A mozgás egy E irányú egyenletesen gyorsuló mozgás és a B-re merőleges síkban lezajló ciklois mozgás szuperpoziciója. Ennek igazolására először a nagyobb áttekinthetőség kedvéért tegyük fel, hogy a részecske a t=t 0 =0 időpillanatban az origóban (r 0 =0) áll (v 0 =0). Bontsuk fel a sebességet és az elektromos erőt B-vel párhuzamos és B-re merőleges összetevőkre Ez esetben a mozgásegyenlet két független egyenletre esik szét Az első egyenlet egy E irányú egyenletesen gyorsuló mozgást ír le A második egyenletben a részecskére ható (qE) erő merőleges a B-re.

A második egyenletben a részecskére ható (qE) erő merőleges a B-re. Tegyük be a dy/dt-re most kapott kifejezést az első egyenletbe, akkor az x=x(t) függvény meghatározására szolgáló alábbi differenciálegyenletet kapjuk:

Ezen egyenlet megoldása a homogén egyenlet általános megoldásából és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásából tevődik össze : Homogén egyenlet: Inhomogén egyenlet Ebből dx/dt=v x számára az alábbi kifejezés adódik: A konstansokat a t=0, x=0, y=0 értékeknél felvett v x =v 0x, v y =v 0y kezdeti feltételek segítségével határozzuk meg. Ha ilyen módon x=x(t) ismert, az y=y(t) függvényt a dy/dt=x+v 0y kapcsolat szolgáltatja. A végeredmény

Ha az origóból induló részecske kezdősebessége nulla, vagyis v 0x =v 0y =0, akkor Ciklois

Az elektronoptika elemei Fontos analógia : általános elektrosztatikus térben mozgó töltött részecske pályája megegyezik egy, a térben meghatározott módon változó törésmutatójú anyagban terjedő fénysugár útjával ! A geometriai optika törvényszerűségei homogén, izotrop közegben a fény egyenes vonalban terjed, + két különböző közeg határán pedig a Descartes-Snellius-törvény szerint törik. Milyen törést szenved egy elektron pályája, amikor a részecske egy U 1 potenciálú térrészből egy U 2 potenciálú térrészbe halad át ?

Milyen törést szenved egy elektron pályája, amikor a részecske egy U 1 potenciálú térrészből egy U 2 potenciálú térrészbe halad át ? Mivel az egyes térrészeken belül a potenciál állandó, bennük a térerősség zérus, a két térrész között pedig a határfelületre merőleges. Így a részecske tangenciális irányban az áthaladás alatt nem gyorsul: Mivel azonban

Helyettesítsük ide a sebesség egyenletből kifejezhető értékét: ahol W 0 a részecske állandó összenergiája Az elektronsugár törési törvénye q = -- e

A mozgásegyenlet igen nagy sebességnél Engedjünk különböző sebességekre felgyorsított elektronokat párhuzamos villamos és mágneses téren keresztül. Azt találjuk, hogy a várt parabola helyett az ernyőn egy attól eltérő görbét kapunk, ha a sebességek a c fénysebességhez képest nem elhanyagolhatóan kicsinyek. Ez annyit jelent, hogy q e /m e nem állandó különböző sebességű elektronokra nézve. Ez a kísérlet azt bizonyítja, hogy a mozgó elektron tömege megváltozik. A tömeg sebesség-függését kísérleti úton meghatározhatjuk: A részecskék sebességét egy sebességhomogenizáló berendezéssel mérjük (v=E/B), majd az m=m(v) tömegű részecskét mágneses térbe visszük. Minthogy az erő merőleges a sebességre és így a pályára, munkavégzés nincs, a sebesség abszolút értéke nem változik, ezért a tömeg is állandó marad. Az eltérítés sugarát megmérve az r =mv/(qB) kapcsolatból v ismeretében m meghatározható. A kísérletek az összefüggést szolgáltatják.

Newton második axiómája csak az eredeti newtoni megfogalmazásban érvényes : A tömeg tehát a sebesség növelésével nő, és a végtelenhez tart, ha a sebesség c-hez, a fény sebességéhez közeledik. Mennyi munkát végzett az erőtér a részecskén, pályájának dr hosszúságú szakaszán?. ahol feltételeztük, hogy v párhuzamos dv-vel. A befektetett munka tehát a tömeg megnövekedését okozta. Ha a sebesség v=0-tól tetszés szerinti v értékig nő, a munka:

Bármely m tömegű rendszerhez mc 2 energia tartozik, tehát A részecske mozgásból származó energianövekedése Ha v << c, akkor

Mekkora lesz a sebesség, amelyre a részecske felgyorsul, ha U potenciálkülönbséget fut át ? Az energia megmaradásának elvét felhasználva Egy elektron nyugalmi energiája: Egy proton nyugalmi energiája eV-os elektron tömege már majdnem 2-kal nagyobb, mint a nyugalmi tömege

Homogén mágneses térben helyezzünk el két üres, nyílásukkal egymás felé fordított D alakú fémdobozt. Kapcsoljunk ezen két D -elektróda közé váltakozó feszültséget. Ez az elrendezés a ciklotron (Lawrence, 1930). Egy részecske körülfutási ideje nem függ a részecske energiájától vagy sebességétől A részecske legnagyobb sebessége: A részecske végenergiája:

A betatron A térben homogén, az időben periodikusan változó mágneses tér zárt elektromos erővonalakat hoz létre. Egy töltött részecskét, mondjuk elektront körbevive, a menet- feszültségnek megfelelő munkát nyer, ami az elektron kinetikus energiáját növeli. Felmerül a kérdés: nem lehet-e ugyanazzal a növekvő mágneses térrel, amelynek változása az elektromos teret létrehozza, és így az elektront gyorsítja, az elektront állandó sugarú pályára kényszeríteni, és így igen nagy sebességre felgyorsítani. Ha az impulzus arányosan nő a mágneses térrel, az állandó sugarú pályán való mozgás lehetővé válik. Ha viszont a részecske állandó sugarú pályán mozog, minden egyes körülfutásnál a menetfeszült- ségnek megfelelő energiára tesz szert. A mágneses tér növekedésének ideje alatt a részecske több milliószor is körüljárhat, miközben energiája a menetfeszültség több milliószorosának megfelelő értékig nőhet. A mágneses tér tengelyszimmetrikus A menetfeszültség A térerősség

A mozgásegyenlet : Integrálva az egyenlet jobb és bal oldalát: A v sebességgel mozgó elektront Ha tehát a pálya mentén mért indukció a közepes indukció fele, a mágneses tér állandó sugarú körpályára kényszeríti az elektront. Ez azt jelenti, hogy B -nek, mint r függvényének, növekvő r -rel csökkenie kell Az elektron energiája az r 0 sugár és a maximális B 0 értéknek megfelelő értékig nő