PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás 3. – 4.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Matematikai háttér 1.Time interval modelling Distribution functions Distribution functions Characteristics of distributions Characteristics of distributions Combination of random variables Combination of random variables Other time distributions Other time distributions Observation of life-time distribution Observation of life-time distribution 2.Arrival processes Az angol megnevezések megismerése is célkitűzés. Az angol megnevezések megismerése is célkitűzés. Matematikai finomságok a tankönyvben. Matematikai finomságok a tankönyvben. Bevezetés

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Kiindulás: a vizsgált időintervallumok nem negatívak a vizsgált időintervallumok nem negatívak kifejezhetők nem negatív valószínűségi változókkal kifejezhetők nem negatív valószínűségi változókkal megnevezésük: lifetimes megnevezésük: lifetimes eloszlásaik: time distributions eloszlásaik: time distributions Time interval modelling Az exponenciális eloszlásnak kitüntetett szerepe van a Markov tulajdonság azaz az emlékezetnélküliség miatt We can combine life-times by putting them into series (Sec ), into parallel (Sec ), or into a combination of the two (Sec ). In this way more parameters become available for fitting a distribution to real observations.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Eloszlás függvény Distribution functions 1. Discontinuity at t=0 !!  F(0) = 0 Complementarysurvival Complementary or survival distribution function F(t) differenciálható ! Valószínűségi változó (random variable): T Valószínűségi változó (random variable): T Eloszlás függvény (distribution function): Sűrűség függvény (density function): Matematikailagpontosan:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – i’th non-central moment and Palm’s identity Csak nem negatív argumentumokra ! Distribution functions 2. i’th central moment varianceszórásnégyzet (Levezetés a tankönyvben.) mean value ( expectation ) várható érték

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions 3. Palm’s form factor (relatív szórás) Nagyobb ε  nagyobb irregularitások ε = 1, az időintervallum konstans, azaz σ = 0 Érvényes összefüggések:  standard variation (szórás)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions – Example Negative exponential distribution Jellemzi a λ intenzitás Phase diagrams of an exponentially distributed time interval is shown as a box with the intensity λ. The box thus means that a customer arriving to the box is delayed an exponentially distributed time interval before leaving the box.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions 4. Residual lifetime (hátralévő élettartam) Várható értéke Death rate at time x Conditional density function Hazard function Akkor és csak akkor konstans, ha a tartásidő exponenciális eloszlású.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions – Example Emlékezet nélküli ! Egyetlen ilyen folytonos eloszlás. ( A diszkrét geometriai eloszlásnak is megvan ez a tulajdonsága.) Hátralévő élettartam (residual lifetime) csak -tól függ és t-től nem.-tól függ és t-től nem. The distribution of the residual time of a telephone conversation is independent of the actual duration of the conversation, and it is equal to the distribution of the total life-time

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions 5. The density function of the residual life time conditioned by a given age x. Weibull distribution The example is based on a Weibull distribution We(2,5) where x = 3 and F(3) =

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions 6. Tartásidő eloszlás és forgalmi terhelés viszonya (Hosszú tartásidők adják a terhelés zömét !) A tartásidőket hosszúságukkal súlyozva az átlagos súly maga a várható érték. Megadja a forgalom azon hányadát, amely az x–nél rövidebb tartásidőkből származik. (Ez egyben az átlagérték azon hányada, amely az x–nél rövidebb tartásidőkből származik.) Következmény: a rövid tartásidejű igények prioritásos kiszolgálása nem ront sokat a rendszer teljesítményén !!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions 7. ε ε = 5 ε = 5 Pareto distribution ε = 2 ε = 2 exponential distribution Figure 2.3: Example of the relative traffic load from holding times shorter than a given value given by the percentile of the holding time distribution, (see above). We note that the10% largest holding times contributes with 33%, respectively 47%, of the load. tartásidők 75%-a forgalom 30%-a 10% 47%

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions 8. Forward recurrence time (Residual lifetime from a random point of time) Példax élettartamú kocsi Példa: Az x élettartamú kocsi véletlenszerű kiválasztásának valószínűsége: A véletlen időpont miatt a hátralévő élettartam egyenletes eloszlású: A hátralévő élettartam sűrűségfüggvénye, ahol F(t) az élettartam eloszlás, m a várható érték v(t) i-dik momentuma: A hátralévő élettartam várható értéke

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions 9. Distribution of the j’th largest of k random variables A (T 1, T 2, … T k ) valószínűségi változók függetlenek és egyforma eloszlásúak, F(t) eloszlás függvénnyel. Ha F i (t)-k különbözőek, a képlet bonyolultabb.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Distribution functions – Example Exponenciális eloszlású k darab valószínűségi változó minimuma T 1 és T 2 függetlenek Az eloszlásfüggvény szintén EO. Feltéve, hogy a legkisebb a (t+dt) intervallumban következik be, akkor annak valószínűsége, hogy az éppen T 1 vv : Független t-től.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Az exponenciális eloszlás (EO) a legfontosabb idő-eloszlás a TTE-ben. Az exponenciális eloszlás (EO) a legfontosabb idő-eloszlás a TTE-ben. k darab EO összege (sorozat!) hypo- exponenciális u.n. k-ad rendű Erlang eloszlást ad. Meredek elsozlás k darab EO összege (sorozat!) hypo- exponenciális u.n. k-ad rendű Erlang eloszlást ad. Meredek elsozlás EO-k párhuzamosan (keverék !) hyper- exponenciális eloszlást ad. Lapos eloszlás. EO-k párhuzamosan (keverék !) hyper- exponenciális eloszlást ad. Lapos eloszlás. EO-k sorozata és keveréke együtt fázis típusú eloszlásokat ad, egyik típus a Cox féle eloszlások. EO-k sorozata és keveréke együtt fázis típusú eloszlásokat ad, egyik típus a Cox féle eloszlások. Cox-féle eloszlással tetszőleges eloszlás leírható. Cox-féle eloszlással tetszőleges eloszlás leírható. Combination of random variables

