Felosztási tétel Legyen R ekvivalenciareláció: reflexív, azaz tetsz. a-ra aRa, szimmetrikus, azaz tetsz. a, b-re ha aRb, akkor bRa, tranzitív, azaz tetsz. a, b, c-re, ha aRb és bRc, akkor aRc. R értelmezési tartománya: {x: van olyan y, hogy xRy} Tétel: R felosztja az értelmezési tartományát páronként diszjunkt és kimerítő módon, azaz generál olyan részhalmazokat (ekvivalenciaosztályokat), hogy az értelmezési tartomány minden eleme egy és csak egy osztályba tartozik bele. R a ={x: aRx} Ha aRb, akkor R a =R b. Ha  (aRb), akkor R a -nak és R b -nek nincs közös eleme. Minden elem beletartozik a saját osztályába. Egy osztályon belül bármely két elem R-ben áll egymással, különböző osztályba tartozó elemek között nincsenek relációk.

Példák: R: párhuzamosság, értelmezési tartomány: egy sík egyenesei. R: = R: a triviális reláció R: komposszibilitás, értelmezési tartomány: a lehetséges individuális fogalmak. Ekvivalenciaosztályok: a leibnizi lehetséges világok. Következmények: Semmi nincs jelen egyszerre két különböző világban. A lehetséges világok maximálisak (nem bővíthetők).

Szükségszerű igazságok: a szereplő fogalmak véges analízisével bizonyíthatók („visszavezethetők azonosságra”). Észigazságok, szemben a tényigazságokkal. Minden lehetséges világban igazak. Individuális (teljes) fogalom: tartalma minden kérdést eldönt. Ha I ilyen, akkor tetszőleges A attribútumra I tartalmazza A-t vagy non-A-t. Characteristica (universalis): olyan nyelv, amelyben a jelölések ki is fejezik ezt a tartalmat.

„Ha tudnánk megfelelő karaktereket vagy jeleket találni ahhoz, hogy összes gondolatunkat ugyanolyan tisztán és szigorúan kifejezzék ahogy az aritmetika a számokat vagy az analitikus geometria a vonalakat kifejezi, akkor nyilvánvalóan minden tárgy esetében, hacsak az alá van vetve az értelmes gondolkodásnak, megtehetnénk azt, amit az aritmetikában és a geometriában teszünk. Hiszen minden, az értelmes gondolkodástól függő kutatás megvalósulhatna ezen karakterek átalakítása és bizonyos számítás által … Ezen felül mindenkit meggyőzhetnénk arról, amire rátaláltunk vagy amit kikövetkeztettünk, mivel egyszerű volna megvizsgálni a számítást, akár úgy, hogy néhány olyanféle próbát hajtunk végre, mint az aritmetikában a kilencespróba. És ha valaki kételkedne abban, amit előadtam, azt mondanám neki: „Számoljunk, uram!”, és tollat meg tintát ragadva hamar kikeveredhetnénk a csávából.” (1677)

„A számítás [kalkulus]* avagy művelet abban áll, hogy relációkat** állítunk elő, ezt pedig a formulák*** bizonyos előre meghatározott törvényeknek megfelelő átalakításával hajtjuk végre. Minél több törvényt vagy feltételt írunk azonban elő a jövőbeni számolónak, annál összetettebb a kalkulus és kevésbé egyszerű a karakterisztika.**** A formulák (melyek közé a legegyszerűbben magukat a karaktereket is számíthatjuk), a relációk és a műveletek nyilvánvalóan úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a fogalmak, kijelentések és szillogizmusok.” * Calculus: a konkrét számítás is, a rendszer is, amelyen belül a számításokat végrehajtjuk. Magyarul „kalkulus” csak az utóbbi. ** Reláció: konkrét állítás, amely terminusok közötti összefüggést, viszonyt állapít meg (pl. egy egyenlet). *** Formula: olyan kifejezés, amely szintaktikailag egy terminus (szubjektum vagy predikátum) szerepét játszhatja. Karakterek az egyszerű, konvencionális terminusok, a (többi) formula összetett. **** Karakterisztika tkp. a nyelv, ami a karaktereken alapul.

Az egyetemes karakterisztika célja (négy, egyre gyengébb megfogalmazásban): Legyen 1.minden kijelentés igazsága 2.minden kijelentés észigazság-volta automatikusan, számítással 3.minden következtetés helyessége eldönthető. 4.minden következtetési lépés helyessége 1. Leibniz szerint sem lehetséges, csak Isten lehet rá képes. 2. Leibniz utópiája: egyetemes enciklopédia, amelynek a karakterisztika csak a szerkezetét adja. Minden terminus olyan részletességgel van definiálva benne, ami biztosítja az eldönthetőséget. 3. szintén megvalósíthatatlan, de ezt csak 1936 óta tudjuk (Church-Turing-tétel). (Legalábbis, ha következtetésen a klasszikus elsőrendű logikában megfogalmazott következtetést értünk, számítási módszeren pedig rekurzív függvénnyel, ill. Turing-géppel reprezentálható eljárást. Az elsőrendű logikának vannak olyan töredékei, amelyekhez van eldöntési eljárás, pl. kijelentéslogika, az egyváltozós predikátumok logikája.) 4. alapvető követelmény minden formalizált nyelven kifejezett következményfogalommal szemben, Frege óta.

Nyelv és kalkulus, elvben: 1.Elemi terminusok (karakterek) rendszere. 2.Összetett terminusok (formulák) képzési szabályai. 3.Kijelentések (relációk) felállításának szabályai, általában: egy kétargumentumú predikátumot alkalmazunk két terminusra. 4.Kijelentések átalakításának, levezetésének szabályai (műveletek). 5.Igazságfeltételek: az inesse elven alapulnak. Zárójelben mindenütt Leibniz kifejezései. Négy kísérlet a gyakorlati megvalósításra: 1.Az első kettőben a terminusok a természetes számokon alapulnak, a második kettőben absztrakt algebrai entitások, betűkkel jelölve. 2.A képzési szabály eleinte csak a szorzás, később összeadás is, és mindig probléma, hogy mit csináljunk a terminusnegációval. 3.Mindig egyes csak egy kétargumentumú predikátum van, ez az első háromban azonosság, a negyedikben ez is absztrakttá válik. (Tehát egy kijelentés két terminus azonosságát, illetve „kongruenciáját” állítja.) 4.A levezetés mindig az algebrai egyenlet-átalakítás, ill. annak absztraktabb megfelelője. 5.Inesse = oszthatóság.