Valószínűségszámítás III. Nevezetes eloszlások

A tapasztalati adatok összevetéséből számos jelenségről kiderült, hogy valószínűség szempontjából hasonlóan viselkednek, ugyanazt az eloszlást követik. A következőkben azt vizsgáljuk, hogy melyek a leggyakrabban előforduló valószínűségi változók, s azoknak milyen jellegzetes tulajdonságaik vannak.

Diszkrét valószínűségeloszlások Binomiális eloszlás Olyan eseményeket vizsgálunk, melyeknél csak az a lényeg, hogy egy adott esemény bekövetkezik-e vagy sem. A kísérletnek tehát pontosan két kimenetele van. Definíció: Legyen diszkrét valószínűségi változó, amelynek értékei a természetes számok, azaz Ha annak a valószínűsége, hogy éppen a értéket veszi fel akkor a valószínűségi változó -edrendű p paraméterű binomiális eloszlás.

Megjegyzés A binomiális eloszlás tagjai kezdetben a k-val együtt növekednek, majd a maximum elérése után csökkennek. Ha egész, akkor az ehhez tartozó valószínűség a legnagyobb, ha nem, akkor a hozzá legközelebb eső egészé. Tétel: Az n-edrendű p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó Várható értéke: Szórásnégyzete: Szórása:

Feladatok 1. Egy szabályos pénzérmét dobjunk fel hatszor és figyeljük meg a fejdobások számát. Állítsa elő a valószínűségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, rajzolja fel a megfelelő grafikonokat! Megoldás:

2. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy házaspár 6 születendő gyermeke közül a. 3 fiú lesz b. a fiúk száma kevesebb lesz a lányok számánál. A fiúk születésének valószínűsége: Megoldás:

Poisson eloszlás A kérdés a következő: Mi a valószínűsége annak, hogy egy sajtóhibákat tartalmazó könyv véletlenül kinyitott oldalán van sajtóhiba? Definíció: Legyen pozitív állandó és egy diszkrét valószínűségi változó, melynek értékei 0;1;2;… Ha a a k értéket valószínűséggel veszi fel, akkor a eloszlását paraméterű Poisson eloszlásnak nevezzük.

Tétel: Tétel: A Poisson eloszlású valószínűségi változó Várható értéke: Szórásnégyzete: Szórása: Megjegyzés: A Poisson eloszlás a binomiális eloszlásból is származtatható, annak n szerinti határértékeként, ha feltesszük hogy

Feladat: Tegyük fel, hogy egy 500 oldalas könyvben véletlen eloszlásban 300 hiba van. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy adott oldalon a. pontosan 2 sajtóhiba van, b. legalább 2 sajtóhiba van. Megoldás:

Megjegyzés Poisson eloszlásra vonatkozó gyakorlati feladatok: - Telefonközpontban egy adott időintervallumban jelentkező hívások átlagos száma. - Adott tartományba hulló esőcseppek száma…

Hipergeometrikus eloszlás (ismétlés nélküli mintavétel) Definíció: Azt a valószínűségi változót, amely az értékeket valószínűséggel veszi fel, hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változónak nevezzük, ahol N, s, n, k nem negatív egészek és

Megjegyzés: 1. Az eloszlás tagjai kezdetben k-val együtt nőnek, majd a maximum elérése után csökkennek. Az eloszlás jól közelíthető a paraméterű binomiális eloszlással, ha k-hoz képest s, N elég nagy. Tétel: Egy hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó Várható értéke: Szórásnégyzete:

Feladat: Egy 32 lapos magyar kártyacsomagot négy játékos között egyenlően osztunk el. A valószínűségi változó értéke legyen az egyik kijelölt játékoshoz kerülő piros lapok száma. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását, számítsa ki várható értékét, szórását! Megoldás:

Folytonos eloszlások A folytonos eloszlásokat a sűrűségfüggvényeikkel definiáljuk. Feladat: Legyen Vizsgálja meg, hogy lehet-e f(x) egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye! Ha igen határozza meg eloszlásfüggvényét! Ábrázolja mindkét függvényt! b. Számítsa ki várható értékét, szórásnégyzetét, szórását! c. Mekkora valószínűséggel tér el a valószínűségi változó várható értékétől legfeljebb 0,25-dal?

Megoldás:

Egyenletes eloszlás Definíció: A valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezzük az ]a;b[ intervallumon, ha sűrűségfüggvénye Tétel: Az egyenletes eloszlású valószínűségi változó Eloszlásfüggvénye: Várható értéke: Szórásnégyzete: Szórása:

Feladat: Egy üzemi telefonközpont telefonhívásainál azt tapasztaljuk, hogy a tárcsázást követő kapcsolásig terjedő időtartam 10 mp-től 100 mp-ig terjedhet. Az eltelt idő legyen a egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Határozza meg a valószínűségi változó sűrűségfüggvényét, eloszlásfüggvényét, várható értékét, szórását, valamint annak a valószínűségét, hogy legalább 50 mp-ig kell várnunk a kapcsolásra! Megoldás:

Exponenciális eloszlás Mi a valószínűsége annak, hogy egy alkatrész pl. 2000 órán belül nem hibásodik meg? Definíció: A folytonos valószínűségi változót paraméterű exponenciális eloszlásnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye ahol

Tétel: Az sűrűségfüggvényű valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: várható értéke: szórásnégyzete: szórása: Megjegyzés: Exponenciális eloszlású a radioaktív atomok élettartama, alkatrészek meghibásodása……

Feladat: Legyen a valószínűségi változó bizonyos típusú alkatrészek meghibásodásáig eltelt használati időtartam hossza. Legyen exponenciális eloszlású, melynek szórása 500 óra. Határozza meg a. várható értékét b. sűrűség és eloszlásfüggvényét c. annak valószínűségét, hogy egy kiszemelt alkatrész 2000 órán belül még nem hibásodik meg.

