PPKE ITK 2008/09 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás 4.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Matematikai háttér 1.Probability theory and statistics 2.Time interval distributions 3.Arrival processes 4.The Poisson process Az angol megnevezések megismerése is célkitűzés Az angol megnevezések megismerése is célkitűzés Bevezetés

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Az exponenciális eloszlás (EO) a legfontosabb idő-eloszlás a TTE-ben. Az exponenciális eloszlás (EO) a legfontosabb idő-eloszlás a TTE-ben. k darab EO összege (sorozat!) hypo- exponenciális u.n. k-ad rendű Erlang eloszlást ad. k darab EO összege (sorozat!) hypo- exponenciális u.n. k-ad rendű Erlang eloszlást ad. EO-k párhuzamosan (keverék !) hyper- exponenciális eloszlást ad. EO-k párhuzamosan (keverék !) hyper- exponenciális eloszlást ad. EO-k sorozata és keveréke együtt fázis típusú eloszlásokat ad, egyik típus a Cox féle eloszlások. EO-k sorozata és keveréke együtt fázis típusú eloszlásokat ad, egyik típus a Cox féle eloszlások. Cox-féle eloszlással tetszőleges eloszlás leírható. Cox-féle eloszlással tetszőleges eloszlás leírható. Összefoglalás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Negatív exponenciális eloszlás. Negatív exponenciális eloszlás. Matematikailag jó tulajdonságok. Kulcs szerep. Matematikailag jó tulajdonságok. Kulcs szerep. Egyetlen paraméter: Egyetlen paraméter: Gamma függvény: Gamma függvény: Jellemzők: ha Jellemzők: ha Exponenciális eloszlás 1. és így és (majd kell!) t  t akkor a momentumok eloszlás függvény sűrűség függvény !!!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Exponenciális eloszlás 2. Fázisdiagramokban így jelölik. Ha egy igény érkezik, akkor exponenciális eloszlású időtartamletelte után hagyja el a „dobozt”. Emlékezet nélküli ! Egyetlen ilyen folytonos eloszlás. A diszkrét geometriai eloszlásnak is megvan ez a tulajdonsága. Hátralévő élettartam (residual lifetime) csak -tól függ és t-től nem.-tól függ és t-től nem.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Exponenciális eloszlás 3. Exponenciális eloszlású k darab valószínűségi változó minimuma X 1 és X 2 függetlenek Az eloszlásfüggvény szintén EO. (Korábbi általános képlet – TTE-3 alapján.) Feltéve, hogy a legkisebb a (t+dt) intervallumban következik be, akkor annak valószínűsége, hogy az éppen X 1 vv : Független t-től.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Exp. eloszlások összekapcsolása 1. EO-k kombinálása Eloszlás osztályok: meredek (steep) és lapos (flat)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Exp. eloszlások összekapcsolása 2. SteepFlat

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek eloszlás 1. EO-k kombinálása Eloszlás osztályok: meredek (steep) és lapos (flat) Fázis diagram:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek eloszlás 2. általánosított Erlang, u.n. Hypo-exponenciális vagy általánosított Erlang, u.n. Erlang k eloszlás. Csak egyforma EO-k esete. Az eloszlás függvény gyorsabban halad 0-tól 1 felé mint az EO.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek eloszlás 3. Momentumok i-dik nem centrális momentum A forma tényező független az időtől. Mérések esetében két paraméter - és k – becsülhető.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek eloszlás 4. m=1 Figure 4.3: Erlang–k distributions with mean value equal to one. The case k = 1 corresponds to an exponential distribution (density functions). k=1 az EO

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Lapos eloszlás 1. EO-k kombinálása Eloszlás osztályok: meredek (steep) és lapos (flat)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Lapos eloszlás 2. Általános eset: EO-k súlyozott összege A megmaradó élettartam várható értéke nagyobb mint az eloszlás várható értéke: Az eloszlás függvény lassabban halad 0-tól 1 felé mint az EO. W() a súlyozás sűrűségfüggvénye

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Lapos eloszlás 3. Hyper exponenciális eloszlás Ha W() diszkrét, továbbá: W() minden más értékre konstans, akkor: és W() minden más értékre konstans, akkor: Ha k=1 vagy az összes egyforma, akkor EO-t kapunk. és mivel, így:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Lapos eloszlás 4. Mérésieredmény(példa) Figure 4.5: Density (frequency) function for holding times observed on lines in a local exchange during busy hours. The straight line corresponds to an exponential distribution and the curved line corresponds to a hyper- exponential distribution (4.28). Time unit is [minutes].

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlás 1. Meredek és lapos eloszlások kombinálása !!!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlás 2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlás 3. Várható érték és szórás: Részletek a tankönyvben.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlás 4. Két Cox eloszlású vv összege szintén Cox eloszlású vv-t ad. Kimutatható, hogy a Cox eloszlás eloszlás függénye:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Polinomiális kísérlet Annak valószínűsége, hogy egy véletlenül kiválasztott időpont egy Cox eloszlású idő intervallumban éppen az i-dik fázisban van: A kísérletet y-szor, függetlenül megismételve, annak valószínűsége, hogy az i. fázist y i alkalommal lehet észlelni: és Polinomiális eloszlás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Decomposition 1.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Decomposition 2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Decomposition 3.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Decomposition 4.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlások fontossága

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Más eloszlások 1. Gamma eloszlás Ha a k az Erlang k eloszlásban nem-negatív valós

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Más eloszlások 2. Weibull eloszlás A halálozási valószínűség időfüggő k=1  EO Megbízhatóság elméletben alkalmazzák

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Más eloszlások 3. Pareto eloszlás Ha akkor a szórás nem létezik. Ha η 0  0,, akkor a szórás nem létezik. Ha η 0  0, akkor EO-t kapunk.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Eloszlások jelölése

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – TTE  kapcsolat a gyakorlat és elmélet között. TTE  kapcsolat a gyakorlat és elmélet között. Forgalommérés a telefónia megjelenése óta (1916 !) Forgalommérés a telefónia megjelenése óta (1916 !) Számítógépes adatgyűjtés Számítógépes adatgyűjtés Az ε forma tényező távközlésben ritkán > 6, de adatforgalomban lehet > 100. Az ε forma tényező távközlésben ritkán > 6, de adatforgalomban lehet > 100. Heavy tailed distributions. Akkor, ha: Heavy tailed distributions. Akkor, ha: Élettartam eloszlások megfigyelése