Bevezetés a méréskiértékelésbe (BMETE80ME19) 2014/

Mérési adatok – valószínűségi változó reprezentációi – statisztikai minta (y) Statisztika – statisztikai mező A statisztikai mezőnél definiált P (valószínűségi) mérték – előzetesen választott eloszláshoz kapcsolódik. (Hibamodell) A reprezentációkból (mérésből) kell rekonstruálni a mérést terhelő véletlen komponens (hiba) eloszlásfüggvényét. A keresett eloszlás függvény általában néhány paraméterrel megadható. („Centrum”, „Kiterjedés” )

Folytonos eloszlásokDiszkrét eloszlások pipi

Mérés előtt …. Mérés után Mérési adatok Az eloszlás paramétereit statisztikákból becsüljük

Az eloszlás függvény megadás lehetséges módja – polinomokra vonatkozó vetületekkel: Momentumok Centrális momentumok Első momentum: várható érték E (ξ) Második centrális momentum: szórásnégyzet (variancia) D 2 (ξ) A momentumok kapcsolatba hozhatók a az eloszlás paramétereivel

A becslés általában valamilyen statisztika alapján történik… Statisztika T(Y): Y → Mivel a minta függvénye, a statisztika is valószínűségi változó….eloszlása a minta feltételezett eloszlásából vezethető le. Példák… egyszerű alapstatisztikák StatisztikaBecslés célja ÁtlagVárhatóérték Tapasztalati szórás Szórás Korrigált tapasztalati szórás Szórás MediánVárhatóérték centrum Minta terjedelem HisztogramSűrűségfüggvény

Becslések minősíthetők különböző szempontok szerint… Torzítatlan … a becsült paraméter valamilyen függvényére Átlag pl. mindig torzítatlan becslése a várhatóértéknek (ha az létezik) Aszimptotikusan torzítatlan… Konszisztens becslés Becslések pontossága mintaszámmal növekszik… Hatásosság A hatásos becslésnek kisebb a szórásnégyzete Elégségesség A statisztikában nincs információ veszteség a becsült paraméterre vonatkoztatva

Steiner-tétel pl. átlag torzítatlan Azonos eloszlású val. változóknál Az átlag mint centrum produkál minimális négyzetes eltérést - tapasztalati szórásnégyzetet

A tapasztalati szórásnégyzet így is írható: Aszimptotikusan torzítatlan Ezért szükséges a korrigált tapasztalati szórás bevezetése

Átlag konzisztenciája…. Csebisev egyenlőtlenséggel azonnal látható N

Medián – L1 norma szerinti centrum Robusztusabb statisztika

Glivenko–Cantelli Parzen - Rosenblatt Eloszlás függvényt vagy a sűrűség függvényt becsülhetjük a mintából Hisztogram, kumulatív hisztogram.

Parzen-Rosenblatt

A mérési adat kiértékelés általános sémája Mérési adatokMatematikai modell Illesztési kritérium Statisztikai elv Hiba modell Fizikai modell Illesztés eredménye Paraméterek Paraméterek kov. Mátrixa Konfidencia intervallumok Az illesztett paraméterek is valószínűségi változók

Lassan változó jelfolyamat – kevés paraméterrel leírható Pontonként változó – független - zajfolyamat Túlhatározottság lehetősége MODELL: Megj. Valószínűségi modell nélküli szűrési módszereket is alkalmaznak

Fussuk át a fontosabb valószínűség eloszlásokat…. Egyenletes eloszlás – folytonos és diszkrét 1 dim.

Pl. Kerekítési hibák

Log-normális eloszlás

Student t-eloszlás

F-eloszlás

Pareto-eloszlás

Cauchy eloszlás

Binomiális eloszlás Moivre-Laplace tétel

Poisson-eloszlás