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek és lapos eloszlások SteepFlat By the combination of steep and flat distribution, we may obtain an Arbitrarx good approximation for any distribution function.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Combination of random variables 1-1. Random variables in series (összeg, kompozíció) várható érték ésszórásnégyzet k független valószínűségi változó értékének sorbakapcsolása „összeadása”. Convolution

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Combination of random variables 1-2. R(z) a ζ=(ξ+μ) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye sűrűségfüggvény: h(x,y) = f(x)g(y) eloszlásfüggvény: Konvolúció általánosítva

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek eloszlás 1. Exponenciális eloszlások soros kombinálása Eloszlás osztályok: meredek (steep) és lapos (flat)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek eloszlás 2. Hypo-exponenciális vagy általánosított Erlang, u.n. Erlang k eloszlás. Csak egyforma EO-k esete. Az eloszlás függvény gyorsabban halad 0-tól 1 felé mint az EO.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek eloszlás 3. Momentumok i-dik nem centrális momentum A forma tényező független az időtől. Mérések esetében két paraméter - és k – becsülhető.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Meredek eloszlás 4. m=1 Figure 2.5: Erlang–k distributions with mean value equal to one. The case k = 1 corresponds to an exponential distribution (density functions). k=1 az EO

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Combination of random variables 2. Random variables in parallel (súlyozott összeg) Függetlenség ! Az i’dik változó súlytényezője p i. várható érték és szórás négyzet eloszlásfüggvény: sűrűségfüggvény:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Lapos eloszlás 1. Exponenciális eloszlások párhuzamos kombinálása Eloszlás osztályok: meredek (steep) és lapos (flat)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Lapos eloszlás 2. Általános eset: EO-k súlyozott összege A megmaradó élettartam várható értéke nagyobb mint az eloszlás várható értéke: Az eloszlás függvény lassabban halad 0-tól 1 felé mint az EO. W() a súlyozás sűrűségfüggvénye

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Lapos eloszlás 3. Hyper exponenciális eloszlás Ha W() diszkrét, továbbá: és W() minden más értékre konstans, akkor: Ha k=1 vagy az összes egyforma, akkor EO-t kapunk. és mivel, így:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Lapos eloszlás 4. Mérésieredmény(példa) Figure 2.7: Density (frequency) function for holding times observed on lines in a local exchange during busy hours. The straight line corresponds to an exponential distribution and the curved line corresponds to a hyper- exponential distribution Time unit is [minutes].

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Stochastic sum 1. Véletlen számú valószínűségi változók összege Véletlen számú valószínűségi változók összege. Torlódásmentes kiszolgálás. Beérkezési folyamat és tartásidők függetlenek. Meghatározott T időintervallumban beérkező igények száma való- színűségi változó: N. Az i-dik beérkező igény tartásideje T i. A T i -k eloszlása egyforma. Teljes létrehozott forgalom T-ben

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Stochastic sum 2. T i és N sztochasztikusan függetlenek A stochastic sum may be interpreted as a series/parallel combination of random variable.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Stochastic sum 3. Adott i ágra: Az összesi ágra: Az összes i ágra: darabszám miatti szórás időtartam miatti szórás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlás 1. Meredek és lapos eloszlások kombinálása !!!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlás 2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlás 3. Várható érték és szórás: Részletek a tankönyvben.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlás 4. Két Cox eloszlású vv összege szintén Cox eloszlású vv-t ad. Kimutatható, hogy a Cox eloszlás eloszlás függénye:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Polinomiális kísérlet Annak valószínűsége, hogy egy véletlenül kiválasztott időpont egy Cox eloszlású idő intervallumban éppen az i-dik fázisban van: A kísérletet y-szor, függetlenül megismételve, annak valószínűsége, hogy az i. fázist y i alkalommal lehet észlelni: és Polinomiális eloszlás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Decomposition 1.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Decomposition 2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Decomposition 3.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Decomposition 4.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Cox eloszlások fontossága

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Más eloszlások 1. Gamma eloszlás Ha a k az Erlang k eloszlásban nem-negatív valós

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Más eloszlások 2. Weibull eloszlás A halálozási valószínűség időfüggő k=1  EO Megbízhatóság elméletben alkalmazzák

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Más eloszlások 3. Pareto eloszlás Ha, akkor a szórás nem létezik. Ha η 0  0, akkor EO-t kapunk.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Eloszlások jelölése

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – TTE  kapcsolat a gyakorlat és elmélet között. TTE  kapcsolat a gyakorlat és elmélet között. Forgalommérés a telefónia megjelenése óta (1916 !) Forgalommérés a telefónia megjelenése óta (1916 !) Számítógépes adatgyűjtés Számítógépes adatgyűjtés Az ε forma tényező távközlésben ritkán > 6, de adatforgalomban lehet > 100. Az ε forma tényező távközlésben ritkán > 6, de adatforgalomban lehet > 100. Heavy tailed distributions. Akkor, ha: Heavy tailed distributions. Akkor, ha: Élettartam eloszlások megfigyelése