Megoldás:

Normális eloszlás A leggyakrabban előforduló folytonos eloszlás Definíció: Egy folytonos valószínűségi változót és paraméterű normális eloszlásnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye ahol

Tétel: Az sűrűségfüggvényű valószínűségi változó Eloszlásfüggvénye: Várható értéke: Szórásnégyzete: Szórása: Az várható értékű, szórású normális eloszlás szokásos jelölése

A sűrűségfüggvény gráfja: Az eloszlásfüggvény gráfja

Definíció: Az paraméterű normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük Sűrűségfüggvénye: Eloszlásfüggvénye: és értékei táblázatba foglaltak.

Tétel: Tétel: Ha egy paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye és az eloszlásfüggvénye, akkor

Feladat: Egy célgép 0,75 cm várható átmérőjű korongokat készít. Tegyük fel, hogy a átmérő normális eloszlást követő valószínűségi változó, melynek szórása 0,06 cm. Hány százalékos hibával dolgozik a célgép, ha 0,6 cm-nél kisebb és 0,84 cm-nél nagyobb korongokat tekintünk hibásnak? Megoldás:

Megjegyzés: A binomiális eloszlású változó gyakran közelíthető várható értékű és szórású normális eloszlást követő valószínűségi változóval.

Centrális határeloszlás-tétel Egy véletlen esemény kimenetele általában több független hatás eredménye, ezért fontos a független valószínűségi változók összegének vizsgálata. Tétel: Ha a azonos eloszlású, független, azonos véges várható értékű és azonos szórású valószínűségi változók, akkor ahol a valószínűségi változók közös várható értéke, a közös szórás, az összeg várható értéke pedig az összeg szórása. A centrális határeloszlás-tétel tehát azt mondja ki, hogy sok független valószínűségi változó összege normális eloszlású valószínűségi változó.

Feladat: Tegyük fel, hogy júliusban a H hőmérséklet normális eloszlású, átlaga 26oC szórása 4oC. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a hőmérséklet 28oC és 34oC közé esik! Megoldás:

Csebisev egyenlőtlenség A gyakorlatban előforduló esetek többségében a valószínűségi változó ugyan ismeretlen eloszlást követ, de mérésekkel becsülni tudjuk várható értékét és szórását. Tétel:(Markov-egyenlőtlenség) Ha olyan tetszőleges nem negatív valószínűségi változó, amelynek van várható értéke és c egy tetszőleges pozitív szám, akkor

Tétel: (Csebisev-egyenlőtlenség) Ha a tetszőleges valószínűségi változónak van várható értéke és szórása, valamint tetszőleges valós szám, akkor Megjegyzések: 1. Ha az a kérdés, hogy mekkora valószínűséggel esik egy intervallumba, akkor a fenti egyenlőtlenség komplementerét kell venni: 2. A Csebisev -egyenlőtlenséget néha jobb helyettesítéssel alakba írni.

Feladat: Legyen a pozitív valószínűségi változó várható értéke és szórása . Számítsa ki, hogy legfeljebb mekkora valószínűséggel vesz fel a változó 52-t vagy annál nagyobb értéket! Mennyi a valószínűség pontos értéke, ha feltesszük, hogy az eloszlás exponenciális? Megoldás:

A nagy számok törvénye A nagy számok törvénye azokat a tétel csoportokat tartalmazza, amelyek a valószínűségi változók és várható értékeik közötti sztochasztikus konvergenciára vonatkoznak. Definíció: A valószínűségi változók sorozatáról akkor mondjuk, hogy sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változóhoz, ha tetszőleges esetén a teljesülésének a valószínűsége 0-hoz tart, ha n minden határon túl nő, azaz

Tétel: (Nagy számok gyenge törvénye) Legyenek a valószínűségi változók függetlenek, továbbá eloszlásuk, m-mel jelölt várható értékük, jelölt szórásnégyzetük azonos. Ekkor a számtani közép sztochasztikusan konvergál az m várható értékhez, ha n minden határon túl nő, azaz vagy Megjegyzés: Alkalmazzuk a Csebisev-egyenlőtlenséget a binomiális eloszlásra, akkor a nagy számok úgynevezett Bernoulli-féle törvényét kapjuk: és ahol az A esemény relatív gyakorisága

Feladat: Hányszor kell egy kockát feldobni, hogy a 6-os dobás valószínűségét annak relatív gyakorisága legalább 0,75 valószínűséggel 0,15-nál kisebb hibával megközelítse? Megoldás: