Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Az információtechnika fiziája X. Előadás Szilárdtestek fizikája Törzsanyag Az Európai Szociális Alap támogatásával

2006 HEFOP P / A kristályos szilárd testet alkotó atom energiaszintjei (1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s, 4p, 4d, …) Az energiaszintek „felhasadnak” 1s  2N, 2s  2N,2p  6N, 3s  2N, 3p  6N, 3d  10N, 4s  2N,... Ha egy kristályban N darab Z rendszámú atom van, akkor a kristáylban lévő elektronok száma Z x N Az elektronok száma Diamond ( C ) crystal 6 x N Sodium ( Na) crystal 11 x NPotassium ( K ) crystal 19 x N Silicon crystal ( Si ) 14 x N Cupper crystal ( Cu ) 29 x N Aluminum (Al) crystal 13 x N SÁVSTRUKTÚRA – kvalitativ modell

2006 HEFOP P / N darab Z rendszámú atomban Z x N elektron van. Tekintsünk például egy 11 elektronos atomból felépített szilárdtestet (Natrium, Na). Az atomok számát jelöljük N-nel. Az összes elektronok száma 11N. Az 1s sávba 2N elektront, a 2s sávba ugyancsak 2N-et helyezhetünk. A 2p sávba 6N-et helyezhetünk. A maradék N elektront a következő, 3s sávba kell helyeznünk, de ezzel a sáv félig üres marad, mert a 3s sávba 2N elektronnak lenne helye. Ennek következtében a 3s sávbeli elektronok a legkisebb villamos tér hatására is gyorsulva, magasabb energiaszintekre mozdulhatnak el. Ez a szilárdtest jó elektromos vezető ! A 3s sávbeli elektronok engedelmeskednek a Pauli-elvnek, fermionok lévén követik a Fermi–Dirac-statisztikát. A T>0 hőmérsékleten az elektronok a 3s sávon belül igen jó közelítéssel ugyanúgy viselkednek, mint az erőmentes térbe zárt elektronsokaság. A Fermi-szint a 3s sávon belül az az energia, amelyet T=0 K-en az N elektron közül a legnagyobb energiájú betölt. Abszolút nulla K hőmérsékleten betöltik az elfoglalható legkisebb energiájú szinteket.

2006 HEFOP P /1.10 4

2006 HEFOP P / A szilárd testekben az elektronok periodikus potenciálú térben vannak. Az „egy-elektron” probléma megoldása: az elektron lehetséges energiaértékei sávokban helyezkednek el, amely sávokat tiltott zónák választják el egymástól. A sávon belül a megengedett energiaértékek kvázi-folytonosak. Mindegyik energiasáv annyi diszkrét nívóból áll, amennyi a kristályban levő atomok száma. Szilárdtestek sávstruktúrája: W(k) Összefoglalás :

2006 HEFOP P / Egy elektron „egydimenziós” kristályban Periódikus potenciál egy periódusa: Bloch függvény Elektron periódikus potenciáltérben W p0 x W pot - b0 a W

2006 HEFOP P / Az A, B, C és D konstansokat az alábbi négy feltételi egyenletből kaphatjuk meg:

2006 HEFOP P / Triviális megoldás: Nincs elektron a kristályban Csak akkor van elektron a kristályban, ha a homogén egyenlet determinánsa nulla! Legyen W p0  ; b  0, de úgy, hogy a

2006 HEFOP P / a Rácsállandó a „rácstérben” Ha nem teljesül akkor nincs elektron a kristályban ! x a aaaa „Tiltott sávok”

2006 HEFOP P / Megállapíthatjuk, hogy ha  =0, akkor cos ka=cos a, és így k=, vagyis Ez esetben visszakapjuk a szabad elektron W(k) függvényét Elektron W(k) függvénye periódikus potenciáltérben

2006 HEFOP P / A –  /a  k  +  /a tartomány az első Brillouin-zóna, a 2  /a  k  –  /a; +  /a  k  2  /a tartomány a második Brillouin-zóna. Eddig végtelen, egydimenziós kristályrácsot vizsgáltunk. Most azonban feltételezzük, hogy a kristály L hossza adott és véges értékű. Így L/a rácspontunk van. Azt sejthetjük, hogy ha L/a nagyon nagy szám, akkor nem kaphatunk lényeges eltérést a végtelen kristályra érvényes megoldástól. N a rácspontok száma Ebből leolvashatjuk, hogy k nem vehet fel minden értéket 0 és 2  /a vagy –  /a és +  /a között, hanem csak a fenti egyenlettel meghatározott, diszkrét értékeket. N különböző k, és ennek megfelelően N különböző W energiaérték