

Szimmetria a természetben

Szimmetria a természetben

Szimmetria a természetben

Szimmetria a népművészetben

Szimmetria a népművészetben

Szimmetria az építészetben

Szimmetria az építészetben

2. A geometriai transzformációk áttekintése

A geometriai transzformációk csoportelméleti megközelítése Egy M halmaz önmagára való bijektív leképezését az M halmaz transzformá-ciójának vagy permutációjának nevezzük. A sík pontjai A tér pontjai Egy alakzat pontjai

Transzformációk egymás utáni alkalmazása Tükrözzünk végig egy tetszőleges P0 pontot egy ötszög oldalfelező pontjaira, jelöljük a végeredményt P5-tel. Mutassuk meg, hogy az ötszög egyik csúcsa felezi a P0 P5 szakaszt! Geometriai feladatok gyűjteménye 432

Transzformációk egymás utáni alkalmazása Bizonyítsuk be, hogy az olyan négyszög kerülete, amelynek csúcsai az egységnyi oldalú négyzet különböző oldalain vannak, legalább 2√2! Matematika B fakultáció IV. 379.o. 16

A geometriai transzformációk csoportelméleti megközelítése Két transzformáció egymás utáni alkalmazása (f○g)(P)=f(g(P)) Pf○g=(Pf)g Identikus transzformáció Inverz transzformáció

A csoport fogalma Egy G nem üres halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy ● művelet a következő tulajdonságokkal. A ● művelet asszociatív. Van neutrális eleme - egységeleme. G minden elemének van inverze.

Az euklideszi sík és tér egybevágósági transzformációi A sík bármely egybevágósági transzformációja legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzata. A tér bármely egybevágósági transzformációja legfeljebb négy síktükrözés szorzata

3. Találtunk egy négylevelű lóherét

Az ideális lóhere aranyból

…és ezüstből

A lóherét (a négyzetet) fixen hagyó transzformációk

A csoport szorzástáblája I f f2 f3

A csoport szorzástáblája I f f2 f3 t tf tf2 tf3 tf2t

4. Geometriai transzformációk alkalmazása egy versenyfeladatban OKTV 2006-2007

Az ABC háromszöget betűzzük pozitív körüljárás szerint Az ABC háromszöget betűzzük pozitív körüljárás szerint. A háromszög szögei az A, B illetve C csúcsnál rendre a, b, g. A B csúcsot az A pont körül negatív irányban elforgatjuk a szöggel, majd az így kapott B1 pontot a B pont körül negatív irányban elforgatjuk b szöggel, és végül az így nyert B2 pontot a C pont körül negatív irányban g szöggel elfor-gatva a B3 pontba jutunk. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adottak a B, B3 pontok és az ABC háromszög beírt körének O középpontja!

1. megoldás

Évariste Galois (1811-1832)

Niels Henrik Abel (1802-1829)

Robert Griess 1973-ban megjósolta az „Óriást” 1980-ban igazolta a létezését

Robert Giess

Bernd Fischer

A Monster elemszáma 246  320  59  76  112  133  17  19   23  29  31  41  47  59  71 80801742479451287588645990496171 0757005754368000000000 8  1053

Irodalom Általános- és középiskolai tankönyvek Hargittai Magdolna – Hargitai István: Fedezzük fel a szimmetriát Tankönyvkiadó,1989 Hargittai Magdolna – Hargitai István: Képes Szimmetria Galenus, 2005

Irodalom Dr. Gazsó István : Transzformációk Általános iskolai szakköri füzet Tankönyvkiadó, 1972 Vigassy Lajos: Egybevágósági transzformációk a síkban és a térben Tankönyvkiadó,1979 Középiskolai szakköri füzet

Irodalom Pataki Tíbor: Papírcsodák Ságvári Endre Könyvszerkesztőség, 1983 Imrecze Zoltáné, Reiman István,Urbán János: Fejtörő feladatok felsősöknek Szalay Könyvkiadó és KereskedőházKft. 1999

Irodalom Michele Emmer: M.C. Escher, Simmetria e spazio ART and MATHEMETICS (video) Michele Emmer: Geometries and impossible worldsM.C. ART and MATHEMETICS (video)

Irodalom Bácsó,S.;Hoffmann, M.: Fejezetek a geometriából, EKF Líceum Kiadó, 2003. Baziljev, V. T.; Dunyicsev, K. I.; Ivanyickaja; V.P.: Geometria I-II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

Irodalom Bódi, B.:Algebra I. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2002. Coxeter, H. S. M.; A geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973.

Irodalom Folex, J. D.; van Dam, A.; Feiner,S.K.; Hughes, J.F.: Computer Graphics: Principles and Practice. Addison-Wesley,1997. Freud, R.: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2004.

Irodalom Hajós, Gy.: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. Kiss, E.: Bevezetés az algebrába. Typotex Kiadó, Budapest, 2007.

Irodalom Kovács, Z.: Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2004. Martin, G. M.: Transformation Geometry. Springer Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1982.

Irodalom Molnár, E.: Elemi matematika II. (Geometriai transzformációk). Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. Nyisztor, K.: Grafika és játék-programozás DirectX-szel. Szak Kiadó, Budapest, 2005.

Irodalom Reiman, I.: A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.

Irodalom Bachmann,F: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer 1959,1973 Ahrens, J: Begründung der absoluten Geometrie des Raumes aus Spiegelungsbegriff, Math.Zeitschrift 71.(1959) 154-185

Irodalom Molnár Emil: A tükrözésgometriáról, ELTE TTK Szakmódszertani Közleményei VII. (1974) 86-130 Molnár Emil: Tükrözésgeometria Térben, ELTE TTK Szakmódszertani Közleményei VIII. (1975) 76-107

Irodalom Bourbaki, N: Groups et Algebres de Lie Chap. IV-VI. Hermann, Paris, 1968 English translation Springer, 2002 Brown,H; Bülow, R; Neubüser, J; Wondratschek, H; Zassenhaus, H: Crystallographic Groups of Four-dimensional Space. Wiley-Interscience, 1978

Irodalom Coxeter, H.S.M; Moser, W.O.J.: Generators and Relations for Discrete Groups. 4th ed.,Ergebnisse der Math. Und ihrer Grenzgebiete, Bd.14, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1980. Dade, E.C.:The maximal finite groups of 44 integral matrices. Illinois J. Math. 9(1965) 99-122.

Irodalom Maxwell, G.M,: The crystallography of Coxeter groups. J. Algebra. 35(1975) 159-178 Ryshkov, S.S: Maximal finite groups of integral nn matrices and full groups of integral authomorphisms of positive quadratic forms (Bravais models). Trudz Mat, Inst.Steklov. 128(1972) 183-211.(in Russian), Proc. Steklov Inst. Math. 128(1972) 217-250.(in English)

Irodalom Ryshkov, S.S.: On complete groups of integral automorphisms os quadratic forms. Soviet. Math. Dokl. 13(1972) 1251-1254.

Publikáció Horváth Eszter: Gondolatok a geometriai transzformációk tanításáról az általános iskola felső tagozatán Matematikatanár-képzés – matematikatanár-továbbképzés 3-4 (2007) 13-18 Nyitott Könyvműhely, Budapest

Publikáció Horváth Eszter: On a fundamental theorem of reflection geometry. Annales Univ. Sci. Budapest. 46 (2003) 133-148

Publikáció Horváth Eszter: On a four-dimensional crystallographic groups Teaching Mathematics and Computer Sciencs 4/2 (2006) 391-404

Disszertáció Horváth Eszter Goemetriai transzformációk 2007