Hibajavító kódok

Hibajelzés és hibajavítás Szükséges, ha az adatokat olyan adathordozón tároljuk, amelynek egyes részei meghibásodhatnak (hajlékonylemez, merevlemez, kompakt lemez) az adatok továbbításakor a csatornán „zaj” léphet fel, az üzenet egy kicsit megváltozhat Internet egy szonda rádión elküldi a tudományos mérések adatait (vagy képeket) televíziós adás sugárzásakor (pl. műholdról) kapcsolat mobiltelefonnal, stb.

Hibajelzés és hibajavítás az üzenetet kiegészítjük ellenőrző bitekkel – kódoljuk a kicsit megváltozott üzenetből az eredeti tartalom visszanyerhető lehet (ha nincs túl sok hiba), vagy felismerhető, ha hiba történt kódolással az üzenet meghosszabbodik, adott sebességű csatorna kevesebb információt tud csak átvinni hatékony kódolási eljárások: a lehető leggyorsabban és a lehető legbiztonságosabban lehessen adatokat küldeni kódoló és dekódoló eljárások sebessége egy kód alkalmazhatósága függ a csatorna tipikus hibáinak jellegétől

Jelölések ábécé – Q, egy q elemű halmaz (esetünkben ) üzenet – a Q elemeiből készített véges sorozat (pl. 010000100100) az üzenetet k hosszú darabokra vágjuk: Q k elemeit kódoljuk kódolás – injektív függvény helyett a sorozatot tároljuk/ küldjük el. a értékkészlete

Jelölések, értelmezések 1. Definíció A q k elemű halmazokat (n,k) paraméterű kódnak nevezzük. Q n elemeit szavaknak is hívjuk, a C elemei a kódszavak. Az n szám a kód hossza. Példa Legyen és Ekkor egy 3 hosszú, (3,1) paraméterű kód. megfelel hibajavításra, ha 3 egymásutáni bit közül legfeljebb 1 sérül ha 2 sérül, akkor detektálja a hibát, de hamis eredményt ad

Jelölések, értelmezések 2. Definíció Legyen egész szám. A kód t-hibajelző, ha egy kódszót legfel- jebb t helyen megváltoztatva az eredmény nem lehet kódszó. A C kód t-hibajavító, ha bárhogy is veszünk két kódszót, ha u -t is és w -t is legfeljebb t helyen megváltoztatjuk (ezek a helyek mások lehetnek u, mint w esetében), akkor nem kap- hatjuk Q n-nek ugyanazt az elemét.

Jelölések, értelmezések 3. Definíció Ha és a Q n elemei, akkor e két szó Hamming-távolsága azoknak az koordinátáknak a száma, ahol u és v eltér: A kód minimális távolsága a különböző kódszavak Hamming-távolságainak minimuma:

Értelmezések, állítások A C kód pontosan akkor t-hibajelző, ha t < d (C ), és pontosan akkor t-hibajavító, ha 2t < d (C ). 4. Definíció Egy t-hibajavító kód perfekt, ha minden szóhoz van tőle legfeljebb t Hamming-távolságra eső kódszó. Kódolással az üzenetek hossza n /k-szorosára nő. Azt szeretnénk, hogy n minél kisebb legyen a k-hoz képest – legyen minél közelebb q n-hez (ekkor használjuk hatékonyan a csatornát), a kód minél több hibát jelezzen és javítson, vagyis a minimális távolsága minél nagyobb legyen.

Állítások 2. Állítás [Hamming-korlát]. Ha a kód minimális távolsága d , és 2t < d , akkor 3. Állítás [Singleton-korlát]. Ha a kód minimális távolsága d , akkor

Lineáris kódok 5. Definíció Ha Q egy q elemű test, és altere a Q fölötti Q n vektortérnek, akkor a C-t lineáris kódnak nevezzük. (Pl. , kommutatív test) 6. Definíció Azt mondjuk, hogy a a lineáris kód egyik generátormátrixa, ha C a vektorok halmaza, midőn u befutja Q k -t. , tehát C dimenziója k. Legyen egy bázis a C altérből. , leképezés injektív, értéktartománya C. Egy mátrix, melynek oszlopai a vektorok, a lineáris kód egy generátormátrixa.

Lineáris kódok 7. Definíció Egy kódolás szisztematikus, ha a Gu kódszó első k komponense maga u, vagyis kódoláskor az u után írunk további „ellenőrző” betűket, azaz ha a G mátrix első k sora a méretű egységmátrix. 8. Definíció Ha , akkor a v súlya a nem nulla komponenseinek a száma, azaz Lineáris kód esetén az u és v kódszavak Hamming-távolsága az u – v vektor nem nulla komponenseinek a száma. Egy lineáris kód minimális távolsága tehát a nem nulla kódszavak súlyának minimuma (C altere Q n-nek, tehát , azaz maga is kódszó).

Lineáris kódok 9. Definíció Legyen egy k-dimenziós lineáris kód. Az olyan mátrixokat, melyre v akkor és csak akkor kódszó, ha Pv = 0, a kód ellenőrző mátrixának nevezzük. 4. Állítás A G generátormátrixszal megadott C lineáris kódnak létezik ellenőrző mátrixa, és pontosan azok a mátrixok megfelelők, melyek rangja n – k és melyekre PG = 0. Speciálisan ha C szisztematikus, és , akkor (Em az méretű egységmátrix)

Lineáris kódok 5. Állítás Legyen egy k -dimenziós lineáris kód, melynek minimális távolsága d , és P a kód (egyik) ellenőrző mátrixa. Ekkor d a legkisebb olyan egész, amelyre P -nek van d darab lineárisan összefüggő oszlopa. 10. Definíció Legyen , és P egy olyan mátrix, amelynek az oszlopaiban azok a vektorok szerepelnek (pontosan egyszer), melyeknek az első nem nulla komponense 1. A P mátrixszal, mint ellenőrző mátrixszal megadott kódot, vagyis a kódot Hamming-kódnak nevezzük. m megfelelő megválasztásával a Hamming kód 1-hibajavító perfekt lineáris kód.

Dekódolás Legyen egy k-dimenziós kód, melynek generátor-mátrixa G, ellenőrző mátrixa P, és minimális távolsága d. Legyen a kódolás: A fogadott szó pedig legyen w. Ha w = v, nem lépett fel hiba. Ekkor, mivel a G mátrixot ismerjük, az u egy lineáris egyenletrendszer megoldásával megkapható. Ha a kód szisztematikus, akkor u egyszerűen a w első k koordinátája lesz. Ha hiba lépett fel. Ph a w vektor szindrómája.

Dekódolás Ha csak 1 hiba van, a h vektornak egyetlen komponenese, pl. a , azaz Ph = hi P éppen a P i-edik oszlopa, ami megkereshető, tehát megkapjuk i-t. Ha a P oszlopai az m pozíción ábrázolt bináris számokat tartalmazzák növekvő sorrendben a Ph szindróma a hiba helyét adja meg. Példa: Hamming kód, k=4, n=7, d=3, t=1

Példa Kódolás:

Példa Hibaellenőrzés fogadásnál: helyes fogadott érték

Példa Hibaellenőrzés fogadásnál: hibás fogadott érték a 3. pozíció hibás

Forrás http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook/Abstract_Algebra_457.pdf III/9. fejezet