Algebrai logika Leibniz folytatói a 18. században: Lambert, Segner és mások. 19. sz., Nagy-Britannia: Aritmetikai és szimbolikus algebra. Szimbolikus algebra: a műveletek kiterjesztése (kontinuitási elv). A kivonás kiterjesztése: negatív számok. Az osztás kiterjesztése: racionális számok. A gyökvonás kiterjesztése: imaginárius és komplex számok. (Hamilton 1837: komplex számok, mint valós számpárok.) Számok további kiterjesztése a komplex számok irányában: kvaterniók (Hamilton 1943). A szorzás nem kommutatív! Peacock 1833: „[A szimbolikus algebra] szimbólumok és saját szabályai alapján konstruált kombinációik tudománya, amely az aritmetikára és minden más tudományra interpretáció által alkalmazható: ennélfogva az interpretáció követi, nem pedig megelőzi az algebrai műveleteket és eredményüket.” Ugyanő: a kontinuitási elv kimondása.

Gregory 1840: „[A szimbolikus algebra] olyan tudomány, amely a definiált műveletek kombinációit nem természetük szerint kezeli, azaz nem aszerint, hogy micsodák és mit állítanak elő, hanem azon kombinációs törvények szerint, amelynek alá vannak vetve. … Igaz, hogy ezeket a törvényeket sok esetben (ahogy Mr. Peacock helyesen kifejezte) a számok ismert műveleteinek törvényei sugallták; de a lépés, amelyet az aritmetikaitól a szimbolikus algebra felé megtettünk, abban áll, hogy figyelmen kívül hagyjuk azoknak a műveleteknek a természetét, amelyeket szimbólumaink reprezentálnak, és feltételezzük a létezését olyan ismeretlen műveletek osztályainak, amelyek ugyanazon törvényeknek vannak alávetve. Így képesek vagyunk bizonyítani bizonyos relációk fennállását műveletek bizonyos osztályai között, és ezeket nevezzük … algebrai törvényeknek.” Kimondja azt is, hogy a törvények lehetnek (részben) mások is, mint a numerikus műveleti szabályok. George Boole, 1844: nem-kommutatív differenciáloperátorok.

George Boole ( ) The Mathematical Analysis of Logic (1847) Osztályok: X, Y, Z, … 1: az összes (létező vagy nem-létező) objektum osztálya x, y, z: kiválasztó (elective) szimbólumok (műveleti jelek), bármely osztályból kiválasztják a nekik megfelelő osztályba tartozó elemeket. (Tkp. helyesebb volna 1-et is kiválasztó szimbólumként értelmezni.) Szorzás: műveletek egymás utáni elvégzése. x1 = x Törvények: (1) x(u + v) = xu + xv + : vagylagos kiválasztás. Akkor értelmes (interrpretálható), ha a két operandus diszjunkt. (2) xy = yx (3) xx = x

Kategorikus kijelentések: Minden, ami X, az Y: xy = x x(1-y) = 0 (Mit jelent a ‘-’, mit jelent a ‘0’? Eléggé evidens, de nem mondja.) Némely X, az Y:v = xy v: meghatározatlan (de nem üres) kiválasztó szimbólum. Egy X sem Y:xy = 0 Némely X nem Y:v = x(1-y)

An Investigation of the Laws of Thought … (1854) A betűk szándékolt interpretációja: osztályok. ‘1’ az Univerzum (universe of dicourse, de Morgan), ‘0’ a Semmi jele. Összeadás, szorzás, kivonás korlátlanul alkalmazható, de nem minden kifejezés interpretálható. Az interpretálhatóság kritériuma az idempotencia: x 2 =x, avagy x(1-x)=0 A betűkről feltételezzük, hogy idempotens elemeket jelölnek. Biztosan idempotens még: 1-x, x + B y= x + (1-x)y, x +  y = x(1-y) + y(1-x)

Megfejtés: SMS-algebra (előjeles multiset-algebra). Vegyünk egy U = {a1, a2, … an} alaphalmazt. Az algebra elemei: {k1n1, k2n2, … knan}, ahol a ki együtthatók egész számok. Összeadás, szorzás, kivonás: tagonként. U maga egységelem, az üres (ti. ahol minden együttható 0) zéruselem. Idempotens elemek: ahol minden együttható 0 vagy 1. Az egész így modellje lesz Boole algebrájának (azaz teljesíti a fentieket), és még az osztásnak is lehet értelmet adni. (Hailperin 1976, 1986) Az idempotens elemek Boole-algebrát alkotnak a ‘+’ műveletet ‘+ B ’-re cserélve. Figyelem: Boole algebrája aés a Boole-algebra nem ugyanaz! Boole-algebra az, ami ebből néhány egyszerűsítéssel kialakult!